Two-Scale Realized Volatility: Estimasi Varians dengan Noise Mikrostruktur

Varians terealisasi sering dihitung dengan menjumlahkan return kuadrat. Jika harga log yang diamati mengikuti harga efisien secara sempurna, lebih banyak observasi dapat menangkap lintasannya dengan lebih rinci. Namun, harga transaksi dan kuotasi nyata juga mencerminkan bid–ask bounce, diskretisasi harga, latensi, dan efek mikrostruktur lainnya. Pada interval sangat pendek, efek tersebut dapat lebih besar daripada pergerakan harga efisien di antara dua observasi.

Karena itu, varians terealisasi naif dapat meningkat ketika observasi makin sering, meskipun varians terintegrasi yang mendasari sepanjang sesi tidak berubah. Ini tidak membuktikan bahwa volatilitas ekonomi aset pasti meningkat. Hasil tersebut dapat muncul karena selisih harga yang berisik dikuadratkan dan dijumlahkan berkali-kali. Panduan perhitungan realized volatility menjelaskan ukuran biasa berupa jumlah return kuadrat; artikel ini berfokus pada koreksi untuk satu sumber bias frekuensi tinggi.

TSRV, yang diperkenalkan Zhang, Mykland, dan Aït-Sahalia dalam studi awal two-time-scale mereka, menggunakan dua resolusi untuk tujuan berbeda. Grid jarang mengurangi jumlah increment yang terkontaminasi noise. Rata-rata grid jarang dengan offset yang digeser menghindari ketergantungan pada satu titik awal arbitrer. Grid rapat lengkap menyediakan estimasi noise yang dapat dikurangkan. Logika ini bergantung pada asumsi dan pilihan sampel terbatas, sehingga hasilnya adalah estimator dengan ketidakpastian, bukan observasi lintasan sebenarnya yang sudah dibersihkan.

Misalkan \(X_t\) adalah harga log efisien laten, yang dimodelkan pada jendela pengamatan sebagai proses kontinu dengan laju varians lokal \(\sigma_t^2\). Sasaran estimasi adalah varians terintegrasinya:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Pada waktu observasi \(t_i\), anggap harga log yang tercatat adalah

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

dengan \(\epsilon_{t_i}\) sebagai noise observasi. Derivasi klasik menggunakan model dasar: noise bermean nol, independen antarwaktu observasi dan dari proses harga efisien, serta memiliki varians konstan \(\omega^2\). Derivasi juga mengasumsikan grid sampling reguler dan model proses harga efisien kontinu yang sesuai untuk jendela tersebut. Ini adalah syarat model, bukan gambaran universal data bursa.

Increment yang diamati adalah \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). Error harga pada satu observasi masuk ke dua return yang berdekatan dengan tanda berlawanan: error penetapan harga positif pada satu waktu menaikkan satu return dan menurunkan return berikutnya. Karena itu, return yang dibentuk dari harga berisik tidak berperilaku seperti error pengukuran independen. Panduan variasi kuadratik dalam keuangan menjelaskan mengapa jumlah kuadrat increment menargetkan variasi lintasan ketika tidak ada noise.

Sasaran di sini adalah varians selama jendela waktu tertentu. Ini bukan estimasi bid–ask spread, ramalan, atau biaya eksekusi terealisasi. Untuk pertanyaan lain mengenai harga transaksi, lihat estimator bid–ask spread Roll. Kejelasan sasaran penting karena beberapa prosedur mikrostruktur menggunakan harga frekuensi tinggi tetapi mengestimasi besaran yang berbeda.

Untuk \(n\) return pada grid rapat, definisikan

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

Dalam model dasar, komponen noise dari satu return teramati adalah \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), dengan varians \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). Dengan mengabaikan suku silang yang nilai harapannya nol di bawah asumsi independensi, nilai harapan jumlah pada grid rapat kira-kira

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

Suku pertama adalah varians terintegrasi yang ingin diestimasi. Suku kedua mengakumulasi kontribusi noise untuk setiap return rapat. Saat interval sampling menyusut dan \(n\) bertambah, suku noise dapat mendominasi. Inilah alasan utama aturan “ambil sampel sesering mungkin” tidak aman ketika noise pengukuran diabaikan. Aït-Sahalia, Mykland, dan Zhang membahas persoalan frekuensi sampling optimal yang berhingga dalam studi sampling dengan noise mikrostruktur.

