KPSS 平穩性檢驗：原假設、統計量與頻寬

Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin 檢驗簡稱 KPSS，與常見 Dickey–Fuller 檢驗的原假設方向相反。KPSS 的原假設是序列相對於檢驗指定的確定性項平穩；原始設定的對立假設容許隨機漫步分量具有正的創新方差。

KPSS 統計量足夠大，表示有證據反對所選的水平或趨勢平穩原假設。統計量較小只表示在指定設定及樣本下，證據不足以拒絕原假設。這不代表過程永遠平穩、均值會一直固定，或價格會回到可交易水平。

平穩性與單位根指南介紹相關概念。ADF 與 Phillips–Perron 比較說明另外兩種把單位根放在原假設的檢驗。兩者提出互補問題，並非同一檢驗的可互換版本。

KPSS 將觀察序列表示為

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

其中 \(d_t\) 是確定性部分，\(r_t\) 是隨機漫步分量，而 \(\epsilon_t\) 是平穩誤差。水平平穩檢驗中，\(d_t\) 包含截距；趨勢平穩檢驗中則包含截距及線性時間趨勢。

原假設把隨機漫步創新的方差設為零，即 \(\sigma_u^2=0\)。沒有隨機漫步時，序列會在指定常數或確定性趨勢附近波動。對立假設容許 \(\sigma_u^2>0\)，因此衝擊可累積成隨機趨勢，而非在選定路徑附近逐漸消退。

這是檢驗維持的模型，不代表所有對立情況都是教科書式隨機漫步。結構轉變、分數持續性、非線性動態、方差改變或選錯確定性項，也可能令原假設模型不適合樣本。檢驗指出資料與所選平穩設定有張力，卻不會找出唯一替代模型。

先把觀察值回歸至選定的確定性項，並以 \(\hat e_t\) 表示殘差。累積部分和為

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

KPSS 統計量通常寫成

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

其中 \(n\) 是樣本數，\(\hat{\omega}^{\,2}\) 是殘差長期方差的估計。若殘差連續多期同號，\(S_t\) 會遠離零。部分和平方會令持續偏離比偶然的符號變化貢獻更大。

統計量不會為負。相對於長期方差，累積偏離愈大，愈難維持平穩性原假設。分母很重要：即使底層過程平穩，殘差的序列相關亦會改變部分和應有的波動程度。

水平版本檢驗序列是否圍繞常數平穩；趨勢版本先移除截距和線性時間趨勢，再檢查餘下部分是否平穩。有些實作把兩種情況稱為 mu 和 tau，但名稱與輸出慣例視乎軟件。

選擇會同時改變殘差和參考分布。趨勢平穩序列若漏掉確定性趨勢，可能留下長期殘差模式並推高統計量。無故加入趨勢亦會改變被檢驗的模型，並可能降低檢出某些對立情況的能力。按資料定義和經濟問題作決定並報告，不要不斷轉換設定直至結果合意。

KPSS 臨界值來自非標準漸近分布，水平及趨勢情況各有不同。不可與一般 t 或卡方門檻比較，也不可把一個記熟的門檻套用於所有確定性設定。使用相應表格或軟件結果，並註明顯著水平。

部分實作以有限的臨界值表比較，因而只提供 p 值範圍。遇到這種情況，報告輸出所支持的範圍，不要自行補上小數位。列出水平/趨勢情況和臨界值來源，方便他人重現判斷。

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常見的長期方差估計會加權殘差自協方差：

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

這裏，\(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\)表示分母為\(n\)的滯後\(j\)樣本自協方差；不同實作的有限樣本計算慣例可能有所不同。

採用 Bartlett 權重時，\(w_j=1-j/(\ell+1)\)。截斷頻寬 \(\ell\) 決定納入多少個殘差自協方差，以及權重下降的速度。不同實作可以使用不同 kernel、頻寬規則及有限樣本慣例；要讓結果可重現，就要列明設定。

這個頻寬不是 ADF 回歸加入的差分滯後數。KPSS 用它控制長期方差估計；ADF 則把差分滯後項放進回歸式。軟件可能把兩者都叫 lag，所以單寫「lag 4」並不足夠。

