Test ilorazu wariancji: błądzenie losowe, horyzonty i trading

Niech \(P_t\) oznacza obserwowaną cenę, a \(x_t=\ln(P_t)\) jej logarytm. Logarytmiczna stopa zwrotu za jeden okres to \(r_t=x_t-x_{t-1}\). Logarytmiczna stopa zwrotu za \(q\) okresów jest sumą \(q\) kolejnych stóp za jeden okres. Jeśli te przyrosty są nieskorelowane i mają stabilną wariancję, wariancja ich sumy rośnie proporcjonalnie do \(q\).

Populacyjny iloraz wariancji ma postać

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

Przy takim warunku skalowania wariancji \(\operatorname{VR}(q)=1\). Procedura Lo–MacKinlaya przekształca tę zależność w statystykę z próby i test ograniczenia błądzenia losowego. Jedność jest wartością odniesienia wynikającą z nieskorelowanych przyrostów; nie oznacza, że ceny są gładkie lub przewidywalne. W pierwotnym zastosowaniu autorzy odrzucili specyfikację błądzenia losowego na podstawie historycznych danych o amerykańskich akcjach, ale wyraźnie zastrzegli, że samo odrzucenie nie dowodzi modelu cen z powrotem do średniej.

Dla stacjonarnych stóp zwrotu za jeden okres z autokorelacją \(\rho_j\) przy opóźnieniu \(j\) ten sam iloraz populacyjny można zapisać jako

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

Waga każdej autokorelacji maleje wraz ze wzrostem jej opóźnienia. Iloraz podsumowuje więc ważoną kombinację zależności szeregowych do horyzontu \(q-1\); nie jest równy autokorelacji dla jednego konkretnego opóźnienia.

Załóżmy, że dla \(q=4\) hipotetyczny proces stóp zwrotu ma \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\) i \(\rho_3=0\). Wówczas

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

Wartość powyżej jedności odzwierciedla dodatnią zależność ważoną dla tych horyzontów. Gdyby dwie pierwsze autokorelacje wynosiły \(-0.10\) i \(-0.04\), a trzecia nadal zero, iloraz wyniósłby \(0.83\). To hipotetyczne obliczenia populacyjne. Oszacowanie z obserwowanej próby może być inne z powodu zmienności próbkowania, zmian zmienności oraz korekt estymatora dla prób skończonych.

Różne wzorce autokorelacji mogą dać taki sam iloraz dla jednego horyzontu. Dodatnie i ujemne składniki mogą się znosić, dlatego iloraz równy dokładnie jeden nie wymaga, aby każda uwzględniona autokorelacja wynosiła zero. Kilka horyzontów określonych z góry może ujawnić inny wzorzec, ale łączne testowanie wyników wymaga również wnioskowania łącznego.

Test zwykle stosuje się do logarytmów cen obserwowanych w równych odstępach lub do ich pierwszych różnic. Jeśli obserwacje to dzienne ceny zamknięcia, \(q=5\) oznacza stopę zwrotu z pięciu sesji, a nie tygodnia kalendarzowego z inną liczbą sesji giełdowych. Brakujące sesje, luki nocne i nieregularne znaczniki czasu zmieniają znaczenie „jednego okresu”. Podaj kalendarz rynku i określ, czy ceny uwzględniają wypłaty lub inne zdarzenia korporacyjne.

Użycie prostych zamiast logarytmicznych stóp zwrotu to wybór modelowy, a nie nieistotna zmiana nazwy dla każdego horyzontu. Logarytmiczne stopy zwrotu dokładnie się sumują w czasie; proste stopy zwrotu podlegają kapitalizacji. Przy niewielkich zmianach wartości mogą być podobne, ale definicja powinna pasować do pytania i być spójna w przykładzie, estymacji i teście historycznym. Nie stosuj wzoru do poziomu ceny tak, jakby był szeregiem stóp zwrotu.

Większość implementacji tworzy nakładające się stopy zwrotu z \(q\) okresów, aby każda dostępna obserwacja weszła do oszacowania. Zwiększa to liczbę obserwacji zagregowanych, ale sąsiednie okna współdzielą wiele stóp za jeden okres i nie są niezależne. Błąd standardowy testu uwzględnia tę konstrukcję przy założeniach modelu; traktowanie nakładających się stóp zwrotu jako niezależnych zaniżyłoby niepewność.

Załóżmy, że wariancja stopy zwrotu hipotetycznego aktywa z jednej sesji wynosi \(0.0001\), co odpowiada odchyleniu standardowemu 1% na sesję. Przy nieskorelowanych przyrostach wariancja stopy z czterech sesji wynosi \(4\times0.0001=0.0004\), odchylenie standardowe wynosi 2%, a iloraz to \(0.0004/(4\times0.0001)=1\).

