Variação quadrática em finanças explicada
Entenda por que os incrementos quadráticos do caminho persistem em escalas finas, produzem a correção de Itô e conectam a volatilidade de difusão à variância realizada
Resposta direta
Variação quadrática é o limite dos incrementos quadráticos do caminho em partições de tempo cada vez mais finas. Ela desaparece para caminhos contínuos de variação finita, é igual ao tempo transcorrido para um movimento browniano padrão e produz a correção no cálculo de Itô
Eleve os incrementos ao quadrado antes de refinar o tempo
Para uma partição π de [0,t], forme Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² e refine a malha em direção a zero
Quando essas somas convergem no sentido probabilístico relevante, seu limite é a variação quadrática [X]_t
É um conceito de acumulação ao longo do caminho, não o mesmo objeto que a variância estatística de X_t entre resultados repetidos
Caminhos suaves e de variação finita desaparecem
Um caminho contínuo de variação total finita tem variação quadrática zero porque seus pequenos incrementos quadráticos desaparecem mais rápido do que sua soma absoluta
Por isso, curvas comuns de preços diferenciáveis não geram uma correção de segunda ordem nas regras clássicas da cadeia
A variação quadrática isola a rugosidade que continua visível depois que os movimentos de primeira ordem se tornam individualmente minúsculos
A rugosidade browniana sobrevive em todas as escalas
O movimento browniano padrão tem variação total infinita em todo intervalo não trivial, mas satisfaz [W]_t = t
Heuristicamente, cerca de 1/Δt incrementos têm tamanho quadrático próximo de Δt, então sua soma permanece na ordem de um
Essa relação é uma afirmação de limite, não a afirmação algébrica pontual de que dW/dt existe ou de que todo incremento quadrático é igual a dt
A covariação registra o movimento conjunto irregular
A covariação quadrática [X,Y] soma produtos ΔX·ΔY em partições finas
A polarização dá [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), conectando a variação conjunta às variações quadráticas individuais
Para drivers brownianos correlacionados, a covariação carrega a dependência instantânea para as fórmulas de portfólio e de Itô multivariadas
A fórmula de Itô mantém o termo de segunda ordem
Para dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, a variação quadrática contínua é [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
A expansão de Taylor retém 1/2 f''(X_t)d[X]_t porque os incrementos estocásticos quadráticos se acumulam em vez de desaparecer
Essa correção impulsiona as equações de precificação de difusão e distingue o cálculo estocástico do cálculo diferencial comum
Saltos acrescentam seus tamanhos ao quadrado
Para um semimartingale com saltos, a variação quadrática inclui a variação contínua da martingale mais Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
Assim, um salto grande pode dominar o movimento quadrático realizado de um dia mesmo quando a volatilidade contínua foi moderada
Separe a variação contínua, os saltos e o drift de variação finita quando a pergunta econômica depender de suas fontes diferentes
A variância realizada é um estimador, não o próprio limite
A variância realizada em alta frequência soma os retornos intradiários observados ao quadrado para aproximar a variação quadrática latente
Amostragem esparsa demais perde movimento, enquanto amostragem fina demais amplifica o bounce bid-ask, a discretude dos preços, cotações assíncronas e ticks ruins
Compare grades de amostragem, trate os saltos explicitamente, alinhe os horários de negociação e diferencie a definição de retorno antes de interpretar a estimativa como volatilidade
Perguntas frequentes
O que é variação quadrática em termos simples?
É o movimento que permanece depois que muitas mudanças minúsculas do caminho são elevadas ao quadrado e somadas em uma grade de tempo cada vez mais fina
Por que o movimento browniano tem variação quadrática t?
Seus incrementos em um intervalo de comprimento Δt têm escala quadrática Δt, e aproximadamente t/Δt desses incrementos se acumulam em t no limite
Variação quadrática é o mesmo que volatilidade?
Não. Em uma difusão, ela é igual à variância integrada, enquanto volatilidade normalmente é sua taxa instantânea ou uma raiz quadrada normalizada
Como os saltos afetam a variação quadrática?
Cada salto contribui com seu tamanho ao quadrado, então a variação quadrática contém tanto a variação contínua da martingale quanto a variação discreta dos saltos