Penjelasan Variasi Kuadrat dalam Keuangan
Pelajari alasan kuadrat increment jalur tetap bertahan pada skala halus, menghasilkan koreksi Itô, dan menghubungkan volatilitas difusi dengan realized variance
Jawaban langsung
Variasi kuadrat adalah limit kuadrat increment jalur pada partisi waktu yang semakin halus. Variasi ini lenyap untuk jalur kontinu dengan finite variation, sama dengan waktu yang berlalu untuk gerak Brownian standar, dan menghasilkan koreksi dalam kalkulus Itô
Kuadratkan increment sebelum memperhalus waktu
Untuk partisi π pada [0,t], bentuk Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² lalu haluskan mesh menuju nol
Ketika jumlah ini konvergen dalam pengertian probabilistik yang relevan, limitnya adalah variasi kuadrat [X]_t
Ini adalah konsep akumulasi pathwise, bukan objek yang sama dengan varians statistik X_t di antara hasil yang diulang
Jalur mulus dan finite variation menghilang
Jalur kontinu dengan total variation berhingga memiliki variasi kuadrat nol karena kuadrat increment kecilnya lenyap lebih cepat daripada jumlah absolutnya
Itulah sebabnya kurva harga yang terdiferensiasi biasa tidak menghasilkan koreksi orde kedua dalam chain rule klasik
Variasi kuadrat mengisolasi kekasaran yang tetap terlihat setelah gerakan orde pertama menjadi sangat kecil secara individual
Kekasaran Brownian bertahan di setiap skala
Gerak Brownian standar memiliki total variation tak terbatas pada setiap interval nontrivial tetapi memenuhi [W]_t = t
Secara heuristik, sekitar 1/Δt increment masing-masing memiliki ukuran kuadrat mendekati Δt, sehingga jumlahnya tetap berorde satu
Hubungan ini adalah pernyataan limit, bukan klaim aljabar pointwise bahwa dW/dt ada atau setiap kuadrat increment sama dengan dt
Kovariasi mencatat gerakan kasar bersama
Kovariasi kuadrat [X,Y] menjumlahkan hasil kali ΔX·ΔY pada partisi yang halus
Polarisasi memberi [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), yang menghubungkan variasi bersama dengan variasi kuadrat individual
Untuk penggerak Brownian berkorelasi, kovariasi membawa dependensi seketika ke dalam portofolio dan rumus Itô multivariat
Rumus Itô mempertahankan suku orde kedua
Untuk dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, variasi kuadrat kontinu adalah [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds
Ekspansi Taylor mempertahankan 1/2 f''(X_t)d[X]_t karena kuadrat increment stokastik terakumulasi, bukan lenyap
Koreksi ini menggerakkan persamaan penetapan harga difusi dan membedakan kalkulus stokastik dari kalkulus diferensial biasa
Lompatan menambahkan ukuran kuadratnya
Untuk semimartingale dengan lompatan, variasi kuadrat mencakup variasi martingale kontinu ditambah Σ_{s≤t}(ΔX_s)²
Lompatan besar karena itu dapat mendominasi gerakan kuadrat terealisasi dalam sehari meskipun volatilitas kontinu sedang
Pisahkan variasi kontinu, lompatan, dan drift finite-variation ketika pertanyaan ekonomi bergantung pada sumber yang berbeda
Realized variance adalah estimator, bukan limit itu sendiri
Realized variance frekuensi tinggi menjumlahkan return intraday yang diamati dan dikuadratkan untuk mendekati variasi kuadrat laten
Sampling terlalu jarang melewatkan gerakan, sedangkan sampling terlalu halus memperbesar bid–ask bounce, diskretisasi harga, kuotasi asinkron, dan bad tick
Bandingkan grid sampling, bersihkan lompatan secara eksplisit, selaraskan jam perdagangan, dan bedakan definisi return sebelum menafsirkan estimasi sebagai volatilitas
Pertanyaan umum
Apa itu variasi kuadrat dengan kata sederhana?
Ini adalah gerakan yang tersisa setelah banyak perubahan kecil pada jalur dikuadratkan dan dijumlahkan pada grid waktu yang semakin halus
Mengapa gerak Brownian memiliki variasi kuadrat t?
Increment sepanjang Δt memiliki skala kuadrat Δt, dan sekitar t/Δt increment tersebut terakumulasi menjadi t dalam limit
Apakah variasi kuadrat sama dengan volatilitas?
Tidak. Dalam difusi, variasi kuadrat sama dengan varians terintegrasi, sedangkan volatilitas biasanya merupakan laju seketika atau akar kuadrat yang dinormalisasi
Bagaimana lompatan memengaruhi variasi kuadrat?
Setiap lompatan menyumbang kuadrat ukurannya, sehingga variasi kuadrat memuat variasi martingale kontinu dan variasi lompatan diskret