ADF a Phillips–Perron: czym różnią się testy pierwiastka jednostkowego

W autoregresyjnym równaniu poziomów pierwiastek jednostkowy oznacza, że szok nie musi zanikać w poziomie. Zapisanie pierwszej różnicy jako regresji względem opóźnionego poziomu uwidacznia hipotezę: jeśli współczynnik opóźnionego poziomu wynosi zero, proces poziomu ma pierwiastek równy jeden w określonym modelu. Współczynnik ujemny wskazuje w stronę stacjonarnej alternatywy, przy założeniu właściwego doboru składników deterministycznych i pozostałych założeń.

W typowych implementacjach ADF i PP hipoteza zerowa nie brzmi więc „szereg jest stacjonarny”. Zakłada pierwiastek jednostkowy, a alternatywa oznacza stacjonarność wokół wybranego składnika deterministycznego. Brak odrzucenia hipotezy zerowej, bo statystyka nie jest wystarczająco ujemna, nie dowodzi istnienia pierwiastka jednostkowego. W próbie może po prostu zabraknąć informacji, by odróżnić go od bardzo trwałego procesu stacjonarnego z pierwiastkiem autoregresyjnym bliskim jedności.

To coś innego niż test, w którym hipotezą zerową jest stacjonarność, jak KPSS, i coś innego niż bezpośredni test kointegracji. Przewodnik po stacjonarności i pierwiastkach jednostkowych omawia szersze pojęcia, a przewodnik Engle’a–Grangera opisuje szczególny przypadek, w którym kombinacja liniowa niestacjonarnych szeregów jest stacjonarna.

Regresja testu pierwiastka jednostkowego może nie zawierać składników deterministycznych, zawierać stałą albo stałą i liniowy trend czasowy. Nie są to opcje kosmetyczne. Stała dopuszcza dryf przy hipotezie zerowej pierwiastka jednostkowego i niezerową średnią przy stacjonarnej alternatywie. Trend czasowy pozwala alternatywie stacjonarnej wahać się wokół trendu deterministycznego. Wybór tych składników zmienia model i rozkład pod hipotezą zerową.

Dodanie niepotrzebnego trendu może obniżyć moc, bo trzeba oszacować dodatkowe parametry. Pominięcie rzeczywistego dryfu lub trendu może zniekształcić rozmiar i interpretację testu. Wybierz specyfikację na podstawie pytania o proces generujący dane i wykresu szeregu, podaj ją wyraźnie i użyj dopasowanych wartości krytycznych. Nie wybieraj później tej wersji, która daje pożądane odrzucenie.

To samo dotyczy logarytmów cen, spreadów, stóp procentowych i stóp zwrotu. Trend wzrostowy może być wiarygodny dla poziomu ceny, ale nie dla stóp zwrotu. Test sam nie wybierze właściwej zmiennej ekonomicznej. Składniki deterministyczne należą do hipotezy; nie są ukrytym krokiem wstępnego przetwarzania.

Rozszerzoną regresję Dickeya–Fullera można zapisać tak:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Wektor dₜ zawiera wybrane składniki deterministyczne, a hipoteza zerowa to H₀: γ = 0. Dodatkowe opóźnione różnice mają sprawić, by pozostały składnik losowy zachowywał się wystarczająco dobrze dla przybliżenia testowego. Parametrycznie modelują krótkookresową dynamikę w regresji; nie dodają kolejnego ograniczenia pierwiastka jednostkowego.

Rząd opóźnień p ma znaczenie. Zbyt mało opóźnień może pozostawić korelację szeregową w εₜ i osłabić założone przybliżenie. Zbyt wiele zużywa stopnie swobody i może obniżyć moc, szczególnie przy krótkiej próbie. Zacznij od jawnie podanego maksymalnego opóźnienia, porównaj uzasadnione kryterium informacyjne z diagnostyką reszt i opisz, czy sąsiednie wybory zmieniają wniosek. Małe wybrane opóźnienie nie dowodzi, że pozostała zależność jest nieszkodliwa. Harris (1992)90022-Q) analizuje praktyczne decyzje dotyczące struktury opóźnień ADF, rozmiaru testu i mocy.

W niektórych procesach wybór opóźnień jest trudny. Ng i Perron pokazują, że pierwiastek średniej ruchomej bliski −1 może sprawić, iż standardowe AIC lub BIC wybiorą za mało opóźnień augmentacyjnych w badanych przez nich procedurach testowania pierwiastka jednostkowego. Ich zmodyfikowane kryteria informacyjne zaprojektowano dla procedur z detrendingiem GLS i powiązanych testów. To ostrzeżenie dotyczące określonych dynamik, a nie ogólna zasada, że jedno kryterium lub dłuższe opóźnienie zawsze jest lepsze.

