Information share di Hasbrouck: misurare la price discovery tra mercati

Lo stesso titolo può essere negoziato su più sedi, oppure strumenti strettamente collegati possono riflettere un unico valore sottostante. I prezzi osservati non devono coincidere in ogni istante. Una quotazione può muoversi prima su una sede, un'altra può reagire e, col tempo, entrambi i prezzi possono assestarsi attorno a un percorso comune di lungo periodo. La price discovery descrive come le nuove informazioni entrano in questa componente permanente condivisa; è un concetto diverso dal volume, dalla liquidità quotata o dalla sede in cui è avvenuta l'ultima transazione.

L'information share di Hasbrouck è stata pensata per rispondere a questa domanda. Nel suo quadro, i prezzi di mercati collegati condividono un prezzo efficiente implicito e non osservato, mentre ogni prezzo osservato può contenere anche scostamenti temporanei. La quota di un mercato è il suo contributo proporzionale alla varianza dell'innovazione del prezzo efficiente comune (Hasbrouck, 1995). La stima dipende dal sistema specificato, dal campione e dal modo in cui sono raccolte le osservazioni. Non identifica chi abbia ricevuto per primo l'informazione, non stabilisce un nesso causale e non dimostra che una sede preceda le altre in ogni evento.

La distinzione è importante quando una sede ha più volume o quotazioni più strette. Queste caratteristiche possono essere associate alla price discovery, ma l'information share misura un contributo modellistico alle variazioni del prezzo permanente. Una sede può avere molto volume mentre un'altra contribuisce maggiormente alle innovazioni che muovono il prezzo condiviso di lungo periodo.

Sia \(p_t\) il vettore dei prezzi osservati in \(d\) sedi che negoziano lo stesso asset o diritti economicamente equivalenti. Nella consueta impostazione di microstruttura, ogni livello di prezzo è non stazionario, spesso \(I(1)\), mentre l'arbitraggio di lungo periodo mantiene stazionari gli scarti tra prezzi. Con due sedi e un solo trend comune, il sistema ha una relazione di cointegrazione, spesso una differenza di prezzo normalizzata. Più in generale, \(d\) prezzi collegati con un unico trend stocastico condiviso hanno rango di cointegrazione \(d-1\).

È un'ipotesi da verificare sui dati, non un'identità che discende dal fatto che lo stesso ticker compare su due schermi. I prezzi possono divergere per le condizioni contrattuali, la valuta, il funding, i dividendi, la consegna o una base persistente. La relazione può cambiare dopo il trasferimento di una sede, una modifica delle commissioni, una riforma del mercato o una variazione nella definizione dei dati. Se nel campione scelto le serie non condividono la relazione di lungo periodo ipotizzata, la scomposizione del prezzo efficiente e le relative quote non hanno l'interpretazione prevista.

La cointegrazione e la correzione dell'errore collegano una relazione stazionaria di lungo periodo a un modello delle variazioni di prezzo a breve (Engle e Granger, 1987). Il VECM rende esplicita questa struttura e distingue gli aggiustamenti temporanei attorno al prezzo comune dalle innovazioni che possono influenzare la componente di lungo periodo.

<!-- learn:illustration --> <!-- Illustrazione concettuale senza testo: due percorsi di prezzo delle sedi oscillano attorno a un unico percorso di lungo periodo più regolare, con scostamenti temporanei specifici per sede. Non sono dati di mercato, un diagramma causale o una previsione. -->

Per \(d\) serie di prezzo, un VECM si può scrivere come

\[ \Delta p_t=\alpha\beta^{\mathsf T}p_{t-1} +\sum_{j=1}^{q-1}\Gamma_j\Delta p_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

Qui \(\beta\) descrive le relazioni di cointegrazione, \(\alpha\) contiene i coefficienti di aggiustamento, \(\Gamma_j\) cattura la dinamica dei ritardi a breve e \(\varepsilon_t\) è il vettore delle innovazioni in forma ridotta, con matrice di covarianza \(\Omega\). Nel caso comune di un solo prezzo efficiente, l'impatto di lungo periodo delle innovazioni può essere riassunto da un vettore riga \(\psi\). L'incremento del prezzo permanente è

\[ \Delta m_t=\psi\varepsilon_t, \]

in base alla normalizzazione e ai termini deterministici scelti nel modello. La varianza complessiva di tale incremento è

\[ \operatorname{Var}(\Delta m_t)=\psi\Omega\psi^{\mathsf T}. \]

Il vettore \(\psi\) si ricava dalla rappresentazione di lungo periodo del sistema stimato; non coincide semplicemente con il coefficiente di aggiustamento \(\alpha\) né con il vettore di cointegrazione \(\beta\). Le variazioni di prezzo a breve possono essere ampie ma transitorie. Un'innovazione più piccola può invece contare maggiormente per la price discovery se il suo effetto persiste nella componente permanente condivisa.

Occorre dichiarare il trend comune e la sua normalizzazione. Moltiplicare per una costante la rappresentazione del prezzo efficiente cambia le unità di \(\psi\) e la varianza del prezzo comune, ma non le information share normalizzate. Se il sistema ha più di un trend stocastico comune, un unico prezzo efficiente scalare non basta: il ricercatore deve definire quale componente permanente o combinazione lineare viene scomposta.

