Two-Scale Realized Volatility: variantie schatten met microstructuurruis

Gerealiseerde variantie wordt vaak berekend door gekwadrateerde rendementen op te tellen. Als waargenomen logprijzen de efficiënte prijs perfect zouden volgen, kunnen meer waarnemingen het pad nauwkeuriger vastleggen. Transactieprijzen en bied- en laatkoersen bevatten in werkelijkheid ook bid-ask-bounce, prijsdiscretisatie, vertraging en andere microstructuureffecten. Bij zeer korte intervallen kunnen die effecten groot zijn ten opzichte van de verandering in de efficiënte prijs.

De naïeve gerealiseerde variantie kan daarom stijgen wanneer er vaker wordt waargenomen, zelfs als de onderliggende geïntegreerde variantie tijdens de sessie niet is veranderd. Dat bewijst niet dat de economische volatiliteit van het activum noodzakelijk is gestegen. Het kan ontstaan doordat ruisgevoelige prijsverschillen herhaaldelijk worden gekwadrateerd en opgeteld. De gids voor het berekenen van gerealiseerde volatiliteit licht de gewone som van gekwadrateerde rendementen toe; dit artikel behandelt een correctie voor één specifieke bron van hoogfrequente bias.

Zhang, Mykland en Aït-Sahalia introduceerden TSRV in hun oorspronkelijke onderzoek met twee tijdschalen. De methode gebruikt twee resoluties voor verschillende doeleinden. Een schaars rooster vermindert het aantal door ruis besmette incrementen. Het middelen van schaarse roosters met verschoven startpunten voorkomt afhankelijkheid van één willekeurig beginpunt. Het volledige fijne rooster levert een geschaalde ruiscomponent die kan worden afgetrokken. De redenering berust op aannames en keuzes voor een eindige steekproef; de uitkomst is dus een schatter met onzekerheid, geen ruisvrij waargenomen werkelijk prijspad.

Noem \(X_t\) de latente efficiënte logprijs, gemodelleerd over het venster als een continu proces met lokale variantiesnelheid \(\sigma_t^2\). Het doel is de geïntegreerde variantie:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Veronderstel dat de geregistreerde logprijs op waarnemingstijdstip \(t_i\) gelijk is aan

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

waar \(\epsilon_{t_i}\) observatieruis is. De klassieke afleiding gebruikt als basis een ruisproces met gemiddelde nul, onafhankelijk tussen waarnemingstijdstippen en van het efficiënte-prijsproces, en met constante variantie \(\omega^2\). Ook wordt een regelmatig bemonsteringsrooster en een passend continu model voor de efficiënte prijs verondersteld. Dat zijn modelvoorwaarden, geen universele beschrijving van beursgegevens.

Het waargenomen increment is \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). Een prijsfout op één waarneming komt met tegengestelde tekens in twee aangrenzende rendementen terecht: een positieve prijsfout verhoogt het ene rendement en verlaagt het volgende. Rendementen uit ruisgevoelige prijzen gedragen zich daarom niet als onafhankelijke meetfouten. De gids over kwadratische variatie in finance legt uit waarom de som van gekwadrateerde incrementen zonder ruis de padvariatie meet.

Het doel hier is variantie over een bepaald tijdvenster. Het is geen schatting van de bied-laatspread, geen voorspelling en geen gerealiseerde uitvoeringskost. Voor een andere vraag over transactieprijzen, zie de Roll-schatter voor de bied-laatspread. Het doel moet duidelijk blijven: verschillende microstructuurmethoden gebruiken hoogfrequente prijzen maar schatten verschillende grootheden.

