Hasbrouck情報シェア：市場間の価格発見を測る方法

同じ証券が複数の取引所で取引されることも、密接に関連する商品が一つの基礎価値を反映することもあります。観測価格が常に一致するとは限りません。ある市場の気配値が先に動き、別の市場が反応した後、時間の経過とともに両方の価格が共通の長期経路に近づくことがあります。価格発見とは、新しい情報がその共通の永続成分に反映される過程です。売買高、表示流動性、直近の約定があった市場とは異なる概念です。

Hasbrouck情報シェアはこの問いに答えるために考案されました。この枠組みでは、連動する市場価格は観測されない暗黙の効率価格を共有し、個々の観測価格には一時的な乖離も含まれます。ある市場のシェアは、共通の効率価格イノベーションの分散に対する、その市場のイノベーションの比例寄与です（Hasbrouck, 1995）。推定値は、指定したシステム、標本、観測設計に依存します。誰が最初に情報を得たか、因果経路、ある市場がすべての事象で先行するかを特定するものではありません。

この違いは、ある市場の売買高が大きい場合や気配スプレッドが狭い場合に重要です。そうした特徴は価格発見と関連することがありますが、情報シェアが測るのは永続価格の変動に対するモデル上の寄与です。売買高が大きい市場よりも、別の市場のイノベーションが共通の長期価格を動かすうえで大きく寄与することもあります。

同じ資産または経済的に同等な権利を取引する \(d\) 市場の観測価格を \(p_t\) とします。一般的な市場微細構造の設定では、各価格水準は非定常で、多くの場合 \(I(1)\) ですが、長期的な裁定によって価格差は定常に保たれます。二つの市場が一つの共通トレンドを持つ場合、システムには通常、正規化した価格差のような共和分関係が一つあります。一般に、一つの共通確率トレンドを持つ \(d\) 個の価格の共和分ランクは \(d-1\) です。

これはデータで確かめるべき仮定であり、二つの画面に同じティッカーが表示されるだけで成り立つ恒等式ではありません。契約条件、通貨、ファンディング、配当、受渡し、持続的なベーシスの違いで価格は乖離し得ます。取引所の移転、手数料の変更、市場構造改革、データ定義の変更後に関係が変わることもあります。選んだ標本で観測系列が想定した長期関係を共有していなければ、効率価格の分解とシェアは意図した意味を持ちません。

共和分と誤差修正は、定常な長期関係を短期的な価格変化のモデルに結び付けます（Engle and Granger, 1987）。VECMはその構造を明示し、共通価格の周りの一時的な調整と、長期成分に影響を残すイノベーションを分けます。

<!-- learn:illustration --> <!-- 文字のない概念図：二つの市場価格の経路が、より滑らかな共通の長期価格経路の周囲で変動し、それぞれ一時的に乖離する様子。市場データ、因果関係図、予測ではありません。 -->

\(d\) 個の価格系列について、VECMは次のように表せます。

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

\(\beta\) は共和分関係を、\(\alpha\) は調整負荷を表します。\(\Gamma_j\) は短期ラグの動きを捉え、\(\varepsilon_t\) は共分散行列 \(\Omega\) を持つ縮約形イノベーションのベクトルです。一つの効率価格を想定する一般的なケースでは、イノベーションの長期的な影響を行ベクトル \(\psi\) で要約できます。永続価格の増分は

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t \]

です。ここではモデルで選んだ正規化と決定論的項に従います。この増分の全分散は

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T} \]

です。

\(\psi\) は推定したシステムの長期表現から得られるもので、調整係数 \(\alpha\) や共和分ベクトル \(\beta\) と単純に同じではありません。短期の価格変化は大きくても一時的なことがあります。一方、イノベーションの大きさが小さくても、その影響が共通の永続成分に残るなら価格発見への寄与は大きくなり得ます。

共通トレンドとその正規化を明記してください。効率価格の表現に定数を掛けると \(\psi\) と共通価格の分散の単位は変わりますが、正規化した情報シェアは変わりません。システムに複数の共通確率トレンドがある場合、スカラーの効率価格だけでは不十分です。どの永続成分または線形結合を分解するのか定義する必要があります。