Załóżmy teraz, że oszacowana wariancja z czterech sesji wynosi \(0.000468\), a oszacowanie z jednej sesji nadal \(0.0001\). Iloraz z próby wynosi \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\). Obliczenie opisuje porównanie rozproszenia na wybranych horyzontach. Nie oznacza, że oczekiwana stopa zwrotu jest o 17% wyższa, że kolejna stopa ma o 17% większe prawdopodobieństwo wzrostu ani że pozycja na cztery sesje ma przynieść oczekiwany zysk 17%.

Aby wyciągnąć wniosek statystyczny, porównaj oszacowany iloraz z rozkładem testowym i miarą niepewności. Iloraz może być bliski jedności, mimo że inne aspekty procesu cenowego naruszają pełny model błądzenia losowego. Z kolei w krótkiej lub zaszumionej próbie wartość odbiegająca od jedności może być statystycznie nieodróżnialna od jedności. Oddziel oszacowanie, statystykę testową, wartość p i interpretację ekonomiczną.

Klasyczna homoskedastyczna statystyka Lo–MacKinlaya standaryzuje \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) za pomocą wariancji asymptotycznej wyprowadzonej przy założeniu stałej wariancji przyrostów. Jeśli zmienia się warunkowa zmienność stóp zwrotu, ten błąd standardowy może zniekształcić rozmiar testu. Lo i MacKinlay opracowali także estymator wariancji odporny na heteroskedastyczność dla statystyki ilorazu wariancji.

„Odporny na heteroskedastyczność” ma określony zakres: przy założeniach testu koryguje wnioskowanie dla szerszego wzorca zmieniającej się wariancji stóp zwrotu. Nie naprawia błędnej serii cen, zależności dla każdego możliwego horyzontu, załamań strukturalnych, nieaktualnych kwotowań ani zbyt krótkiej próby. Niektóre programy oznaczają oba warianty symbolami takimi jak \(Z\) i \(Z^*\); sprawdź w dokumentacji, jaką hipotezę zerową i formułę błędu standardowego stosują.

Badanie z 1989 r. dotyczące prób skończonych wykazało, że wyniki zależą od rozpatrywanej hipotezy zerowej i alternatywnej. W analizowanych symulacjach test był bardziej wiarygodny pod heteroskedastyczną hipotezą zerową o błądzeniu losowym niż niektóre testy porównawcze. Nie jest to uniwersalna gwarancja dla każdej próby i implementacji. Przy małej próbie pomocny może być bootstrap lub inna procedura dla prób skończonych, ale schemat losowania również musi zachować cechy zależności i zmienności istotne dla pytania.

Test dla pojedynczego \(q\) sprawdza, czy ograniczenie skalowania wariancji zachodzi dla wybranego horyzontu. Jeśli \(q\) wybrano po sprawdzeniu wielu horyzontów, podana wartość p nie uwzględnia tego przeszukiwania. Próbowanie \(q=2,4,8,16\) i wyróżnianie tylko najbardziej istotnego wyniku zwiększa ryzyko fałszywie dodatniego wniosku.

Łączna procedura ilorazu wariancji testuje jednocześnie zestaw horyzontów określony z góry i koryguje decyzję o wielokrotne porównania. Chow i Denning opracowali taki test wielokrotny, ponieważ rozpatrywanie wielu pojedynczych ilorazów jako osobnych, nieskorygowanych decyzji może znacznie zwiększyć łączną częstość błędu pierwszego rodzaju. Wynik łączny dotyczy testowanej rodziny horyzontów; nie wyjaśnia, które opóźnienie, mechanizm lub uczestnik rynku odpowiada za odchylenie.

Dobierz horyzonty do częstotliwości próbkowania i pytania badawczego. Porównanie jednego dnia, tygodnia i miesiąca może być użyteczne, ale każdy horyzont wiąże się z innym zbiorem informacji i strukturą nakładających się stóp zwrotu. Podaj cały testowany zestaw, a nie tylko najkorzystniejszy horyzont, i odróżnij eksploracyjne przeszukiwanie od testu potwierdzającego.

Oszacowanie powyżej jedności jest zgodne z dodatnią ważoną zależnością szeregową dla wybranych opóźnień. Wartość poniżej jedności jest zgodna z ujemną zależnością ważoną dla tych opóźnień. Żaden z tych znaków nie identyfikuje jednoznacznie momentum, powrotu do średniej, opóźnionej korekty cen, efektów zapasów, odbicia bid-ask, niesynchronicznego handlu ani procesu zmienności.

W szczególności \(\operatorname{VR}(q)<1\) nie dowodzi, że poziom cen jest stacjonarny. Szereg może mieć iloraz poniżej jedności dla określonego horyzontu, a mimo to zawierać trend stochastyczny. Z kolei odrzucenie ograniczenia błądzenia losowego samo w sobie nie dowodzi stacjonarnej alternatywy z powrotem do średniej. Lo i MacKinlay wyraźnie zaznaczyli, że odrzucenie w badanych danych giełdowych nie uzasadniało takiego wniosku.

