Test stacjonarności KPSS: hipoteza zerowa, statystyka i pasmo

Test Kwiatkowskiego–Phillipsa–Schmidta–Shina, zwykle nazywany testem KPSS, odwraca układ hipotez znany z testów Dickeya–Fullera. Hipoteza zerowa mówi, że szereg jest stacjonarny względem określonych składników deterministycznych. W pierwotnym ujęciu alternatywa dopuszcza składnik błądzenia losowego o dodatniej wariancji innowacji.

Dostatecznie duża statystyka KPSS stanowi przesłankę przeciw wybranej hipotezie zerowej o stacjonarności poziomu lub trendu. Mała statystyka oznacza, że w tej próbie i przy tych założeniach zabrakło podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Nie dowodzi to, że proces będzie zawsze stacjonarny, średnia pozostanie stabilna ani że cena wróci do poziomu użytecznego w handlu.

Przewodnik po stacjonarności i pierwiastkach jednostkowych omawia powiązane pojęcia. Porównanie testów ADF i Phillipsa–Perrona wyjaśnia dwa testy, które jako hipotezę zerową przyjmują pierwiastek jednostkowy. Są to uzupełniające się pytania, a nie dwa warianty tego samego testu.

Test KPSS opisuje obserwowany szereg jako

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

\(d_t\) oznacza składnik deterministyczny, \(r_t\) składnik błądzenia losowego, a \(\epsilon_t\) stacjonarny składnik losowy. W teście stacjonarności poziomu \(d_t\) zawiera wyraz wolny. W wersji trendowej zawiera wyraz wolny i liniowy trend czasu.

Hipoteza zerowa ustala wariancję innowacji błądzenia losowego na zero: \(\sigma_u^2=0\). Bez tego składnika szereg waha się wokół wybranej stałej lub trendu deterministycznego. Alternatywa dopuszcza \(\sigma_u^2>0\), więc szoki mogą kumulować się w trend stochastyczny, zamiast zanikać wokół wybranej ścieżki.

To model przyjmowany przez test, a nie twierdzenie, że każda alternatywa jest podręcznikowym błądzeniem losowym. Złamania strukturalne, pamięć ułamkowa, nieliniowa dynamika, zmienna wariancja albo źle dobrane składniki deterministyczne również mogą sprawić, że hipoteza zerowa słabo opisuje próbę. Test wykrywa niezgodność z założonym modelem stacjonarnym, ale nie wskazuje jednego modelu zastępczego.

Najpierw regresuje się obserwacje względem wybranych składników deterministycznych, a reszty oznacza jako \(\hat e_t\). Ich skumulowane sumy częściowe to

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

Statystykę KPSS zapisuje się zwykle jako

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

gdzie \(n\) to liczebność próby, a \(\hat{\omega}^{\,2}\) jest oszacowaniem wariancji długookresowej reszt. Reszty o tym samym znaku odsuwają \(S_t\) od zera. Podniesienie sum częściowych do kwadratu sprawia, że długotrwałe odchylenia mają większy wpływ niż pojedyncze zmiany znaku.

Statystyka jest nieujemna. Im większe skumulowane odchylenia względem oszacowanej wariancji długookresowej, tym trudniej utrzymać hipotezę zerową o stacjonarności. Mianownik ma znaczenie: zależność szeregu reszt zmienia zmienność sum częściowych nawet wtedy, gdy sam proces jest stacjonarny.

Wersja poziomowa pyta, czy szereg jest stacjonarny wokół stałej. Wersja trendowa najpierw usuwa wyraz wolny i liniowy trend czasu, po czym sprawdza stacjonarność pozostałej składowej. Niektóre implementacje oznaczają te przypadki jako mu i tau, ale nazwy i formaty wyników zależą od oprogramowania.

Wybór zmienia zarówno reszty, jak i rozkład odniesienia. Pominięcie trendu w szeregu stacjonarnym wokół trendu może pozostawić długi wzorzec reszt i zawyżyć statystykę. Dodanie trendu bez uzasadnienia zmienia testowany model i może ograniczyć moc wykrywania niektórych alternatyw. Wybór oprzyj na definicji danych i pytaniu ekonomicznym, a następnie go zaraportuj; nie zmieniaj specyfikacji po obejrzeniu wyniku, by uzyskać korzystny rezultat.