Test Phillipsa–Perrona zaczyna od regresji typu Dickeya–Fullera bez sumy opóźnionych różnic z ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Następnie koryguje statystykę za pomocą estymacji wariancji krótkookresowej i kowariancji długookresowej. Często spotykana postać estymatora tej drugiej to:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

γ̂ⱼ oznacza autokowariancje reszt, K jest wagą jądra, a ℓ wyborem pasma lub obcięcia. Dokładna definicja zależy od statystyki PP i konwencji oprogramowania. Różnica koncepcyjna pozostaje ta sama: ADF dodaje do regresji opóźnione różnice, a PP stosuje nieparametryczną korektę zależności do statystyki krótszej regresji.

PP to nie po prostu „ADF z odpornymi błędami standardowymi”. Korekta zmienia statystykę pierwiastka jednostkowego i jej asymptotyczne traktowanie; ogólny wynik regresji z odpornymi błędami nie uzasadnia zwykłych wartości krytycznych t. Jądro i pasmo określają, jaką część zależności wychwytuje korekta. Zbyt wąskie pasmo może pominąć istotną korelację, a zbyt szerokie może zwiększyć szum estymacji wariancji długookresowej.

<!-- learn:illustration -->

Pod hipotezą zerową pierwiastka jednostkowego opóźniony poziom pochodzi z trendu stochastycznego, a nie ze stacjonarnej zmiennej objaśniającej. Statystyki z rodziny DF mają więc niestandardowe rozkłady graniczne. Nawet przy dużej próbie zwykła tablica t nie jest właściwym punktem odniesienia. Wartości krytyczne zależą od obecności stałej i trendu, a także od statystyki i implementacji.

Statystyki PP są przekształcane, aby uwzględnić zależność, ale hipotezę zerową pierwiastka jednostkowego nadal ocenia się względem właściwego niestandardowego prawa odniesienia. Używaj wartości krytycznych lub p-value z uznanej implementacji pasującej do składników deterministycznych i statystyki. Nie porównuj statystyki ADF z jednej specyfikacji z wartościami krytycznymi PP z innej ani nie interpretuj wyświetlonego ilorazu t współczynnika jak zwykłej statystyki t-Studenta.

Kalibracja asymptotyczna nie gwarantuje dobrego zachowania w każdej próbie skończonej. Badanie Monte Carlo Schwert wskazuje na wrażliwość testów pierwiastka jednostkowego na błędną specyfikację i różnice między metodami w próbach skończonych. Odczytuj p-value z uwzględnieniem długości próby, zależności w danych, ustawienia opóźnień lub pasma oraz specyfikacji regresji.

Rozmiar testu to prawdopodobieństwo odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej pierwiastka jednostkowego; moc to prawdopodobieństwo odrzucenia przy określonej alternatywie stacjonarnej. Test może wyglądać rozstrzygająco w jednej próbie, a mieć nieprawidłowy rozmiar przy rzeczywistej strukturze zależności. Opóźnienia ADF i korekta kowariancji długookresowej PP dotyczą powiązanych problemów za pomocą różnych przybliżeń; wynik jednego nie gwarantuje odporności drugiego.

W ADF sprawdź, czy po dodaniu opóźnień w resztach pozostaje autokorelacja i czy kolejne opóźnienie istotnie zmienia wnioskowanie. W PP podaj jądro i regułę doboru pasma oraz sprawdź rozsądne alternatywy. To analizy wrażliwości, a nie zgoda na testowanie wielu specyfikacji i zachowanie najkorzystniejszego p-value. Wyniki Ng–Perron przypominają także, że wybór opóźnień zależy od procesu błędu i detrendingu deterministycznego; mechaniczne kryterium informacyjne nie rozwiązuje każdego projektu.

Oba testy mogą mieć niską moc wobec bardzo trwałych alternatyw stacjonarnych. Brak odrzucenia nie jest pozytywnym dowodem, że różnicowanie jest konieczne. Jeśli próba jest krótka, pierwiastek bliski jedności lub wniosek kluczowy dla modelu, rozważ uzupełniające dowody i procedury z jasno opisanymi założeniami zamiast traktować ADF i PP jak niezależne głosy.

