O lema de Itô na precificação de opções explicado

Para uma trajetória determinística suave x(t), a mudança em f(t, x) é descrita localmente por sua derivada temporal e pela primeira derivada em relação a x

Uma trajetória de difusão é contínua, mas não é diferenciável em nenhum ponto no sentido comum. Seu incremento aleatório em um intervalo curto escala com a raiz quadrada do tempo

Essa escala torna um termo de Taylor de segunda ordem tão grande quanto um termo temporal comum. Eliminá-lo remove o efeito que depois aparece como gamma na precificação de opções

Escreva um incremento browniano como dW. Na contabilidade de Itô, dW² contribui com dt, enquanto dt² e dt·dW desaparecem na ordem relevante

Isso é uma abreviação para um limite de trajetórias: a soma dos quadrados dos incrementos brownianos converge para o tempo transcorrido à medida que a partição fica mais fina

Não é uma álgebra comum que diga que todo choque aleatório ao quadrado é igual ao tempo. A regra pertence à integração estocástica e à sua convenção de limite

Suponha dS = μSdt + σSdW e que o valor de uma opção seja V(t, S). O lema de Itô fornece sua mudança estocástica local

O drift é Vₜ + μS Vₛ + um meio σ²S²Vₛₛ. O termo aleatório é σS VₛdW, em que os subscritos denotam derivadas parciais

O delta Vₛ multiplica o choque de primeira ordem, enquanto o gamma Vₛₛ entra no drift da ordem temporal por meio da variação quadrática

Mesmo quando o choque aleatório de preço tem média condicional zero, a convexidade faz movimentos positivos e negativos afetarem o valor da opção de forma assimétrica

O termo um meio σ²S²Gamma mede essa contribuição da curvatura local. Uma volatilidade maior aumenta a velocidade com que um payoff curvo acumula valor modelado

Isso não significa que ter gamma comprado gere lucro garantido. Theta, prêmio pago, trajetórias realizadas, saltos, mudanças de skew e custos determinam o P&L real

Combine uma opção com menos o delta dela no ativo subjacente. Sob as premissas de difusão, os termos dW se cancelam instantaneamente

A carteira local restante é modelada como sem risco, portanto a ausência de arbitragem exige que ela renda a taxa livre de risco depois do tratamento consistente de dividendos ou carry

Substituir essa condição remove μ e produz a equação diferencial parcial de Black–Scholes. A replicação, não uma previsão de retorno, estabelece a relação de preço

Com várias difusões correlacionadas, a expansão inclui derivadas cruzadas de segunda ordem ponderadas pela covariância. Esses termos conectam correlação e curvatura conjunta

Mudar o processo de estado muda o gerador e a equação de precificação. Modelos de volatilidade local, volatilidade estocástica e taxas usam expansões de Itô relacionadas

Para funções que não são suficientemente suaves, limites e quinas exigem tratamento fraco, generalizado ou numérico, em vez de uma diferenciação casual

Um processo com saltos não se encaixa apenas na regra browniana contínua. Sua fórmula de variação inclui contribuições descontínuas dos saltos e frequentemente leva a uma equação integro-diferencial

Hedges reais são discretos e custosos, portanto cancelar um termo dW infinitesimal não elimina risco de gap, liquidez, parâmetros ou execução

Use o lema de Itô para entender a mecânica do modelo e depois declare o processo, a suavidade, a medida e as premissas de negociação antes de interpretar um preço ou grego