Wartości krytyczne KPSS pochodzą z niestandardowych rozkładów asymptotycznych i różnią się dla wersji poziomowej oraz trendowej. Nie porównuj statystyki ze zwykłym progiem t lub chi-kwadrat ani nie stosuj jednej zapamiętanej wartości do każdej specyfikacji. Użyj odpowiedniej tabeli lub wyniku oprogramowania i podaj poziom istotności.

Niektóre implementacje zwracają tylko przedział p-wartości, bo porównują statystykę z ograniczoną tabelą wartości krytycznych. W takim przypadku podaj przedział poparty wynikiem, zamiast dopisywać nieuzasadnione miejsca po przecinku. Wskaż także wersję poziomową lub trendową oraz źródło wartości krytycznych, by umożliwić odtworzenie decyzji.

<!-- learn:illustration -->

Częsty estymator wariancji długookresowej wykorzystuje ważone autokowariancje reszt:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Tutaj \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) oznacza autokowariancję z próby dla opóźnienia \(j\), z mianownikiem \(n\); konwencje dla małych prób mogą się różnić między implementacjami.

Dla wag Bartletta \(w_j=1-j/(\ell+1)\). Pasmo obcięcia \(\ell\) określa, ile autokowariancji reszt uwzględnić i jak szybko zmniejszają się ich wagi. Implementacje mogą różnić się jądrem, regułą wyboru pasma i konwencją dla małej próby, dlatego należy je podać, by wynik dało się odtworzyć.

To pasmo nie jest liczbą opóźnionych różnic dodawanych do regresji ADF. W KPSS steruje zakresem autokowariancji w estymatorze wariancji długookresowej; w ADF opóźnione różnice wchodzą bezpośrednio do regresji. Oprogramowanie może obie wartości nazywać opóźnieniami, dlatego samo „opóźnienie 4” nie wystarcza do odtworzenia ustawień.

Zbyt krótkie pasmo może pomijać istotną zależność krótkookresową. Zbyt długie może dodawać zaszumione autokowariancje z próby. Oba wybory mogą zmienić statystykę, rozmiar lub moc testu, ale kierunek wpływu zależy od wzorca reszt. Podaj jądro i regułę wyboru opóźnień oraz sprawdź, czy rozsądna, wcześniej uzasadniona alternatywa zmienia interpretację.

Korekta wariancji długookresowej wiąże się z estymacją macierzy kowariancji odpornej na heteroskedastyczność i autokorelację (HAC). Nie czyni jednak KPSS odpornym na każdą zależność, złamanie strukturalne czy błędną specyfikację deterministyczną. Przewodnik po kowariancji Neweya–Westa omawia szerzej rolę i ograniczenia HAC.

Załóżmy, że regresja trendu dla sześciu syntetycznych obserwacji daje reszty \(1,-1,0,0,-1,1\). Ich suma wynosi zero, podobnie jak iloczyn skalarny reszt i liniowego trendu czasu, co powinno zachodzić dla reszt z regresji trendu. Sumy częściowe wynoszą \(1,0,0,0,-1,0\), a suma ich kwadratów to \(2\).

Dla przykładu arytmetycznego użyjmy konwencji autokowariancji z mianownikiem \(n\) i pasma Bartletta równego jeden. Składnik wariancji reszt to \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). Autokowariancja rzędu pierwszego wynosi \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), a jej waga Bartletta to \(1/2\). Zatem

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

To obliczenie dla sześciu punktów wyjaśnia wyłącznie mechanikę wzoru. Próba jest zdecydowanie za mała dla typowej asymptotycznej decyzji KPSS; nie należy porównywać statystyki z opublikowaną wartością krytyczną tak, jakby była wynikiem empirycznym.

