Engle–Granger 共整合檢定：殘差與誤差修正

兩條有趨勢的序列可能因共享隨機趨勢而看似相關。共整合是較明確的主張：如果個別序列是一次整合 I(1)，某個特定加權組合可能是平穩的 I(0)。在選定模型下，這個組合就是長期均衡誤差。它會圍繞穩定分布波動，而非不斷飄移。

Engle–Granger 兩步法以單一方程檢視這個主張。第一步用水平值估計長期關係；第二步檢驗估計殘差是否有單位根。由於第一階段必須選擇哪個變數放在等式左邊，有限樣本下檢定結果會受方向影響。本文採用經典的雙變數設定；如果可能存在多個共整合關係，這方法不能取代系統檢定。

一般設定假設各組成變數為 I(1)：在選定規格下，水平值非平穩，而一階差分平穩。單位根檢定並不完美，短樣本或結構斷點附近尤其如此，因此應把整合階數檢查視為證據，而非機械門檻。把 I(0) 序列與 I(1) 序列混在一起，並不符合本文所述的經典 I(1) 共整合情況。

應根據資料生成問題，決定長期方程是否包含截距、確定性趨勢，或兩者皆不包含。例如，分析資產價格對數時，可為差價設定截距但不加入確定性趨勢；某些經濟總量則可能需要趨勢。確定性項會影響估計出的均衡，也會改變殘差檢定的分布。看過 p 值後才挑選確定性項，會令檢定結果較難解讀。

兩條水平序列 \(y_t\) 和 \(x_t\) 的簡單第一階段方程如下：

\[ y_t = a + \beta x_t + u_t. \]

在維持的假設下，以普通最小平方法估計 \(a\) 和 \(\beta\)，再保存 \(\hat u_t = y_t-\hat a-\hat\beta x_t\)。如果兩條序列在此規格下共整合，即使個別水平值非平穩，這個擬合組合也應平穩。

金融例子中，\(y_t\) 和 \(x_t\) 可以是同一頻率觀察的兩項資產對數總回報指數。係數 \(\hat\beta\) 定義擬合的長期組合，但不會自動成為美元中性或低風險的投資組合比重。更改左邊變數、樣本、股息處理、貨幣或趨勢設定，都可能改變估計值和殘差。應清楚說明方程的經濟含義。

增廣 Dickey–Fuller 型殘差迴歸可寫成：

\[ \Delta\hat u_t = \rho\hat u_{t-1} + \sum_{j=1}^{q}\phi_j\Delta\hat u_{t-j} + e_t. \]

「沒有共整合」的虛無假設對應殘差有單位根；對立假設則是擬合殘差平穩。在上述簡化表示中，檢定統計量足夠負，才構成反對虛無假設的證據。滯後項用來描述殘差的序列相依，因此滯後階數和殘差診斷都很重要。這是另一個選擇，與第一階段為選取共整合臨界值情形而設定截距或趨勢無關。增廣滯後太少可能留下序列相關；應說明如何選擇滯後階數，並檢查合理的替代值。Agiakloglou 和 Newbold 亦討論了滯後結構問題。

殘差是在第一步估計得出，因此虛無假設下的分布會改變。不可將此統計量與一般 Dickey–Fuller 臨界值或通用 ADF p 值比較。應使用配合所選確定性項、變數數目和樣本量的 Engle–Granger 殘差檢定臨界值或 p 值。Phillips 和 Ouliaris 推導了殘差檢定的漸近理論；MacKinnon 則為常見規格提供反應曲面臨界值。 因此，即使殘差檢定統計量的數值相同，只要第一階段的確定性項或解釋變數數目不同，應比較的基準臨界值也可能不同。

假設研究者在固定的月度樣本中研究兩個對數價格指數。按已說明的單位根規格，兩者看來都是 I(1)。第一階段迴歸包含截距並產生擬合殘差。接着使用配合該確定性設定和樣本的 Engle–Granger 分布評估殘差統計量，而非查一般 ADF 表。

假設相應檢定的 p 值低於研究者預先設定的 5% 門檻。研究者會在此規格下拒絕「沒有共整合」的虛無假設，並找到估計組合平穩的證據。這個結論取決於樣本、滯後選擇、確定性項及整合假設。它不表示所有資產對都有關係、關係會在樣本外持續，或擬合殘差能提供有利可圖的入市訊號。如果 p 值高於 5%，正確解讀是「檢定未能拒絕沒有共整合」，而不是「已證明序列毫無關係」。