市場間のイノベーションが無相関なら、\(\Omega\) は対角行列です。この場合、永続価格の分散に対する各市場の寄与を直接分けられます。

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

この式は、市場の長期的な影響にその市場自身のイノベーション分散を掛けて評価します。価格イノベーションの持続的な影響が大きい市場や、イノベーション分散が大きい市場ほど、情報シェアが高くなることがあります。VECMの調整係数の絶対値を比べるだけでは判断できません。

イノベーションが同時点で相関していると、全分散には共分散項が含まれます。\(\Omega\) だけから、その共有項を各市場に一意に割り当てる方法はありません。HasbrouckはCholesky分解 \(\Omega=FF^{\mathsf T}\) を使って直交化イノベーションを作ります。選んだ変数順序のもとで直交ショック \(i\) に割り当てられるシェアは

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}} \]

です。

この分解はショックを直交化しますが、三角行列の構造により、順序の早い変数が同時点の共有変動を先に取り込みます。これは分解上の配分規則であり、経済的な情報の序列を証明するものではありません。

二つの市場の価格が同じサンプリング間隔内に更新されてイノベーションが強く相関する場合、どちらの市場のイノベーションが先に到着したかをデータから明確に分けられません。Cholesky分解はどちらの市場を先に置くかによって共通変動を異なる形で配分します。Hasbrouckの手順では、対象市場を順序の最後に置いたときに下限を、最初に置いたときに上限を求め、関連する順序を比較します。

この上下限は、都合のよい順序を一つ選ぶより率直な問いに答えます。つまり、相関するイノベーションを許容される再帰的な方法で配分すると、対象市場のシェアはどれだけ変わり得るか、という問いです。範囲が狭ければ、推定標本ではこの順序問題の影響が小さいことを示します。範囲が広ければ、同時点の価格イノベーションだけでは市場ごとの配分を十分に識別できません。中間値を要約として示す場合もありますが、一意に識別された推定値ではないため、上下限や明記した順序の代わりにはなりません。

一方の市場が他方より先に更新する場合、サンプリング頻度を上げると見かけ上の同時相関が一部減ることがあります。ただし相関がゼロになる保証はありません。粗いサンプリングでは更新順序が隠れ、細かすぎるサンプリングでは古い観測や非同期の気配値の問題が起き得ます。サンプリング規則と順序感度の両方を報告してください。

説明のためだけに、二市場VECMから正規化された永続価格インパクトベクトル \(\psi=(0.6,0.4)\) が得られたとします。縮約形イノベーションの共分散行列を

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix} \]

とします。

各イノベーションの分散は1、相関は0.8です。永続価格イノベーションの総分散は

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904 \]

です。

市場Aを先に置きます。下三角Cholesky因子の一つは

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24) \]

です。得られるシェアはAが \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\)、Bが \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\) です。順序を逆にしてBを先にすると、同じ計算でBが約85.7%、Aが約14.3%になります。順序による上下限はAが約14.3%～93.6%、Bが約6.4%～85.7%です。どちらの順序でもシェアの合計は100%ですが、市場ごとの下限同士、または上限同士を足して100%にするものではありません。

ここで示した値はすべて仮想です。VECMのインパクトベクトル、単位分散、相関0.8は計算を再現できるように置いた値であり、特定の取引所、資産、標本の結果ではありません。この例の目的は、相関するイノベーションによって、一見明確な市場順位がCholesky順序に大きく左右されることを示すことです。

Gonzalo–Granger分解では、観測価格の正規化された線形結合として永続成分を構成します。調整行列が \(\alpha\) のVECMでは、共通因子の重みは \(\alpha\) の直交補空間にあります。重みベクトル \(w\) は \(\alpha^{\mathsf T}w=0\) を満たし、重みの合計を1とするなどの正規化を行います。こうして得られる共通因子は、長期的には誤差修正項に反応しません。GonzaloとGrangerは、共和分システムにおけるこの永続・一時成分の分解を提案しました（Gonzalo and Granger, 1995）。