Definieer voor \(n\) rendementen op het fijne rooster

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

In het basismodel is de ruiscomponent van één waargenomen rendement \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), met \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Als we kruistermen negeren waarvan de verwachting onder de onafhankelijkheidsaannames nul is, geldt bij benadering

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

De eerste term is de gewenste geïntegreerde variantie. De tweede telt een ruisbijdrage op voor elk fijn rendement. Als het bemonsteringsinterval kleiner wordt en \(n\) groeit, kan de ruisterm gaan overheersen. Daarom is “bemonster zo vaak mogelijk” geen veilige regel wanneer meetruis wordt genegeerd. Aït-Sahalia, Mykland en Zhang analyseren de eindige optimale bemonsteringsfrequentie in hun onderzoek naar bemonstering bij microstructuurruis.

De benadering betreft een verwachtingswaarde onder een model. Een afzonderlijke steekproef bevat ook willekeurige kruistermen tussen efficiënte-prijsincrementen en ruiselementen, zodat de gerealiseerde waarde niet gelijk hoeft te zijn aan de verwachting. Als de ruisvariantie intraday verandert, fouten serieel afhankelijk zijn of de waarnemingen onregelmatig zijn, beschrijft de eenvoudige uitdrukking \(2n\omega^2\) de bias mogelijk niet. Een bekende formule kan dan een precies ogend getal opleveren dat de verkeerde correctie toepast.

Kies een geheel getal \(K>1\). Bereken voor elke offset \(k=0,\ldots,K-1\) de gerealiseerde variantie op een schaars rooster door telkens elke \(K\)-de waargenomen prijs te gebruiken:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Elk schaars increment bestrijkt een langer interval, maar het rooster omvat ongeveer hetzelfde waarnemingsvenster. Neem het gemiddelde over de beschikbare offsets:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

De offsets zijn van belang. Eén schaars rooster kan net vóór of na een grote beweging beginnen en daardoor gevoelig zijn voor die keuze. Het middelen van verschoven roosters vermindert deze afhankelijkheid van het startpunt. Het levert geen \(K\) onafhankelijke datasets op: de roosters hergebruiken waarnemingen en zijn statistisch afhankelijk.

Bij onafhankelijke observatieruis met gelijke variantie komen de twee ruistermen aan de uiteinden van een schaars rendement van verschillende waarnemingen; de variantie van hun verschil blijft \(2\omega^2\). Er zijn minder schaarse rendementen dan fijne rendementen, zodat de gemiddelde schatting van de schaarse roosters minder ruisbias opstapelt. De signaalbijdrage blijft ongeveer dezelfde geïntegreerde variantie, omdat de schaarse incrementen het venster bestrijken en niet slechts een deel ervan.

De afbeelding bij deze gids is conceptueel: ze vergelijkt een grillig waargenomen pad met grovere, verschoven roosters rond een gladder latent pad. De afbeelding toont geen marktgegevens of geschatte uitkomst.

<!-- learn:illustration -->

Voor schatters op basis van hoogste en laagste prijzen in plaats van deze constructie met twee roosters, zie de gids voor OHLC-rangegebaseerde volatiliteitsschatters.

Noem \(\bar n\) het gemiddelde aantal schaarse rendementen over de offsetroosters en stel \(\lambda=\bar n/n\). Onder het basismodel bedraagt de gemiddelde ruisbias van de schaarse roosters ongeveer \(2\bar n\omega^2\). De ruisbias van het fijne rooster is ongeveer \(2n\omega^2\), zodat \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) ongeveer \(2\bar n\omega^2\) bijdraagt. Aftrekken heft de leidende ruisterm op:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Dit ruwe verschil trekt ook een fractie \(\lambda\) van het variantiesignaal af, omdat beide variantieschattingen een signaal bevatten. Daarom wordt vaak de volgende eindige-steekproefnormalisatie gebruikt:

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

De noemer herstelt de signaalcoëfficiënt in de eenvoudige verwachtingswaardeberekening. Implementaties verschillen in conventies en eindpuntbehandeling. Documenteer daarom de exacte definitie van \(n\), de offsets en de berekening van \(\bar n\). De correctie neemt steekproefonzekerheid niet weg en herstelt geen geschonden ruismodel. In de klassieke asymptotische opzet wordt \(\lambda\) kleiner naarmate de steekproef groeit; bij een kort venster kan de eindige factor nog steeds van belang zijn.