頻寬太短，或會漏掉重要的短期依賴；太長則可能納入雜訊較多的樣本自協方差。兩者均可改變統計量、檢驗大小或檢力，但影響方向沒有適用於所有殘差模式的通則。報告 kernel 和滯後選擇規則，並檢查預先訂定的合理替代值是否改變解讀。

長期方差調整與異方差及自相關一致的協方差估計有關，但不能令 KPSS 對所有依賴形式、結構轉變或錯誤的確定性設定都穩健。Newey–West 協方差指南進一步解釋 HAC 估計的角色和限制。

假設對六個合成觀察值作趨勢回歸後，殘差是 \(1,-1,0,0,-1,1\)。殘差總和為零，且與線性時間趨勢正交，這是含趨勢回歸的殘差應有性質。部分和為 \(1,0,0,0,-1,0\)，平方和為 \(2\)。

為展示算術，使用分母為 \(n\) 的樣本自協方差慣例，並採用頻寬為一的 Bartlett 權重。殘差方差項為 \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\)。一階自協方差為 \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\)，其 Bartlett 權重為 \(1/2\)。因此

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

這個六點計算只示範運算方式。樣本太小，不足以作通常的漸近 KPSS 判斷；不可把統計量當作實證發現般與已刊臨界值比較。

同時執行 KPSS 和 ADF 類檢驗，可觀察結論受原假設影響多少。應把結果理解為兩個不同模型下的證據：

兩種檢驗在滯後修正、確定性項、樣本及有限樣本近似方面可能有別。合適時應對齊設定，並記錄無法避免的差異。不要把四種結果自動轉成差分規則。未能拒絕並不代表原假設為真。

平均值一次性轉變、趨勢改變或方差轉變，會令各狀態內平穩的過程在整段樣本中看似非平穩。相反，接近 1 的根亦令有限資料難以跟單位根區分。短樣本、離群值、厚尾、非線性調整和分數整合都可能令參考近似失準。

報告前先繪出水平序列、選定的確定性擬合及殘差。如有理由懷疑轉變，應使用處理轉變的設計，並列明原假設、轉變處理及臨界值。如曾搜尋多個轉變日期或頻寬，要披露選擇；搜尋所得的最小 p 值並非未經篩選的檢驗結果。

KPSS 不會檢驗兩項資產之間的價差是否協整。Engle–Granger 指南解釋基於殘差的協整程序及其獨立臨界值問題；Johansen 秩檢驗指南介紹系統方法。對單一價格序列作 KPSS，不能取代任何一種分析。

若對估計對沖比率、ARMA 模型或選定轉變日期後的殘差執行 KPSS，該殘差來自前置擬合步驟。參數估計及模型選擇會改變原假設分布。不可假設一般臨界值適用於整個流程；使用針對擬合模型校準的殘差檢驗，或重做估計步驟的 bootstrap。

列出變數及變換、觀察數、水平或趨勢原假設、確定性項、長期方差 kernel、頻寬規則、統計量、相應臨界值或 p 值，以及顯著水平。只有在替代設定有理據且透明報告時才加入敏感度檢查；不要試過多個視窗及版本後，只挑最易宣傳的結果。

市場資料須交代樣本日期、頻率、交易時段對齊、缺值處理，以及序列是價格、回報、殘差還是價差。未能拒絕 KPSS 原假設，不代表價差很快收斂。均值回歸策略仍須定義均衡、作樣本外評估、確保訊號在落盤時可用，並計入實際價差、資金、借貸和執行成本。

對 log-price 水平的檢驗，與對其一階差分——回報——的檢驗提出不同問題。差分在某些模型下可移除隨機趨勢，但亦改變研究變數，並不證明兩項資產有長期關係。按研究對象選擇變換並明確報告。

Kwiatkowski、Phillips、Schmidt 和 Shin 的1992 年論文90104-Y)把 KPSS 設定為檢驗隨機漫步分量方差是否為零的 LM 檢驗。Newey 和 West 的1987 年論文是半正定 HAC 協方差估計的主要文獻。比較單位根原假設時，可參閱 Dickey 和 Fuller 的1979 年論文。