Wnioskowanie zależy również od tego, czy testowany obiekt to stopa zwrotu, logarytm ceny, stopa zwrotu ponad stopę wolną od ryzyka czy inny przekształcony szereg. Wynik dla dziennych stóp od zamknięcia do zamknięcia nie mówi automatycznie nic o kwotowaniach śróddziennych ani o innym zbiorze aktywów. Określ dokładnie badany obiekt i odpowiednio zawęź interpretację.

Odbicie bid-ask może powodować krótkookresową ujemną zależność w stopach zwrotu opartych na cenach transakcyjnych, nawet gdy wolniejszy proces wartości ekonomicznej nie wykazuje odwrócenia. Notowania niepłynnych papierów mogą być aktualizowane asynchronicznie, a ceny zamknięcia na różnych rynkach mogą obejmować różne okna informacyjne. Te cechy mogą najsilniej wpływać na najkrótsze horyzonty. Zanim nazwiesz wzorzec anomalią rynkową, sprawdź jakość kwotowań, aktywność handlową, synchronizację znaczników czasu i wrażliwość na dłuższy odstęp próbkowania.

Grupowanie zmienności wpływa na błędy standardowe, nawet gdy znaki lub poziomy stóp zwrotu nie wykazują stabilnego wzorca kierunkowego. Zmiana strukturalna średniej, zmienności, godzin handlu lub składu rynku może sprawić, że jeden iloraz z całej próby połączy różne reżimy. Zbadaj stabilność podokresów i nie wybieraj wyłącznie okna wspierającego preferowaną interpretację.

Przeszukiwanie aktywów, częstotliwości, horyzontów, filtrów i dat końcowych próby tworzy dodatkowy problem: selekcję szumu. Statystycznie nietypowy iloraz znaleziony po szerokim przeszukaniu nie jest testem hipotezy wolnym od wpływu selekcji. Ustal z góry główny horyzont albo zastosuj odpowiednią metodę łączną lub resamplingową, a następnie zweryfikuj odkryty wzorzec na późniejszych danych chronologicznych.

Test ilorazu wariancji podsumowuje zmienność stóp zwrotu na różnych horyzontach. Nie określa kierunku, wejścia, wyjścia, stopu, wielkości pozycji, czasu jej utrzymywania ani tego, czy sygnał był dostępny przed realizacją zlecenia. Nawet stabilny wzorzec zależności może być zbyt słaby, by pokryć prowizje, spread, wpływ na rynek, finansowanie, koszt pożyczki papierów i obrót.

W badaniu strategii zdefiniuj sygnał i moment decyzji przed sprawdzeniem przyszłych stóp zwrotu. Oszacuj parametry na okresie formacyjnym, zamroź je i oceń późniejsze obserwacje. Jeśli wynik odkryto po wypróbowaniu wielu papierów lub horyzontów, pozostaw naprawdę nietknięty okres testowy albo użyj metody uwzględniającej przeszukiwanie. Porównaj wyniki po kosztach z punktem odniesienia i uwzględnij realistyczną realizację zleceń, a nie tylko teoretyczną prognozę stopy zwrotu.

Traktuj iloraz wariancji jako jedno z narzędzi diagnostycznych, obok wykresów, kontroli autokorelacji, testów pierwiastka jednostkowego i analizy stabilności. Odchylenie od skalowania wariancji może uzasadniać bardziej szczegółowy model, który wymaga jednak własnych założeń i dowodów poza próbą. Test zwięźle opisuje ograniczenie momentu, ale nie dowodzi istnienia przewagi.

Określ definicję ceny, transformację stopy zwrotu, częstotliwość obserwacji, daty próby, liczbę użytecznych obserwacji i to, czy okna stóp zwrotu się nakładają. Podaj każdy testowany horyzont \(q\), iloraz wariancji z próby, zastosowany wariant błędu standardowego, statystykę testową, wartość p, poziom istotności i ewentualną łączną korektę za wiele horyzontów.

Wyjaśnij sposób obsługi brakujących obserwacji, zdarzeń korporacyjnych, zamknięć rynku i znaczników czasu. Zaznacz, czy wnioskowanie odporne na zmienność, bootstrap, podokresy lub alternatywne odstępy próbkowania zmieniły wynik. W zastosowaniu transakcyjnym oddziel próbę statystyczną od okresu oceny oraz ujawnij koszty, czas realizacji, reguły selekcji i wszystkie testowane aktywa oraz horyzonty.

Lo i MacKinlay przedstawiają test specyfikacji ilorazu wariancji i badają jego rozmiar oraz moc w próbach skończonych. Chow i Denning wyjaśniają, dlaczego testowanie wielu ilorazów wariancji wymaga łącznej kontroli poziomu testu90051-6). Pokrewne zagadnienia omawiają przewodniki o stacjonarności i pierwiastkach jednostkowych, kointegracji Engle’a–Grangera oraz teście rzędu kointegracji Johansena.