De schatting kan negatief zijn als \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Dat betekent niet dat de fysieke variatie negatief is; de aftrek van ruis in de eindige steekproef was groter dan de schaarse schatting. Vervangen door nul kan handig zijn voor een weergave, maar verandert de schatter en voegt een afkapregel toe. Bewaar en rapporteer de ruwe waarde in de analyse, controleer de gekozen schalen en aannames en vermeld elke latere afkapping.

Stel dat zeven hypothetische waargenomen logprijzen zes fijne rendementen in basispunten opleveren: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Dit is een kleine reeks om de rekenstappen te tonen, geen beursdata. De gerealiseerde variantie op het fijne rooster is

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Neem \(K=2\). De eerste offset groepeert aangrenzende fijne rendementen tot schaarse rendementen \([2,-2,2]\) bp, met kwadratensom \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). De verschoven offset levert \([0,0]\) bp en een som van 0 op. Het gemiddelde van de twee roosterschattingen is \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Er zijn zes fijne rendementen en de twee offsets bevatten respectievelijk drie en twee schaarse rendementen. Dus \(\bar n=(3+2)/2=2.5\) en \(\lambda=2.5/6=5/12\). Daarmee geldt

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

In eenheden van decimale rendementen in het kwadraat is de schatting \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\). De wortel is ongeveer \(2.45\) bp voor dit hypothetische venster; dit is niet geannualiseerd. De numerieke gelijkheid met de fijne gerealiseerde variantie is een gevolg van deze geconstrueerde kleine reeks en geen identiteit van TSRV. Andere prijspaden kunnen een hogere, lagere of zelfs negatieve schatting opleveren.

De berekening maakt ook de beperking van het model zichtbaar: het werkelijke latente pad en de ruis worden niet afzonderlijk waargenomen. Deze steekproef alleen kan dus niet aantonen dat \(6\,\mathrm{bp}^2\) gelijk is aan de werkelijke geïntegreerde variantie. Sommen, schaal en eenheden kunnen worden gecontroleerd, maar de verborgen decompositie kan niet uit het voorbeeld worden afgeleid. De empirische literatuur bespreekt ook realized-kernelmethoden, een andere familie correcties voor hoogfrequente ruis met eigen aannames en implementatiekeuzes.

De schaal \(K\) balanceert het aantal schaarse rendementen met middeling en ruiscorrectie. Bij een te kleine \(K\) blijven veel korte incrementen over en kan de ruisgevoeligheid hoog blijven. Bij een te grote \(K\) zijn er weinig grove rendementen, waardoor de schaarse schatting instabieler wordt en meer last kan hebben van effecten van het eindige venster. Het middelen van offsets helpt bij roosteruitlijning, maar voegt geen informatie toe die in een korte steekproef of steekproef van lage kwaliteit ontbreekt.

In de oorspronkelijke asymptotische analyse groeit de voorkeursafstand van het schaarse rooster mee met de steekproefomvang; onder de notatie en basisvoorwaarden van dat artikel is de orde \(n^{2/3}\). Dit is een theoretisch schaalresultaat, geen universele instructie voor een bepaald aantal seconden of waarnemingen. Het optimum hangt af van de verhouding tussen ruis en signaal en van aannames. Later werk en praktische implementaties kunnen andere afstelregels en eindpuntconventies gebruiken. Rapporteer het bemonsteringsinterval, \(K\), offsets, sessiegrenzen en de eindige-steekproefnormalisatie zodat de schatting reproduceerbaar is.

Een verdedigbare analyse kan een vooraf vastgelegde reeks plausibele \(K\)-waarden vergelijken en de gevoeligheid tonen, in plaats van achteraf de instelling te kiezen met de aantrekkelijkste uitkomst. Als schattingen sterk veranderen, maakt die instabiliteit deel uit van de bevinding. Kies de schaal op basis van het datadesign en een vastgelegde regel, niet nadat je de gewenste volatiliteit hebt gezien. Een vergelijking kan een grovere gerealiseerde variantie of een ruisrobuust alternatief bevatten, maar label de verschillende maatstaven afzonderlijk.