Pendekatan tersebut adalah pernyataan nilai harapan di bawah suatu model. Sampel tertentu juga mengandung suku silang acak antara increment harga efisien dan noise, sehingga nilai terealisasi tidak harus sama dengan nilai harapan. Jika varians noise berubah sepanjang hari, error bergantung serial, atau sampling tidak reguler, ekspresi sederhana \(2n\omega^2\) mungkin tidak menggambarkan bias. Dalam keadaan itu, rumus yang dikenal dapat menghasilkan angka yang tampak presisi tetapi mengoreksi besaran yang keliru.

Pilih bilangan bulat \(K>1\). Untuk setiap offset \(k=0,\ldots,K-1\), hitung realized variance pada grid jarang dengan mengambil satu harga teramati setiap \(K\) pengamatan:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Setiap increment jarang mencakup interval lebih panjang, tetapi grid tetap meliputi jendela observasi yang kurang lebih sama. Rata-ratakan semua offset yang tersedia:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Offset penting karena satu grid jarang dapat dimulai tepat sebelum atau sesudah pergerakan besar, sehingga hasil sensitif terhadap pilihan itu. Merata-ratakan grid yang digeser mengurangi ketergantungan pada titik awal. Namun, hal ini tidak menghasilkan \(K\) dataset independen: grid memakai ulang observasi dan secara statistik saling bergantung.

Dengan noise observasi yang independen dan bervarians sama, dua komponen noise di ujung return jarang berasal dari observasi yang berbeda, sehingga varians selisihnya tetap \(2\omega^2\). Jumlah return jarang lebih sedikit daripada return rapat, sehingga estimasi rata-rata dari grid jarang mengakumulasi bias noise yang lebih kecil. Kontribusi sinyalnya tetap kira-kira sebesar varians terintegrasi yang sama karena increment jarang melintasi seluruh jendela, bukan hanya sebagian.

Ilustrasi yang menyertai panduan ini bersifat konseptual: gambar membandingkan lintasan observasi yang bergerigi dengan pandangan sampling lebih jarang yang digeser di sekitar lintasan laten yang lebih mulus. Gambar bukan data pasar atau keluaran estimasi.

<!-- learn:illustration -->

Untuk estimator yang memakai harga tertinggi dan terendah, bukan konstruksi dua grid ini, lihat panduan estimator volatilitas berbasis rentang OHLC.

Misalkan \(\bar n\) adalah jumlah rata-rata return jarang di seluruh grid offset, dan tetapkan \(\lambda=\bar n/n\). Dalam model dasar, bias noise rata-rata grid jarang kira-kira \(2\bar n\omega^2\). Bias noise grid rapat kira-kira \(2n\omega^2\), sehingga \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) menyumbang kira-kira \(2\bar n\omega^2\). Pengurangan ini membatalkan suku noise utama:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Selisih mentah ini juga mengurangi sebagian \(\lambda\) dari sinyal varians terintegrasi karena kedua komponen realized variance memuat sinyal. Karena itu, normalisasi sampel terbatas yang umum digunakan adalah

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

Penyebut mengembalikan koefisien sinyal dalam perhitungan nilai harapan sederhana. Konvensi implementasi dan perlakuan titik ujung berbeda-beda, jadi dokumentasikan definisi tepat \(n\), kumpulan offset, dan perhitungan \(\bar n\). Koreksi ini tidak menghilangkan ketidakpastian sampling dan tidak memperbaiki model noise yang keliru. Dalam kerangka asimtotik klasik, \(\lambda\) mengecil ketika sampel bertambah; pada jendela pendek, faktor sampel terbatas tetap dapat berarti.