Se le innovazioni delle sedi non sono correlate, \(\Omega\) è diagonale e il contributo di ciascun mercato alla varianza del prezzo permanente si può separare direttamente:

\[ \operatorname{IS}_i= \frac{\psi_i^2\Omega_{ii}}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}, \qquad \sum_{i=1}^{d}\operatorname{IS}_i=1. \]

La formula pesa l'impatto di lungo periodo di un mercato per la varianza della sua innovazione. Una sede può ottenere una quota maggiore se l'innovazione del suo prezzo ha un effetto persistente più ampio o una varianza più alta. Non basta confrontare i valori assoluti dei coefficienti di aggiustamento del VECM.

Quando le innovazioni sono correlate nello stesso istante, la varianza complessiva include termini di covarianza. La sola matrice \(\Omega\) non offre un modo univoco per assegnare quei termini condivisi alle singole sedi. Hasbrouck usa la fattorizzazione di Cholesky \(\Omega=FF^{\mathsf T}\) per costruire innovazioni ortogonali. Con un ordinamento scelto delle variabili, la quota assegnata allo shock ortogonale \(i\) è

\[ \operatorname{IS}_i(F)= \frac{(\psi F)_i^2}{\psi\Omega\psi^{\mathsf T}}. \]

La fattorizzazione rende ortogonali gli shock, ma la sua struttura triangolare assegna alle variabili che compaiono prima nell'ordinamento la priorità nell'assorbire la variazione contemporanea condivisa. È una convenzione di allocazione della scomposizione, non la prova di una gerarchia informativa economica.

Se le innovazioni di due sedi sono molto correlate perché i prezzi si aggiornano nello stesso intervallo di campionamento, i dati non separano con chiarezza quale innovazione sia arrivata prima. La decomposizione di Cholesky assegna il movimento comune in modo diverso a seconda della sede collocata per prima. La procedura di Hasbrouck calcola un limite inferiore collocando il mercato in fondo all'ordinamento e un limite superiore collocandolo all'inizio, considerando gli ordinamenti pertinenti.

Questi limiti rispondono a una domanda più onesta di un singolo ordinamento scelto per comodità: quanto può variare la quota di questo mercato con le allocazioni ricorsive ammissibili delle innovazioni correlate? Limiti ravvicinati indicano che, nel campione stimato, questo specifico problema di ordinamento ha un effetto ridotto. Limiti ampi indicano che le innovazioni contemporanee identificano debolmente la ripartizione tra sedi. Talvolta si riporta un punto medio come sintesi, ma non è una stima identificata in modo univoco e non dovrebbe sostituire i limiti o un ordinamento dichiarato.

Campionare più spesso può ridurre parte della correlazione contemporanea apparente quando una sede si aggiorna prima dell'altra, ma non garantisce che diventi nulla. Un campionamento grossolano nasconde la sequenza degli aggiornamenti; uno troppo fine può produrre osservazioni non aggiornate e problemi di asincronia delle quotazioni. Indica sia la regola di campionamento sia la sensibilità all'ordinamento.

Solo a scopo illustrativo, supponiamo che un VECM a due mercati implichi un vettore d'impatto normalizzato sul prezzo permanente \(\psi=(0.6,0.4)\). La matrice di covarianza delle innovazioni in forma ridotta sia

\[ \Omega= \begin{pmatrix} 1 & 0.8\\ 0.8 & 1 \end{pmatrix}. \]

Le innovazioni hanno varianza unitaria e correlazione 0.8. La varianza totale dell'innovazione del prezzo permanente è

\[ \psi\Omega\psi^{\mathsf T} =0.6^2+0.4^2+2(0.6)(0.4)(0.8) =0.904. \]

Ordiniamo prima il mercato A. Una fattorizzazione di Cholesky triangolare inferiore è

\[ F_A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0.8 & 0.6 \end{pmatrix}, \qquad \psi F_A=(0.92,0.24). \]

Le quote risultanti sono A: \(0.92^2/0.904\approx93.6\%\) e B: \(0.24^2/0.904\approx6.4\%\). Invertendo l'ordinamento e mettendo prima B, lo stesso calcolo assegna circa l'85.7% a B e il 14.3% ad A. I limiti dipendenti dall'ordinamento sono quindi circa 14.3%–93.6% per A e 6.4%–85.7% per B. Per ciascun ordinamento le quote sommano a 100%; i limiti inferiori separati o i limiti superiori dei diversi mercati non sono destinati a sommare a 100%.

Tutti i valori sono ipotetici: il vettore d'impatto VECM, le varianze unitarie e la correlazione 0.8 sono scelti solo per rendere riproducibile il calcolo. Non sono risultati relativi a un exchange, un asset o un campione. L'esempio mostra come le innovazioni correlate possano rendere una graduatoria apparentemente precisa molto dipendente dall'ordinamento di Cholesky.

