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波幅數學閱讀約 9 分鐘
方差與波幅：平方根為何改變定價
了解方差為何是波幅的平方、兩者如何隨時間匯總，以及VIX和方差掉期為何不能用簡單平均比較
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
方差是回報相對平均值的平方偏差之平均，波幅是其通常經過年率化的平方根。20%波幅對應0.20²，即0.04方差，因此兩者的平均、時間換算與交易風險承擔並不相同，不能混用單位
平方改變單位和大幅變動權重
方差使用回報平方單位。平方消除正負號，亦令大幅變動得到更高權重。標準差再取平方根，回到原本回報單位
市場通常把年率標準差稱為波幅。10%和30%波幅對應0.01和0.09方差；波幅是三倍，方差卻是九倍
方差較容易跨時間匯總
在回報獨立同分布的假設下，方差隨時間相加，因此波幅隨時間平方根改變，不可把每日波幅直接乘252
自相關、市場狀態轉變、日內季節性、跳躍和重疊窗口會削弱近似。應說明使用交易日或曆日，以及回報取樣間隔
平均波幅不等於平均方差的平方根
平方根是非線性的。多個波幅的簡單平均，通常不同於平均方差的平方根，這是詹森不等式的直接結果
10%和30%的簡單平均是20%。平均方差的平方根為√((0.01 + 0.09) ÷ 2)，約22.36%。平均方法會改變比較和風險承擔
組合還需要協方差
組合方差結合每項資產的方差和資產之間的協方差。兩項高波幅資產若不同步，組合波幅可以較低；壓力時相關性亦可能上升
直接加權個別波幅會忽略共同變動。應先計算方差—協方差結構，再取平方根
期權顯示波幅，也可複製方差
期權鏈以易讀的IV百分比顯示價格，但一組期權可複製方差型支付，Cboe波幅指數數學亦採用與方差掉期複製有關的權重
相同一個百分點IV變化在不同起點的經濟價值不同。30%升至31%的方差變化大於10%升至11%
VIX匯總期權後才取平方根
VIX方法把合資格SPX期權報價匯總成30日期望方差，插值至目標期限，再以年率百分比顯示平方根
它不是畫面上各合約IV的簡單平均。偏斜和行使價權重會影響結果，所以ATM IV相近的曲面也可產生不同VIX
保持單位和實現規則一致
方差掉期對實現方差線性支付，波幅掉期則對平方根支付。平方根的凸性會改變公平行使價和對沖
記錄簡單或對數回報、取樣頻率、年率化、平均值、假期和缺失值處理。不可直接用方差0.04減去波幅20%
常見問題
方差與波幅有何分別？
方差平均回報的平方偏差；波幅是其平方根，通常以年率百分比顯示並回到回報單位
波幅20%時方差是多少？
在年率小數單位中是0.20² = 0.04。方差使用平方單位，應清楚說明口徑
波幅為何按時間平方根換算？
若回報增量獨立且方差穩定，方差隨時間相加，其平方根便按√時間增長；真實市場可違反假設
VIX是SPX引伸波幅的平均嗎？
不是。它使用指定SPX期權報價和行使價權重估算固定期限方差，再轉換成年率波幅指數
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權