このコンポーネントの重みは、各市場価格から共通価格水準がどのように構成されるかを表します。一方、Hasbrouck情報シェアは、各市場のイノベーションが共通永続価格イノベーションの分散にどれだけ寄与するかを測ります。両者は密接に関連することがありますが、情報シェアは各市場イノベーションの分散も考慮します。de Jongの比較とBaillie、Booth、Tse、Zabotinaの分析は、イノベーションが無相関なら両指標が似ることがあり、相関や分散の違いがあると異なる理由を説明しています（de Jong, 200200028-9)、Baillie et al., 200200027-7)）。

上記の仮想的な入力 \(\psi\) と \(\Omega\) だけでは、Gonzalo–Grangerのコンポーネント重みは決まりません。重みはVECMの調整行列 \(\alpha\) と明示された正規化に依存します。分散分解の入力だけから、コンポーネントの数値的な重みは導けません。この違いが重要です。コンポーネント重みは観測価格から永続価格を構成する一方、Hasbrouck情報シェアはそのイノベーションの分散を分解します。

価格系列は比較可能な権利を表し、妥当な時刻基準で揃える必要があります。各観測が約定価格、中間気配値、その他の気配値のどれかを示してください。ロックまたはクロスした気配値、古い価格、オークション、市場休場、順序外メッセージをどう扱うか、標本期間中に両市場が開いているかも明記します。先物では限月交代と受渡し条件の違いを記録します。複数市場に上場する商品では、VECM推定の前に通貨、企業行動、単位を揃えてください。

非同期観測は重要な問題です。一方の市場が10:00:00.100に更新し、もう一方が10:00:00.700に更新するなら、1秒間隔のサンプリングでは順次起きた反応が同時に見えることがあり、さらに粗い間隔では順序がいっそうぼやけます。非常に細かい間隔では古い価格を繰り越し、人工的な先行・遅行パターンを作る可能性があります。サンプリング頻度、同期規則、気配値フィルター、合理的な代替設定への感度を報告してください。間隔を短くすると時間集約による相関は減ることがありますが、実際の共通ショック、同時更新、タイムスタンプ誤差まではなくなりません。

シェアはラグ次数、決定論的項、標本の始点・終点、構造安定性にも左右されます。ラグが少なすぎるとVECMイノベーションに系列依存が残ることがあり、多すぎると推定ノイズが増える可能性があります。市場ルールや取引時間が変わると調整過程も変わり得ます。残差診断と不確実性推定を行い、VECM全体とシェア上下限を再推定するブートストラップも検討してください。一つの仕様を条件とした標準誤差が小さくても、モデルやデータ選択の不確実性まで含むわけではありません。

情報シェアは、特定のVECMと直交化のもとで、モデルに含めた各市場のイノベーションが推定上の永続価格分散にどれだけ寄与するかを示します。高いシェアは、その市場でニュースが生まれたこと、すべての事象で先に動くこと、次のリターンを予測することを証明しません。共通情報は複数市場にほぼ同時に届くことがあり、市場摩擦や観測時刻が測定された配分に影響します。

これは市場品質の直接的な指標でもありません。ある市場は共通価格に大きく寄与しながら、スプレッドが広く、表示板の厚みが浅く、執行コストが高いことがあります。逆に低コストの流動性を提供していても、選んだ標本では永続価格イノベーションへの寄与が小さい市場もあります。Rollスプレッド推定量はリターンの自己共分散から別の対象を推定し、注文フロー不均衡は長期イノベーション分散ではなく、表示された注文板の待ち行列の変化を要約します。

売買の有効性を主張するには、情報シェア分析を、手数料、売買スプレッド、遅延、スリッページ、市場インパクト、取引所へのアクセスを含めた事前設定のアウト・オブ・サンプル検証に組み込む必要があります。Engle–Grangerの解説は単一方程式による共和分の代替手法を、Johansenランクの解説はシステムの共和分ランクを説明します。共和分も高い情報シェアも、収益性のあるルールを証明しません。