La scomposizione di Gonzalo–Granger costruisce una componente permanente come combinazione lineare normalizzata dei prezzi osservati. In un VECM con matrice di aggiustamento \(\alpha\), i pesi del fattore comune appartengono allo spazio ortogonale ad \(\alpha\): un vettore di pesi \(w\) soddisfa \(\alpha^{\mathsf T}w=0\), con una normalizzazione come la somma dei pesi pari a uno. Nel lungo periodo la componente comune risultante non reagisce ai termini di correzione dell'errore. Gonzalo e Granger hanno sviluppato questa scomposizione permanente–transitoria per sistemi cointegrati (Gonzalo e Granger, 1995).

Questi pesi descrivono come i prezzi delle sedi compongono il livello del prezzo comune. Le information share di Hasbrouck misurano invece il contributo di ogni innovazione di mercato alla varianza dell'innovazione del prezzo permanente comune. Le due misure possono essere strettamente collegate, ma l'information share tiene conto anche della varianza dell'innovazione di ciascuna sede. Il confronto di de Jong e l'analisi di Baillie, Booth, Tse e Zabotina spiegano perché le misure possono somigliarsi quando le innovazioni non sono correlate e divergere quando sono correlate o hanno varianze differenti (de Jong, 200200028-9); Baillie et al., 200200027-7)).

Gli input ipotetici \(\psi\) e \(\Omega\) sopra non determinano i pesi della componente di Gonzalo–Granger: questi dipendono dalla matrice di aggiustamento \(\alpha\) del VECM e da una normalizzazione dichiarata. Dai soli input della scomposizione della varianza non si ricava alcun peso numerico della componente. La distinzione è centrale: i pesi della componente costruiscono un prezzo permanente a partire dai prezzi osservati, mentre le information share di Hasbrouck scompongono la varianza della sua innovazione.

Le serie di prezzo devono rappresentare diritti comparabili ed essere allineate a un riferimento temporale difendibile. Specifica se ogni osservazione è un prezzo di transazione, il punto medio della quotazione o un'altra misura; come gestisci quotazioni bloccate o incrociate, prezzi non aggiornati, aste, chiusure dei mercati e messaggi fuori sequenza; e se entrambe le sedi sono aperte durante il campione. Per i future, documenta i rollover dei contratti e le differenze di consegna. Per gli strumenti quotati su più mercati, allinea valute, operazioni societarie e unità prima di stimare il VECM.

Le osservazioni asincrone sono un problema centrale. Se una sede si aggiorna alle 10:00:00.100 e l'altra alle 10:00:00.700, una griglia di campionamento a un secondo può far sembrare simultanea una reazione sequenziale; una griglia più lenta può sfocarla ancora di più. Una griglia molto fine può invece riportare in avanti prezzi non aggiornati e creare schemi anticipatori o ritardati artificiali. Riporta frequenza, regola di sincronizzazione, filtri delle quotazioni e sensibilità ad alternative ragionevoli. Intervalli più brevi possono ridurre la correlazione dovuta all'aggregazione temporale, ma non eliminano shock comuni reali, aggiornamenti simultanei o errori nei timestamp.

La quota dipende anche dall'ordine dei ritardi, dai termini deterministici, dagli estremi del campione e dalla stabilità strutturale. Troppi pochi ritardi possono lasciare dipendenza seriale nelle innovazioni VECM; troppi possono aumentare il rumore di stima. Un cambio di regole o di orari di negoziazione può modificare il processo di aggiustamento. Usa diagnostica dei residui e stime dell'incertezza; considera un bootstrap che ristimi l'intero VECM e i limiti delle quote. Un piccolo errore standard condizionato a una sola specificazione non copre automaticamente l'incertezza sulle scelte di modello e dati.

L'information share quantifica quanto le innovazioni di ciascuna sede inclusa nel modello contribuiscano alla varianza stimata del prezzo permanente, dato uno specifico VECM e una specifica ortogonalizzazione. Una quota elevata non prova che la notizia sia nata in quella sede, che essa si muova per prima in ogni evento o che predica il rendimento successivo. Le informazioni comuni possono raggiungere le sedi quasi simultaneamente, mentre frizioni di mercato e tempi di osservazione influenzano la ripartizione misurata.

Non è neppure una misura diretta della qualità del mercato. Una sede può contribuire al prezzo comune pur avendo spread ampi, poca profondità visualizzata o costi di esecuzione elevati. Viceversa, una sede può offrire liquidità a basso costo e contribuire meno all'innovazione del prezzo permanente nel campione scelto. Lo stimatore di spread di Roll stima un oggetto diverso dalla covarianza seriale dei rendimenti, mentre lo sbilanciamento del flusso di ordini riassume le variazioni delle code mostrate, non la varianza di lungo periodo delle innovazioni.

Per sostenere una tesi di trading, l'analisi dell'information share deve essere parte di un test strategico fuori campione e definito in anticipo, che includa commissioni, spread denaro-lettera, latenza, slippage, impatto sul mercato e accesso alle sedi. La guida a Engle–Granger illustra l'alternativa di cointegrazione a equazione singola; la guida al rango di Johansen tratta il rango di cointegrazione del sistema. Né la cointegrazione né un'information share elevata dimostrano che una regola sia redditizia.