Uruchomienie testu KPSS obok testu typu ADF pokazuje, jak bardzo wniosek zależy od hipotezy zerowej. Traktuj parę wyników jako dowody w ramach dwóch różnych modeli:

Testy mogą różnić się korektą opóźnień, składnikami deterministycznymi, próbą i przybliżeniami dla skończonej próby. W miarę możliwości ujednolić ustawienia i zapisać nieuniknione różnice. Czterech kombinacji nie należy zamieniać w automatyczną regułę różnicowania danych. Brak odrzucenia nie oznacza, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.

Jednorazowa zmiana średniej, zmieniający się trend lub zmiana wariancji mogą sprawić, że proces stacjonarny w poszczególnych reżimach wygląda na niestacjonarny w całej próbie. Z kolei pierwiastek bliski jedności trudno odróżnić od pierwiastka jednostkowego przy ograniczonej ilości danych. Krótkie próby, wartości odstające, grube ogony, nieliniowe dostosowanie i całkowanie ułamkowe również mogą zniekształcać przybliżenie odniesienia.

Przed raportowaniem narysuj poziom, wybrane dopasowanie deterministyczne i reszty. Jeśli prawdopodobne jest złamanie, użyj metody uwzględniającej złamania i podaj hipotezę zerową, sposób traktowania daty złamania oraz wartości krytyczne. Ujawnij, jeśli sprawdzano wiele dat złamań lub pasm; najmniejsza p-wartość znaleziona w takim przeszukiwaniu nie pochodzi z testu bez selekcji.

W przypadku pary aktywów lub spreadu KPSS nie sprawdza kointegracji. Przewodnik Engle’a–Grangera opisuje kointegrację opartą na resztach i odrębny problem wartości krytycznych. Przewodnik po rzędzie kointegracji Johansena omawia podejście systemowe. Wynik KPSS dla jednej ceny nie zastąpi żadnej z tych analiz.

Jeśli stosujesz KPSS do reszt po oszacowaniu współczynnika zabezpieczenia, modelu ARMA lub wybranej daty złamania, pamiętaj, że reszty pochodzą z wcześniejszego etapu estymacji. Szacowanie parametrów i wybór modelu mogą zmienić rozkład zerowy. Nie zakładaj, że zwykłe wartości krytyczne obowiązują dla całego procesu; użyj testu reszt skalibrowanego do dopasowanego modelu albo bootstrapu powtarzającego etapy estymacji.

Podaj zmienną i transformację, liczbę obserwacji, hipotezę zerową o poziomie lub trendzie, składniki deterministyczne, jądro wariancji długookresowej, regułę wyboru pasma, statystykę, odpowiednią wartość krytyczną lub p-wartość oraz poziom istotności. Analizę wrażliwości przedstawiaj tylko wtedy, gdy przejrzyście uzasadniasz i raportujesz warianty; nie wybieraj po wielu próbach najbardziej atrakcyjnego wyniku.

Dla danych rynkowych podaj daty próby, częstotliwość, dopasowanie sesji, sposób obsługi braków i to, czy badana seria to cena, stopa zwrotu, reszty czy spread. Brak odrzucenia hipotezy zerowej KPSS nie dowodzi, że spread wkrótce się zbiegnie. Strategia powrotu do średniej wymaga zdefiniowanej równowagi, oceny poza próbą, sygnału dostępnego w chwili transakcji oraz realistycznego uwzględnienia spreadu, finansowania, pożyczania i realizacji zleceń.

Test poziomu logarytmu ceny odpowiada na inne pytanie niż test stopy zwrotu, czyli pierwszej różnicy logarytmu ceny. Różnicowanie może w niektórych modelach usunąć trend stochastyczny, ale zmienia badaną zmienną i nie dowodzi długookresowej relacji dwóch aktywów. Wybierz transformację zgodnie z estymandem i modelem, a następnie jawnie ją podaj.

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin w artykule z 1992 r.90104-Y) opisują ten test jako test LM hipotezy, że wariancja składnika błądzenia losowego wynosi zero. Artykuł Neweya i Westa z 1987 r. jest podstawowym źródłem dotyczącym dodatnio półokreślonego estymatora HAC. Porównanie z hipotezą zerową o pierwiastku jednostkowym opisuje artykuł Dickeya i Fullera z 1979 r..