Skok poziomu, zmiana trendu, reżimu polityki, powiązania walutowego lub struktury rynku mogą sprawić, że szereg wygląda na bardzo trwały, choć lepiej opisują go stacjonarne segmenty wokół zmiennej ścieżki deterministycznej. Analiza Perrona dotycząca dużych zmian historycznych pokazuje, że wniosek o pierwiastku jednostkowym może zależeć od dopuszczenia załamania. Standardowe ADF i PP nie wykrywają automatycznie wszystkich załamań.

Narysuj szereg, udokumentuj znane zmiany instytucjonalne i sprawdź, czy test uwzględniający załamanie lub model segmentowy odpowiada na właściwe pytanie. Poszukiwanie załamania po obejrzeniu tej samej próby może wpływać na wnioskowanie; użyj metody z wartościami krytycznymi uwzględniającymi taki wybór albo opisz analizę jako eksploracyjną. Przewodnik Bai–Perrona dotyczy estymacji załamań regresji, a nie bezpośredniej korekty niezmienionego ADF lub PP.

Ważna jest także transformacja. Poziom ceny, logarytm ceny, spread i stopa zwrotu to różne zmienne ekonomiczne. Różnicowanie poziomu prawdopodobnie zawierającego pierwiastek jednostkowy może dać stabilniejszy szereg; różnicowanie poziomu stacjonarnego może usunąć informację i stworzyć niepotrzebnie zaszumioną specyfikację. W badaniu par analiza kointegracji pomaga odróżnić odrębne trendy stochastyczne od potencjalnie stacjonarnego spreadu. Żadna z tych diagnoz sama nie dowodzi rentowności strategii.

Załóżmy, że hipotetyczny poziom spełnia:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

μ jest stałym dryfem, a innowacje εₜ mogą być zależne szeregowo. Po odjęciu yₜ₋₁ otrzymujemy Δyₜ = μ + εₜ; współczynnik γ opóźnionego poziomu wynosi zero w odpowiadającej regresji różnic. To algebraiczna postać hipotezy zerowej pierwiastka jednostkowego. Algebra nie daje p-value: rozkład odniesienia pozostaje niestandardowy i zależy od składników deterministycznych i sposobu korekty zależności.

W ADF opóźnione różnice mają przedstawiać krótkookresową zależność w regresji. W PP równanie bazowe jest krótsze, a statystyka otrzymuje oszacowaną korektę kowariancji długookresowej. Jeśli dane zawierają załamanie trendu deterministycznego, oba standardowe podejścia mogą być źle wyspecyfikowane, nawet gdy oprogramowanie pokazuje pozornie precyzyjną statystykę.

Porównanie ma zatem trzy warstwy: hipotezę merytoryczną, specyfikację regresji i składników deterministycznych oraz korektę pozostałej zależności. Przy stałych dwóch pierwszych ADF i PP są użytecznymi alternatywnymi diagnozami; zmienianie wszystkich trzech aż do uzyskania odrzucenia nie jest testem odporności. Różne wyniki zachęcają do sprawdzenia założeń i ustawień, a nie do wyboru zwycięzcy, który automatycznie określi model.

Podaj zmienną i transformację, daty i częstotliwość próby, składniki deterministyczne oraz regułę i wybrany rząd opóźnień ADF albo statystykę PP, jądro i pasmo. Wymień hipotezę zerową i alternatywną, statystykę, właściwą wartość krytyczną lub p-value oraz sprawdzenie autokorelacji reszt i załamań. Jeśli wynik zależy od uzasadnionych ustawień, napisz o tym; nie pokazuj wyłącznie specyfikacji wspierającej preferowaną interpretację.

Przydatny tok pracy zaczyna się od określenia celu i modelu ekonomicznego, wyboru składników deterministycznych, uruchomienia odpowiednio wyspecyfikowanego ADF lub PP, sprawdzenia zależności i możliwych załamań oraz porównania z uzupełniającymi dowodami. Przewodnik po teście ilorazu wariancji bada inną implikację błądzenia losowego. Ma inną hipotezę zerową i nie zastępuje testu pierwiastka jednostkowego.

Ani ADF, ani PP nie nakazuje różnicowania po przekroczeniu przez p-value określonego progu. Różnicowanie to decyzja modelowa dotycząca szeregu i pytania: prognoza zmian, estymacja relacji długookresowej, test spreadu transakcyjnego lub zachowanie informacji o poziomie mogą prowadzić do innych wyborów. Test pomaga w decyzji, lecz ostateczna transformacja powinna uwzględniać również proces generujący dane, stabilność, cel prognozy i ewentualną kointegrację.