Teorema da representação de martingales em finanças explicado
Aprenda como martingales se tornam integrais estocásticas, por que o integrando se torna um hedge e como a representação determina a completude do mercado
Resposta direta
O teorema da representação de martingales escreve uma martingale adequada como seu valor inicial mais uma integral estocástica em relação aos fatores de risco. Em finanças, essa integral se torna um hedge dinâmico quando os ganhos dos ativos negociados abrangem os mesmos fatores
A fonte da informação precisa ser especificada
Uma martingale é definida em relação a uma filtração F_t, a informação disponível ao longo do tempo
No teorema browniano padrão, F_t é gerada pelo movimento browniano e completada com os conjuntos nulos usuais
Mudar a filtração pode mudar o resultado: informações adicionais podem introduzir riscos que o fator indicado não consegue representar
O teorema transforma uma martingale em uma integral
Para uma martingale browniana de quadrado integrável M, existe um processo previsível φ tal que M_t = M_0 + ∫_0^t φ_u dW_u
De forma equivalente, uma variável terminal H de quadrado integrável satisfaz H = E[H] + ∫_0^T φ_u dW_u
O integrando é único sob a convenção de integrabilidade relevante, enquanto sua dimensão exata acompanha o número de riscos brownianos que impulsionam o processo
O integrando se torna uma razão de hedge
Sob uma medida de precificação, o valor descontado de um claim é uma martingale quando as condições usuais de avaliação são atendidas
Representar esse valor em relação ao mesmo ruído que impulsiona os ativos negociados revela a exposição que precisa ser correspondida dinamicamente
Resolver a equação de carregamento de volatilidade dos ativos mapeia o integrando da martingale para posições em ações ou outros títulos de risco
A representação se conecta à completude do mercado
Se os ganhos dos ativos negociados abrangem cada componente do risco de martingale impulsionador, claims contingentes adequados podem ser replicados
Em uma difusão browniana, isso depende da ordem da matriz de carregamento de volatilidade, não apenas da contagem de nomes de ativos
Uma representação completa sustenta uma medida equivalente de precificação única sob hipóteses padrão de ausência de arbitragem
Risco adicional pode romper a representação pelos ativos negociados
Um fator browniano não negociado, uma fonte de saltos, um momento de default ou um fluxo de informação ampliado podem adicionar um componente de martingale que os ativos não abrangem
A martingale do claim pode então conter um resíduo ortogonal que nenhuma estratégia autofinanciada nos títulos disponíveis elimina
A martingale matemática ainda pode ter uma representação em um conjunto maior de fatores, enquanto o mercado financeiro permanece incompleto
A incompletude muda a seleção de preço e hedge
Sem replicação exata, a ausência de arbitragem pode permitir várias medidas de martingale e uma faixa de preços para o claim
Critérios de variância mínima, utilidade, indiferença ou superhedge selecionam tratamentos diferentes para o componente não abrangido
O critério escolhido é uma entrada econômica, não uma consequência do teorema da representação por si só
A verificação exige correspondência com todas as hipóteses
Declare a filtração, a medida de probabilidade, o conjunto de fatores, a classe de integrabilidade, as estratégias admissíveis e a matriz de volatilidade dos ativos
Verifique a previsibilidade e a integrabilidade quadrática do integrando, além da ordem e da estabilidade quando ele for convertido em posições
Faça o backtest dos ganhos residuais separadamente dos custos de transação e do erro de discretização; um resíduo pequeno na amostra não prova a completude teórica
Perguntas frequentes
O que o teorema da representação de martingales diz de forma simples?
Ele diz que toda nova variação em uma martingale adequada pode ser construída acumulando uma exposição previsível aos fatores aleatórios indicados
Por que a filtração é importante?
Ela define quais informações e surpresas existem; ampliá-la pode introduzir risco de martingale não representado pelos fatores originais
A representação de martingale garante um hedge negociável?
Não. Os fatores matemáticos também precisam ser abrangidos pelos ganhos de títulos que possam ser efetivamente negociados sob estratégias admissíveis
Como o teorema se relaciona a mercados completos?
Um mercado é completo quando os ganhos negociados conseguem representar e replicar toda martingale de claim relevante na estrutura de informações escolhida