下圖是概念示意：共同隨機趨勢可以伴隨有界殘差，與擬合關係的偏離之後亦可能縮小。圖中沒有實測序列，也不表示調整總會以可預測的速度發生。

若有證據支持長期關係，誤差修正模型可結合短期變化與上一期的均衡誤差。若 \(\hat u_{t-1}=y_{t-1}-\hat a-\hat\beta x_{t-1}\)，其中一個例子是：

\[ \Delta y_t = c + \lambda\hat u_{t-1} + \sum_{i=1}^{r}\phi_i\Delta y_{t-i} + \sum_{j=0}^{s}\theta_j\Delta x_{t-j} + \epsilon_t. \]

此處 \(\lambda\) 是這種參數化下 \(y_t\) 的調整係數。如果 \(y\) 高於擬合關係而 \(\lambda<0\)，在其他條件相同下，誤差修正項會促使 \(y\) 向下變動。這個符號解讀依據 \(\hat u=y-\hat a-\hat\beta x\) 的定義；若反轉殘差的定義，係數符號也會反轉。短期係數描述其他有條件的反應。其他變數亦可能調整；單靠共整合無法判斷哪個市場或經濟變數承擔調整。

除非模型確實具有如此簡單的動態形式，否則不要把 \(\lambda\) 直接解讀為「差價每月按這個百分比收窄」。滯後變化、多個調整變數、非線性反應和結構斷點都會影響整體路徑。穩定的長期關係不是結構性因果機制；調整係數亦須根據指定模型和資訊集作有條件的解讀。

Engle–Granger 單一方程設定可檢驗一個指定的長期組合，其中可包括一個因變數和多個解釋變數。兩個 I(1) 變數的共整合秩最高為 1；較大的系統則可能有多個共整合向量。單一殘差檢定不能決定整個系統的秩。Johansen 程序在其 VAR 和確定性項假設下，專門處理秩問題。

第一階段的正規化在有限樣本中也很重要。長期關係概念上是關於某個組合，但把 \(y\) 對 \(x\) 迴歸，與把 \(x\) 對 \(y\) 迴歸，通常不會得到完全相同的數值。應基於清晰的經濟理由選擇並報告正規化。如果反轉方程後結論改變，應交代敏感度，而非只選有利結果。

小樣本檢定力可能偏低，滯後選擇、確定性項、離群值和結構斷點亦會影響結果。長期關係的斷點可令一個原本平穩的組合在全樣本中看似不穩定。一次拒絕是在既定規格下的證據，不是關係永久存在的證明。

在交易應用中，擬合殘差或會稱為差價，但這個名稱並未定義可執行的投資組合。以對數價格建立的差價不同於金額頭寸；僅用價格的序列也不同於總回報序列。迴歸係數可能隨時間漂移，即使估計殘差平穩，亦不會自動提供入市門檻、持有期、止蝕或頭寸大小。

只可用每個決策時點已知的資料估計長期關係。如果用整段回測資料估計對沖係數，再於較早日期交易，訊號便洩漏了未來資料。應按時間順序劃分形成期與評估期，計算股息、拆細、借貨可用性、融資、買賣差價、市場衝擊及再平衡；亦要訂明診斷顯示關係斷裂時如何處理。搜尋多個配對和時間窗口亦會帶來選擇偏差，共整合檢定不會修正這種偏差。

實務問題不只是殘差檢定有否拒絕虛無假設。要問提出的經濟聯繫是否有持續的理由、能否通過透明的穩定性檢查，以及考慮不確定性和成本後，可執行規則是否仍然可行。共整合可為模型提供資訊，但不能保證收斂、對沖有效或取得回報。

列出變數、轉換、頻率、樣本日期、整合證據和第一階段正規化。說明截距或趨勢項、殘差檢定類型、滯後選擇規則、檢定統計量，以及共整合專用臨界值或 p 值的來源。報告採用合理替代滯後階數或樣本窗口時的敏感度，並註明有否分析斷點。

若估計誤差修正模型，請定義滯後失衡項和符號慣例、列明允許哪些變數調整，並區分短期係數與長期關係。若是交易研究，應披露按時間排序的樣本劃分、配對選擇規則、成本、融資、借貨假設和失敗處理方式。有了這些細節，讀者才能分辨可重現的檢定與看似收斂的圖表。

Engle 和 Granger 的共整合、估計與檢定原始論文闡述共整合與誤差修正的關係。Phillips 和 Ouliaris 推導殘差共整合檢定的漸近理論。MacKinnon 的臨界值研究說明臨界值如何依樣本量和檢定規格變化。Agiakloglou 和 Newbold 探討增廣 Dickey–Fuller 檢定的滯後結構90022-Q)。如系統可能有多個關係，可參考 Johansen 的共整合向量分析90041-3)。相關指南包括[配對交易中的共整合與相關關係](/zh-HK/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[金融中的平穩性、單位根與均值回歸](/zh-HK/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)，以及[以局部投影估計衝擊反應](/zh-HK/learn/local-projections-impulse-responses-horizons-explained)。