Zmienność lokalna a implikowana: kwotowanie, powierzchnia i model

Weź obserwowaną cenę opcji i rozwiąż wybrany model wyceny względem parametru zmienności, który odtwarza tę cenę. Wynik dotyczy tego strike’a, terminu zapadalności, kwotowania, forwardu i konwencji

Powtarzanie tego odwrócenia dla kolejnych strike’ów i terminów tworzy powierzchnię zmienności implikowanej. Jej skośność i struktura terminowa zwięźle wyrażają względne ceny opcji

IV nie jest zmiennością, za którą instrument bazowy musi podążać w każdej chwili. Różne opcje na ten sam instrument bazowy mogą mieć w tym samym czasie różne IV

Model zmienności lokalnej przypisuje chwilową zmienność σlocal(t, S) na podstawie czasu i poziomu instrumentu bazowego osiągniętego w tym czasie

W podstawowym modelu nie ma osobnego losowego czynnika zmienności. Gdy znane są czas i spot, współczynnik dyfuzji jest wyznaczony przez skalibrowaną funkcję

To odróżnia zmienność lokalną zarówno od IV jednego kontraktu, jak i od historycznej zrealizowanej zmienności mierzonej na podstawie przeszłych zwrotów

Przy założeniu odpowiedniej regularności i spełnieniu założeń rynkowych równanie Dupire’a wykorzystuje pochodne europejskich cen call względem strike’a i terminu zapadalności, aby wyznaczyć wariancję lokalną w każdym stanie

Równoważnie, praktycy najpierw dopasowują gładką powierzchnię implikowaną spójną z brakiem arbitrażu, przekształcają ją w ceny opcji lub wariancję całkowitą, a następnie różniczkują dopasowaną powierzchnię

Zmienność lokalna jest więc wynikiem modelu odwrotnego. Nie odczytuje się jej bezpośrednio z pojedynczej komórki łańcucha opcji

Prawidłowo skalibrowany model zmienności lokalnej może odtworzyć dzisiejsze europejskie ceny opcji waniliowych na całej dopasowanej powierzchni, przy uwzględnieniu danych, stóp, dywidend i wyborów numerycznych

Takie dopasowanie przekrojowe nie dowodzi, że model przewiduje jutrzejszą dynamikę powierzchni. Dwa modele mogą dopasować dzisiejsze ceny opcji waniliowych, a jednocześnie przypisać różne wartości instrumentom zależnym od ścieżki lub opcjom forward-starting

Model zwykle tworzy określoną relację między spotem a przyszłą zmiennością. Rzeczywiste rynki mogą wykazywać zmienność stochastyczną, skoki, ryzyko zdarzeń lub inną dynamikę skośności

Obliczenie Dupire’a zależy od pochodnych względem terminu i strike’a, w tym od krzywizny. Szerokie spready, rzadkie strike’i, niespójne terminy i zaszumiona interpolacja mogą tworzyć niestabilną lub ujemną wariancję lokalną

Oczyść kwotowania, używaj współrzędnych spójnych z forwardem, wymuszaj warunki braku arbitrażu i testuj ekstrapolację brzegową. Wizualnie gładki wykres IV nie jest automatycznie bezpieczny do różniczkowania

Niewielkie zmiany powierzchni mogą powodować duże zmiany zmienności lokalnej tam, gdzie gęstość gamma jest mała. Raportuj obszar kalibracji i regularyzację, zamiast jednej niewyjaśnionej siatki

Powierzchnia implikowana odpowiada na pytanie, jaka stała zmienność przeszacowuje dziś każdą notowaną opcję. Powierzchnia lokalna odpowiada na pytanie, jaka zależna od stanu chwilowa dyfuzja sprawia, że model odtwarza powierzchnię cen

Żadna z nich nie jest bezpośrednią prognozą rzeczywistości. Obie są zwykle interpretowane w ramach wyceny neutralnej względem ryzyka, podczas gdy zrealizowane ścieżki i P&L z hedgingu zależą od rzeczywistej dynamiki i realizacji transakcji

Do wyceny wanilii może wystarczyć powierzchnia implikowana kontrolowana pod kątem arbitrażu. Bariery, cliquety, opcje forward-starting i inne wypłaty zależne od ścieżki wymagają założeń dotyczących ścieżki i przyszłej powierzchni

Porównuj modele lokalne, zmienności stochastycznej, skokowe lub hybrydowe z odpowiednimi strategiami hedgingowymi i zachowaniem rynku. Wybór modelu jest decyzją dotyczącą ryzyka, a nie kosmetyczną konwersją

Testuj dynamikę spot–skośność i niepewność kalibracji. Jeśli transakcja działa tylko przy jednej dopasowanej powierzchni lokalnej, zależność od tego modelu należy ująć w raporcie ryzyka