方差比檢定：隨機漫步、期限與交易

令 \(P_t\) 為觀測價格，\(x_t=\ln(P_t)\) 為其對數價格。單期對數回報為 \(r_t=x_t-x_{t-1}\)。\(q\) 期對數回報由相鄰的 \(q\) 個單期回報相加而成。如果這些增量互不相關而且方差穩定，總和的方差便會按 \(q\) 成比例增長。

總體方差比為：

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

符合這項方差縮放條件時，\(\operatorname{VR}(q)=1\)。Lo–MacKinlay 程序會將此關係轉成樣本統計量，用以檢定隨機漫步限制。「1」是無相關增量所隱含的動差基準，並非聲稱價格平穩或可以預測。他們最初以歷史美國股票資料拒絕隨機漫步規格，同時明確提醒，單憑拒絕並不能證明價格服從均值回歸模型。

若單期回報平穩，而滯後 \(j\) 期的自相關為 \(\rho_j\)，同一個總體方差比亦可寫成：

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

各個自相關會乘上隨滯後增加而遞減的權重。因此，方差比會加權概括截至 \(q-1\) 期的序列相關；它並不等於某一個指定滯後的自相關。

假設 \(q=4\)，某個假設回報過程有 \(\rho_1=0.10\)、\(\rho_2=0.04\)、\(\rho_3=0\)，則：

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

高於 1 表示這些期限存在正向的加權依存。若首兩個自相關改為 \(-0.10\) 和 \(-0.04\)，而第三個仍是 0，方差比便是 \(0.83\)。以上均屬總體層面的假設計算。由於抽樣變異、波動變化及估計量的有限樣本修正，樣本估計值可能不同。

不同的自相關模式可以在某一個期限得出相同的方差比。正負貢獻可能互相抵銷，因此方差比剛好為 1，並不表示納入的每個自相關都是 0。檢視多個預先指定的期限或能揭示其他模式，但若同時檢定結果，就需要聯合推論。

此檢定通常用於等間隔的對數價格或其一階差分。如果觀測每日收市價，\(q=5\) 代表五個交易時段的回報，而非交易時段數目不同的曆週。缺漏交易日、隔夜跳空和不規則時間戳都會改變「一個期間」的意思。請說明市場日曆，以及價格是否已調整派息或其他公司行動。

採用簡單回報而非對數回報，是模型選擇，並非在所有期限都可忽略的名稱差異。對數回報會隨時間精確相加；簡單回報則以複利累積。小幅變動時兩者數值可能相近，但所選定義應配合研究問題，並在例子、估計和回測中保持一致。不可將價格水平當作回報序列代入公式。

多數實作會使用重疊的 \(q\) 期回報，令每個可用觀測值都參與估計。這會增加聚合後的觀測數，但相鄰視窗共用多個單期回報，因此彼此並不獨立。在維持的假設下，檢定的標準誤會考慮此構造；若把重疊回報視為獨立，便會低估不確定性。

假設某資產的單一交易時段回報方差為 \(0.0001\)，相當於該時段標準差為 1%。若增量互不相關，四個時段的回報方差為 \(4\times0.0001=0.0004\)，標準差為 2%，方差比則為 \(0.0004/(4\times0.0001)=1\)。

現在假設估計的四時段方差為 \(0.000468\)，單時段估計仍是 \(0.0001\)。樣本方差比為 \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\)。這項計算描述所選期限之間的離散程度。它不表示預期回報高 17%、明日回報上升的機會高 17%，亦不表示持倉四個時段的預期回報是 17%。

若要作推論，應將估計比率與其檢定分布和不確定性估計比較。方差比接近 1，不代表價格過程的其他方面符合完整的隨機漫步模型。相反，在雜訊較多或樣本較短時，偏離 1 的比率亦可能與 1 在統計上沒有分別。請分開報告估計值、檢定統計量、p 值和經濟解讀。

經典的同方差 Lo–MacKinlay 統計量，會用在增量方差固定下推導的漸近方差，將 \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) 標準化。若回報的條件波動會變，使用該標準誤可能令檢定尺寸不準。Lo 和 MacKinlay 亦提出了適用於異方差情況的方差比統計量方差估計。

「異方差穩健」有特定範圍：它會在檢定假設下，因應更廣泛的變動方差模式調整推論；但不能修正錯誤的價格序列、所有期限的依存、結構轉變、過時報價或過短的樣本。有些軟件會用 \(Z\) 和 \(Z^*\) 等符號表示兩種選項。請查閱文件，了解它實作哪個虛無假設和標準誤公式。

1989 年的有限樣本研究發現，表現視乎考慮的虛無假設和對立假設而定；在該研究的模擬中，相較某些競爭檢定，異方差隨機漫步虛無假設下的可靠性較佳。這不代表適用於每個樣本或實作。小樣本可能適合使用 bootstrap 或其他有限樣本方法，但重抽樣設計亦須保留與問題相關的依存和波動特徵。

