O modelo binomial de precificação de opções explicado

Comece com um preço do ativo subjacente S. Depois de um intervalo, ele se torna Su no estado de alta ou Sd no estado de baixa, com u maior que d

A opção paga Cᵤ ou C_d nesses estados. É possível escolher uma posição no ativo subjacente mais dinheiro para reproduzir os dois payoffs

Como a carteira replicante tem os mesmos payoffs em cada estado, a não arbitragem determina que ela tenha o mesmo valor atual da opção

A razão de hedge é a diferença entre os payoffs dividida pela diferença entre os preços do ativo: delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)

Depois de escolher delta, o payoff restante em cada estado é fornecido por um empréstimo ou aplicação. Descontar esse valor em dinheiro completa o valor atual

Essa construção torna a economia visível: o preço resulta da replicação estado a estado, não de adivinhar qual ramo é mais provável na realidade

O mesmo valor pode ser escrito como uma média ponderada descontada dos dois valores futuros da opção usando uma probabilidade neutra ao risco q

Com carry consistente, q é escolhida para que o crescimento esperado ponderado do ativo subjacente acompanhe a taxa livre de risco ou a taxa forward. Ela não precisa coincidir com a frequência histórica de altas

Para não haver arbitragem, o crescimento carregado do ativo subjacente deve ficar entre d e u, fazendo q ficar entre zero e um. Uma falha indica entradas inconsistentes na árvore

Repita a construção de um passo em muitos intervalos. Em uma árvore recombinante, um movimento de alta seguido por baixa chega ao mesmo nó que um movimento de baixa seguido por alta

Depois de n passos há n + 1 nós de preço finais, em vez de 2ⁿ nós distintos, tornando o cálculo prático

A escolha de Cox–Ross–Rubinstein normalmente define u e d a partir da volatilidade e da duração do passo, com movimentos recíprocos que fazem a árvore recombinar

Primeiro calcule o payoff contratual em cada nó final. Depois avance um passo para trás tomando o valor neutro ao risco descontado em cada nó pai

Continue até a raiz. Cada número intermediário é um valor de modelo condicional baseado nos estados alcançáveis a partir daquele nó

Dividendos, juros, estruturas a termo e volatilidade variável exigem tratamento consistente passo a passo, em vez de um único ajuste no final

Em cada nó elegível, compare o valor do exercício imediato com o valor descontado da continuação. O valor americano é o maior dos dois

Essa operação simples de máximo identifica uma região de exercício e é uma grande vantagem em relação à fórmula fechada básica de Black–Scholes para opções europeias

Os resultados do exercício continuam dependentes do modelo. Dividendos discretos, custo de empréstimo, liquidação e passos no tempo podem mover materialmente o limite estimado

À medida que os passos ficam mais finos sob escolhas adequadas, o preço binomial pode convergir para o modelo de tempo contínuo correspondente, como Black–Scholes

A convergência pode oscilar conforme a posição do strike em relação aos nós. Diferentes parametrizações da árvore podem ter viés e estabilidade diferentes

Mais passos reduzem o erro de discretização dentro do modelo, mas não corrigem volatilidade errada, saltos ausentes, dividendos incorretos ou cotações de mercado não executáveis

Verifique limites de não arbitragem, paridade put-call para direitos europeus, monotonicidade, convexidade e convergência conforme a quantidade de passos aumenta

Compare valores europeus com uma fórmula fechada e valores americanos com um método independente. Teste tempo zero, preço à vista extremo e datas de dividendos

Registre a convenção da árvore, o carry, o calendário, o cronograma de exercício e a quantidade de passos. Um preço divulgado sem essas configurações não é reproduzível