Zivot–Andrews 檢定：含一個未知斷點的單位根檢定

如果序列存在回歸中遺漏的水平或趨勢斷點，增廣 Dickey–Fuller（ADF）檢定可能難以區分單位根與平穩過程。政策變化後的單次跳變、測得趨勢的變化或異常市場事件，都可能使全樣本顯得比斷點兩側各自圍繞其確定性路徑的子樣本更持久。

ZA 檢定將 Dickey–Fuller 思路擴展到一個未知斷點日期。它考察允許回歸的確定性部分改變一次後，反對單位根的證據是否更強。當一個斷點是研究問題中可辯護的假設時，這一方法很有用；它並非搜尋各種制度變化的通用工具。

這仍然是單位根檢定。它不檢定某個特定事件是否導致斷點，不估計交易規則，也不能證明價格會以足夠快、足以交易的速度回歸。ADF 與 Phillips–Perron 對比介紹無斷點基準，平穩性與單位根指南則解釋更廣泛的假設。

候選日期回歸的一種常見差分形式為：

Δyₜ = dₜ(λ)′δ + αyₜ₋₁ + Σⱼ₌₁ᵖ φⱼΔyₜ₋ⱼ + εₜ

其中，λ 是候選斷點所佔的樣本比例；dₜ(λ) 包含所選模型的確定性項和候選斷點項；滯後差分用於處理短期依賴。在這一參數化中，單位根對應 H₀: α = 0，這等價於水平形式的自回歸係數為 1。

經典 ZA 設定的虛無假設是存在單位根，而且確定性趨勢沒有斷點；備擇假設則是序列圍繞最多有一個斷點的趨勢平穩。回歸中加入候選斷點項，使備擇假設能夠表示該路徑；但經典虛無假設校準把斷點效應視為不存在。解釋結果和臨界值時，這一區別很重要。

如果檢定未能拒絕，並不能證明序列是嚴格的隨機遊走。檢定功效低、樣本短、趨勢形式選錯，或虛無假設下存在斷點，都可能導致無法拒絕。拒絕結果是反對所設單位根虛無假設的證據，並不證明所有市場狀態下的所有衝擊都會消失。

分析者先定義樣本內部允許搜尋的斷點日期集合。通常會剔除過於接近樣本端點的日期，以確保候選斷點兩側都有觀測值。對每個可用的 λ，估計回歸並記錄 α 的 t 統計量。

入選日期對應的統計量最小，也就是最負：

λ̂ = arg min₍λ ∈ Λ₎ tα(λ) τZA = min₍λ ∈ Λ₎ tα(λ)

因此，檢定統計量是搜尋過程中得到的最小值，而不是預先指定日期的 t 統計量。選出的斷點比例取決於樣本、模型變體、滯後設定和修剪後的候選集合，不能自動視為對歷史事件日期的精確估計。

滯後選擇也會影響回歸。滯後差分太少，殘差中可能仍有序列相關；太多則會消耗信息，尤其是在短樣本中。應報告滯後規則和候選日期修剪範圍，而不要把軟件默認值説成理論的一部分。

傳統 ZA 變體通常稱為模型 A、B 和 C。不同軟件的命名可能不同，因此要核實具體實現中“截距”“趨勢”或“兩者”的含義。

• 模型 A 允許截距或水平發生一次性變化。
• 模型 B 允許確定性趨勢斜率變化。
• 模型 C 同時允許截距變化和趨勢斜率變化。

這是一項實質性選擇。匯率水平的永久跳變與增長速度逐步變化對應不同的確定性路徑。加入缺乏依據的趨勢變化項，可能因估計多餘參數而降低檢定功效；遺漏合理的變化，則可能導致回歸設定錯誤。比較結果前，應先明確什麼類型的變化有意義。