De klassieke correctie is afgeleid voor een specifieke ruisstructuur. Bid-ask-bounce en andere microstructuureffecten kunnen serieel afhankelijk zijn, gedurende de handelssessie veranderen, samenhangen met liquiditeit of correleren met incrementen van de efficiënte prijs. Hansen en Lunde documenteren in hun onderzoek naar gerealiseerde variantie en microstructuurruis interacties die tijdsafhankelijkheid en correlatie met veranderingen in de efficiënte prijs kunnen omvatten. Aït-Sahalia, Mykland en Zhang ontwikkelen later two-scale-methoden voor afhankelijke microstructuurruis. Die uitbreiding is een reden om de aangepaste schatter te onderscheiden van de oorspronkelijke formule met iid-ruis, niet om aan te nemen dat die oorspronkelijke formule elk afhankelijkheidspatroon verwerkt.

Andere praktische problemen zijn onregelmatige waarnemingstijden, asynchrone activa, verouderde quotes, prijsdiscretisatie, sprongen, foutieve transacties, openings- en sluitingseffecten en ontbrekende waarnemingen. Deze kunnen zowel de correctie op het fijne rooster als de rendementen in de schaarse roosters beïnvloeden. Of sprongen tot de doelvariatie behoren of apart moeten worden behandeld, hangt af van de onderzoeksvraag; TSRV bepaalt die modelkeuze niet. Waarnemingen filteren verandert ook het rooster en moet worden gedocumenteerd.

Robuustheid tegen ruis is geen immuniteit voor alle dataproblemen. Bepaal voordat je de schatting als maat voor latente variantie interpreteert of de input uit transactieprijzen, quotes of middenprijzen bestaat; vermeld de rendementstransformatie en tijdsbasis; controleer of waarnemingen gelijkmatig zijn gespreid; leg opschonings- en sessieregels vast; en beoordeel de gevoeligheid voor \(K\). Als het ruisproces de basisvoorwaarden schendt, gebruik dan een methode voor die situatie en licht de aannames toe. Noem een negatieve schatting geen negatieve volatiliteit en maak er niet ongemerkt een positief getal van.

Een transparante rapportage vermeldt het doelvenster, de prijsreeks, het bemonsteringsinterval, het aantal fijne rendementen, de schaarse afstand \(K\), de offsetset, de eindpuntregel, de ruisveronderstellingen, normalisatie, eenheden en eventuele afkapping. Toon zowel het ruwe verschil als de genormaliseerde schatting en eventueel een gevoeligheidsbereik voor vooraf vastgelegde schalen. Zo kan de berekening worden gecontroleerd en wordt voorkomen dat een variantieschatting wordt aangezien voor een quote, een toekomstige voorspelling of bewijs voor een winstgevende handelsregel.

Geïntegreerde variantie wordt gemeten over het waargenomen venster. Annualiseren vereist een expliciete tijdsconventie en mag intradaypatronen, nachtelijke intervallen of handelsonderbrekingen niet verhullen. De wortel nemen verandert de eenheid in volatiliteit voor het venster; het creëert geen voorspellingshorizon. Een historische gerealiseerde maat kan input zijn voor een model, maar voorspellende prestaties moeten apart worden beoordeeld op gegevens die niet zijn gebruikt om de instellingen van de schatter te kiezen.

De belangrijkste bijdrage van TSRV is methodologisch: onder een expliciet additief ruismodel gebruikt de methode twee bemonsteringsschalen om de leidende ruisbias te beperken die naïeve hoogfrequente gerealiseerde variantie inconsistent maakt. De methode verklaart niet elke prijsbeweging, neemt modelrisico niet weg en vertelt niet wat de volgende volatiliteit zal zijn. Vermeld die grenzen bij de gerapporteerde waarde.