Estimasi dapat bernilai negatif ketika \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Ini bukan variasi fisik negatif; artinya pengurangan noise sampel terbatas melebihi estimasi grid jarang. Menggantinya dengan nol mungkin praktis untuk tampilan lanjutan, tetapi itu mengubah estimator dan menambahkan aturan pemotongan. Pertahankan serta laporkan estimasi mentah selama analisis, periksa skala dan asumsi yang dipilih, dan nyatakan setiap pemotongan berikutnya secara eksplisit.

Anggap tujuh titik harga log teramati yang hipotetis menghasilkan enam return rapat dalam basis poin: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Urutan kecil ini hanya ilustrasi aritmetika, bukan data bursa. Realized variance grid rapat adalah

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Tetapkan \(K=2\). Offset pertama mengelompokkan return rapat yang bertetangga menjadi return jarang \([2,-2,2]\) bp, dengan jumlah kuadrat \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). Offset yang digeser menghasilkan \([0,0]\) bp, dengan jumlah kuadrat 0. Rata-rata dua estimasi grid adalah \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Ada enam return rapat dan dua offset memiliki tiga serta dua return jarang. Maka \(\bar n=(3+2)/2=2.5\), \(\lambda=2.5/6=5/12\), sehingga

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Dalam satuan kuadrat return desimal, estimasi tersebut adalah \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\). Akar kuadratnya sekitar \(2.45\) bp untuk jendela hipotetis ini; nilainya belum dianualisasi. Kesamaan angka dengan RV grid rapat merupakan ciri urutan kecil yang dikonstruksi, bukan identitas TSRV. Lintasan harga lain dapat menghasilkan estimasi lebih tinggi, lebih rendah, bahkan negatif.

Perhitungan ini juga memperlihatkan keterbatasan model: lintasan laten sebenarnya dan noise tidak diamati secara terpisah, sehingga sampel ini saja tidak membuktikan bahwa \(6\,\mathrm{bp}^2\) sama dengan varians terintegrasi sebenarnya. Jumlah, skala, dan satuan dapat diaudit, tetapi dekomposisi tersembunyi tidak dapat disimpulkan dari contoh. Literatur empiris juga membahas realized kernel sebagai keluarga koreksi noise frekuensi tinggi yang berbeda; estimator tersebut memiliki asumsi dan pilihan implementasi tersendiri.

Skala \(K\) menyeimbangkan jumlah return jarang dengan perataan dan koreksi noise. Jika \(K\) terlalu kecil, banyak increment pendek masih tersisa dan sensitivitas terhadap noise mungkin tinggi. Jika terlalu besar, hanya sedikit return kasar yang tersisa, sehingga estimasi grid jarang tidak stabil dan lebih terpengaruh efek jendela berhingga. Perataan offset membantu mengatasi penyelarasan grid, tetapi tidak bisa menciptakan informasi yang tidak ada dalam sampel pendek atau berkualitas buruk.

Dalam analisis asimtotik asli, jarak sampling jarang yang disukai meningkat seiring ukuran sampel; menurut notasi dan kondisi dasar makalah itu, lajunya berorde \(n^{2/3}\). Ini adalah hasil penskalaan teoretis, bukan petunjuk universal untuk memakai jumlah detik atau observasi tertentu. Nilai optimal bergantung pada rasio noise terhadap sinyal dan asumsi; penelitian selanjutnya serta implementasi praktis dapat memakai aturan tuning dan konvensi titik ujung yang berbeda. Laporkan interval sampling, \(K\), offset, batas sesi, dan normalisasi sampel terbatas agar estimasi dapat direproduksi.

Analisis yang dapat dipertanggungjawabkan bisa membandingkan beberapa nilai \(K\) yang masuk akal dan ditentukan sebelumnya, lalu menunjukkan sensitivitasnya alih-alih memilih setelah melihat nilai yang paling menarik. Jika estimasi berubah secara material, ketidakstabilan itu adalah bagian dari temuan. Pilih skala berdasarkan rancangan data dan aturan terdokumentasi, bukan setelah mencari estimasi volatilitas yang diinginkan. Perbandingan dapat mencakup realized variance yang lebih jarang atau alternatif tahan-noise, tetapi beri label terpisah pada ukuran yang berbeda.