單一 \(q\) 檢定詢問指定期限的方差縮放限制是否成立。若先查看多個期限才選定 \(q\)，所報的 p 值不會計入這次搜尋。嘗試 \(q=2,4,8,16\)，只突出最顯著的結果，會提高誤報的機會。

聯合方差比程序會一併檢定預先指定的多個期限，並在判斷中調整多重比較。Chow 和 Denning 發展這種多重檢定，是因為把多個個別方差比當成互不相關且不作調整的判斷，會大幅提高整體第一類錯誤率。聯合結果只關乎受檢驗的期限組合，不能解釋是哪個滯後、機制或市場參與者造成偏離。

應按取樣頻率和研究問題選擇期限。比較一天、一星期和一個月都可能有用，但每個期限的資訊集和重疊回報結構各異。請報告全部受檢驗的期限，而非只列最有利的期限，並區分探索性掃描與確認性檢定。

估計值高於 1，與所選滯後內正向的加權序列依存相符；低於 1 則與負向的加權依存相符。兩種方向都不能唯一識別動能、均值回歸、價格調整延遲、存貨效應、買賣價反彈、非同步交易或波動過程。

尤其是，\(\operatorname{VR}(q)<1\) 並不證明價格水平平穩。某一個期限的比值低於 1，序列仍可能包含隨機趨勢。反過來，拒絕隨機漫步限制本身也不能證明定態均值回歸模型成立。Lo 和 MacKinlay 明確指出，他們在研究的股票資料中拒絕隨機漫步，並不足以支持該結論。

推論亦取決於檢定對象是回報、對數價格、超額回報還是其他變換序列。每日收市至收市回報的結果，不會自動適用於日內報價或另一組資產。請清楚交代檢定對象，並限制解讀範圍。

即使較慢的經濟價值過程沒有反轉，成交價回報的買賣價反彈也可能在短期限內造成負向依存。流動性不足的證券可能非同步更新，不同交易場地的收市價亦可能涵蓋不同資訊時段。這些因素可能最明顯地影響最短期限。在稱之為市場異常前，應檢查報價品質、交易活躍度、時間戳對齊，以及改用較慢取樣間隔的敏感度。

即使回報符號或水平沒有穩定方向模式，波動率叢集仍會影響標準誤。平均值、波動率、交易時段或市場組成出現結構變化，可能令全樣本方差比混合不同制度。檢查子期間穩定性時，不要只選擇支持偏好解讀的視窗。

搜尋多種資產、頻率、期限、篩選條件和樣本終點，會造成對雜訊的選擇偏誤。經過廣泛搜尋後找到的異常方差比，並非未經挑選的假設檢定。可預先指定主要期限，或採用合適的聯合或重抽樣方法，再用其後按時間排列的資料驗證發現。

方差比檢定概括不同期限的回報波動，但不會指定方向、入場、離場、止蝕、持倉大小、持有時間，或訊號能否在執行前取得。即使依存模式穩定，也可能不足以抵銷手續費、差價、市場衝擊、融資、借券和換手成本。

交易研究應在查看未來回報前定義訊號和決策時間。在形成期估計參數並固定，再用較後觀測評估。如果結果是在嘗試許多證券或期限後才發現，應保留真正未觸及的測試期，或使用會考慮搜尋過程的方法。比較扣除成本後的結果與基準，並加入實際可行的成交條件，而非只依賴理論回報預測。

方差比應與圖表、自相關檢查、單根檢定和穩定性分析一同作為診斷。偏離方差縮放可以促使研究更具體的模型，但該模型需要自己的假設和樣本外證據。這項檢定只是對一項動差限制的簡要描述，並非證明存在交易優勢。

說明價格定義、回報轉換、觀測頻率、樣本日期、可用觀測數量，以及回報是否重疊。報告每個受檢驗的期限 \(q\)、樣本方差比、標準誤版本、檢定統計量、p 值、顯著水平，以及有否對多個期限作聯合調整。

交代如何處理缺漏觀測、公司行動、市場休市和時間戳。說明異方差穩健推論、bootstrap、子期間或替代取樣間隔是否改變結果。用於交易時，將統計樣本與評估期間分開，並披露成本、執行時間、選擇規則，以及嘗試過的全部資產和期限。

Lo 和 MacKinlay 提出方差比規格檢定，並研究有限樣本的檢定尺寸與檢定力。Chow 和 Denning 說明為何多重方差比檢定須控制整體檢定尺寸90051-6)。相關概念可參閱[定態性與單根](/zh-HK/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)、[Engle–Granger 共整合](/zh-HK/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)和[Johansen 共整合秩檢定](/zh-HK/learn/johansen-cointegration-rank-trace-max-eigenvalue-explained)。