這些模型變體不能識別變化的經濟成因。即使多個事件、測量方式變化或遺漏的動態因素都可能解釋序列形態，估計日期仍只是所選模型下樣本內擬合最好的候選日期。

假設研究者考察五個虛構的候選日期。下表列出各候選回歸中滯後水平項的 t 統計量：

最小值是 −4.0，因此搜尋選出 λ = 0.50。這個例子只説明如何選擇日期和統計量。數值是虛構的，示例沒有給出 ZA 臨界值，也沒有作出是否拒絕的判斷。實際分析必須共同確定候選集合、模型、滯後規則和臨界值。

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普通 Dickey–Fuller 臨界值或 Student t 臨界值不適用於最小統計量。即使每個候選日期的回歸都類似增廣 Dickey–Fuller 回歸，搜尋多個日期並保留最負統計量仍會改變虛無假設下的分佈。

合適的參考值取決於 ZA 模型變體和搜尋設計。應將 τZA 與相同斷點設定、相同日期搜尋所推導出的臨界值比較。不要把選中日期的統計量當作該日期在觀察樣本前已經固定，也不要用普通 ADF 表格進行比較。

Zivot 與 Andrews 的原始分析從 Perron 先前指定斷點日期的檢定出發，發展了這種估計斷點的程序。該方法把斷點位置視為未知，並針對搜尋過程確定分佈。方法沿革和實現細節見原始論文以及 Perron 的已知斷點分析。

結果取決於檢定的變量。對數價格、利率、價差、實現波動率和收益率回答的問題各不相同。長期趨勢斷點可能影響價格水平，卻未必與短期收益率相關。配對交易研究中的價差還需要獨立的經濟學理由和協整依據。

在技術交易研究中，ZA 檢定被拒絕可以作為一項證據，表明相對於指定的單位根虛無假設，帶斷點的確定性趨勢可能更適合描述被檢定的水平序列。但這不表示序列在估計日期之後會可預測地均值回歸，也不會給出入場、退出或風險規則。

所選斷點使用了搜尋範圍內的完整樣本。如果用同一完整樣本得到的日期或檢定結果來設計和評估策略，後續觀測已經影響了選擇。因此交易分析需要實時或滾動設計、樣本外評估和現實的交易成本；檢定本身不具備這些防護。

經典 ZA 臨界值假設單位根虛無假設下不存在確定性趨勢斷點。後續研究表明，如果單位根虛無假設下實際存在趨勢斷點，基於 infimum Dickey–Fuller t 統計量的程序可能過度拒絕；在研究的情形中，其漸近檢定尺寸可能非常大。因此，拒絕結果可能反映虛無假設模型與數據不匹配，而非趨勢平穩的證據。參見 Harvey、Leybourne 和 Taylor 對infimum Dickey–Fuller 檢定的分析。

單斷點備擇假設也無法表示兩個或更多變化、暫時性脈衝、變化的波動率或逐步演變的斷點。看過最低 p 值後再從 A、B、C 中選模型，會引入另一層選擇。如果多個斷點或虛無假設下的斷點都合理，應採用針對相應假設和校準設計的程序，而不是勉強套用經典 ZA 檢定。

Quandt–Andrews 指南討論回歸參數中未知斷點日期；Bai–Perron 指南介紹多個回歸斷點。這些方法研究的是相關但不同的假設，不能替代考慮斷點的單位根檢定。

一份有用的報告應寫明序列及其變換、樣本區間和頻率、確定性模型、滯後規則、修剪範圍、所選斷點比例、最小統計量，以及相匹配的臨界值或 p 值。明確寫出虛無假設，並説明它是否允許斷點。如果結果隨合理的模型變體或滯後選擇而變化，應展示這種敏感性。

把估計日期當作診斷信息，而不是因果結論。可以與已知制度或市場事件對照，但不要把同一數據選出的日期説成對某一事件的獨立驗證。經濟解釋、統計拒絕和交易含義應分別陳述。

若要了解更完整的單位根分析流程，可先看平穩性指南，並在適當時將 ADF 或 PP 作為無斷點的補充診斷。如果問題涉及非平穩變量之間的長期關係，請參閲Engle–Granger 協整指南。任何單一檢定都不能決定正確的數據變換，也不能證明策略有利可圖。