Koreksi klasik diturunkan untuk struktur noise tertentu. Bid–ask bounce dan efek mikrostruktur lainnya dapat bergantung serial, berubah sepanjang sesi perdagangan, bergantung pada likuiditas, atau berkorelasi dengan increment harga efisien. Hansen dan Lunde mendokumentasikan dalam studi realized variance dan noise mikrostruktur interaksi yang dapat mencakup ketergantungan waktu dan korelasi dengan perubahan harga efisien. Aït-Sahalia, Mykland, dan Zhang kemudian mengembangkan metode two-scale untuk noise mikrostruktur dependen. Ekstensi tersebut menjadi alasan untuk membedakan estimator yang dimodifikasi dari rumus awal dengan noise iid, bukan alasan untuk menganggap rumus awal menangani setiap pola dependensi.

Masalah praktis lain mencakup waktu observasi tidak beraturan, aset yang tersinkronisasi secara berbeda, kuotasi basi, diskretisasi harga, lompatan, transaksi salah, efek pembukaan dan penutupan, serta observasi yang hilang. Semua ini dapat memengaruhi koreksi grid rapat dan return yang masuk ke grid jarang. Apakah lompatan termasuk dalam variasi kuadratik sasaran atau perlu dipisahkan bergantung pada pertanyaan riset; TSRV sendiri tidak menentukan pilihan model itu. Pemfilteran observasi juga mengubah grid dan harus didokumentasikan.

Ketahanan terhadap noise bukan kekebalan terhadap semua masalah data. Sebelum menafsirkan estimasi sebagai ukuran varians laten, tentukan apakah input berupa harga transaksi, kuotasi, atau harga tengah; nyatakan transformasi return dan jam yang digunakan; periksa apakah jarak antarobservasi setara; catat aturan pembersihan dan sesi; serta uji sensitivitas terhadap \(K\). Jika proses noise melanggar asumsi dasar, gunakan metode yang dirancang untuk keadaan tersebut dan jelaskan asumsinya. Jangan menyebut estimasi negatif sebagai volatilitas negatif atau diam-diam mengubahnya menjadi angka positif.

Laporan transparan menyebut jendela sasaran, seri harga input, interval sampling, jumlah return rapat, jarak jarang \(K\), kumpulan offset, aturan titik ujung, asumsi noise, normalisasi, satuan, dan pemotongan apa pun. Tampilkan selisih mentah dan estimasi ternormalisasi, serta rentang sensitivitas untuk skala yang ditentukan sebelumnya. Rincian tersebut membuat perhitungan dapat diaudit dan mencegah estimasi varians disalahartikan sebagai kuotasi, ramalan masa depan, atau bukti strategi trading yang menguntungkan.

Varians terintegrasi diukur selama jendela yang diamati. Annualisasi memerlukan konvensi waktu yang dinyatakan dan tidak boleh menyamarkan pola intrahari, interval semalam, atau jeda perdagangan. Mengambil akar kuadrat mengubah satuan menjadi volatilitas untuk jendela tersebut; langkah itu tidak menciptakan horizon ramalan. Ukuran terealisasi historis dapat menjadi salah satu input model, tetapi kinerja prediktif harus dievaluasi secara terpisah pada data yang tidak dipakai untuk memilih pengaturan estimator.

Kontribusi utama TSRV bersifat metodologis: dalam model noise aditif yang eksplisit, TSRV memakai dua skala sampling untuk mengurangi bias noise utama yang membuat realized variance frekuensi tinggi naif tidak konsisten. Metode ini tidak mengidentifikasi sumber setiap perubahan harga, menghilangkan risiko model, atau menyatakan volatilitas berikutnya. Batasan tersebut perlu disertakan bersama angka yang dilaporkan.