局部投影法：如何估計衝擊反應

衝擊反應函數（IRF）描述結果變數在某個已界定的變化或衝擊之後如何演變。研究者可以探討產出如何回應意外加息、證券如何回應有明確日期的公告，或投資組合如何回應已識別的風險衝擊。觀察各反應期的路徑，可以了解影響何時出現、何時最大，以及持續多久。

「衝擊」必須有清晰定義。觀察到政策利率、市場價格或交易訊號變動，並不代表它自動就是意外的結構性衝擊；該變動也可能部分反映結果本身的資訊。若沒有可信的識別策略，LP 係數代表有條件的關聯或線性投影，而非因果反應。

令 \(y_t\) 為結果變數，\(s_t\) 為衝擊度量。反應期 \(h\) 的一種常見 LP 設定如下：

\[ y_{t+h} = \alpha_h + \beta_h s_t + \sum_{j=1}^{p}\Gamma_{h,j}'W_{t-j} + \varepsilon_{t,h}. \]

此處 \(h\) 是衝擊後經過的期數，\(W_{t-j}\) 包含選定的滯後控制變數，而 \(\beta_h\) 是關注的係數。研究者會為 \(h=0,1,2,\ldots\) 分別估計迴歸。將 \(\hat\beta_h\) 對 \(h\) 作圖，便得到反應路徑。若衝擊是結構性衝擊且識別策略適當，該路徑可用來估計結構 IRF；否則，它描述的是有條件的預測投影。

Jordà 原始方法的核心，是直接估計每個關注期的迴歸，而非擬合一個動態系統後反覆向前預測。逐期估計較靈活，但不會自動共享單一系統所施加的平滑動態結構。

解讀每個觀測時，可把衝擊發生期 \(t\) 與結果觀測期 \(t+h\) 配對。\(h=0\) 表示觀察衝擊發生期的結果，\(h=6\) 則觀察六期後的結果。衝擊日期相同，只改變因變數的觀測期，因此 \(h\) 越大，樣本末端可用的資料列越少。要把各期放在同一路徑上解讀，應使用相同的衝擊定義和可比較的控制變數。

只有清楚說明變數及其尺度後，\(\beta_h\) 才有明確解釋。若 \(s_t=1\) 代表意外上調政策利率 25 個基點，\(\beta_h\) 就是對這個幅度衝擊的估計反應。若 \(s_t\) 以百分點計量，係數則表示每 1 個百分點衝擊所對應的反應。改變衝擊尺度會按相同比例改變所有係數。

因變數的定義亦會決定路徑表示累積變化還是逐期變化。例如，若 \(Y_t\) 是正值產出指數，可定義：

\[ r_{t,h} = 100\,[\log(Y_{t+h})-\log(Y_{t-1})]. \]

此時，\(r_{t,h}\) 是指數由衝擊前水平至反應期 \(h\) 的近似累積百分比變化。若改用每月產出變化等其他結果變數，回答的便是另一個問題。不要把累積水平反應描述成只在第 \(h\) 個月發生的變化。

對數差乘以 100，在變化較小時可近似視為百分比變化。若因變數採用累積對數差，\(\beta_h\) 表示相對於衝擊前基準、在 \(h\) 期後的估計水平差；若採用每月增長率，估計的則是各期增長率反應。標題或圖表只寫「產出反應」可能含糊，應區分水平、累積變化與逐期變化。

假設一項每月研究把 \(s_t=1\) 定義為意外上調利率 25 個基點，並使用以上累積產出指標。下列數字只是教學用假設值，並非真實數據估計。區間使用每個標準誤乘以 \(1.96\)，僅用來示範逐點計算。

在此例中，6 個月時的估計值比衝擊前水平低 0.60%，而其逐點信賴區間不包括零。12 個月時估計值的負幅度較小，但區間包括零。這本身不能證明產出在第 6 至第 12 個月間已經復甦：估計存在不確定性，各反應期估計值互相關聯，而區間重疊並不能檢驗兩個反應期之間的差異。若要對整條路徑作出結論，須作適當的差值檢驗或聯合推論。這些數字並非政策預測，也不是任何實際經濟體的估計結果。

表中的 6 個月數值並不表示產出只在第 6 個月下跌 0.60%。按照此處定義的累積因變數，它表示相對於衝擊前基準的產出指數估計水平差。同樣，12 個月信賴區間包含零，不能確認效果在該期已消失；它只表示按所選標準誤和逐點計算，未能排除零。信賴區間描述估計精度，並不能消除樣本和識別的限制。

LP 是估計方法，本身不會提供識別所需的變動來源。研究者可以用結構模型、高頻意外指標、有效的外部工具變數，或依據可辯護假設的研究設計來界定衝擊。每種方法都需要證據，將衝擊與其他消息及結果變數的反饋區分。

控制變數應符合研究問題的時間次序。衝擊前的滯後變數可控制先前狀況。衝擊後測量的變數本身可能已回應衝擊。控制這類中介變數可能剔除總反應的一部分，亦可能引入新偏誤。應列明衝擊前可取得的資訊，並解釋每個控制變數為何納入迴歸。

即使 \(\hat\beta_h\) 顯著，也不代表一個看似意外的事件就成為外生衝擊。要檢查市場預期、同期公告、測量誤差、政策規則變動及樣本選擇。在金融研究中，重疊消息或共同衝擊可能令結果同時變動，即使研究事件並非原因。

使用外部工具變數時，應說明工具與關注衝擊相關，並解釋排除限制：工具不會透過其他途徑影響結果。高頻意外指標也要檢查公告時段混入甚麼消息，以及價格反映資訊有多快。先定明衝擊的識別邏輯，再選擇用來估計該衝擊反應的 LP。迴歸擬合度高或 p 值小，本身不能證明識別假設成立。

LP 和向量自迴歸（VAR）常被介紹為估計 IRF 的競爭方法。Plagborg-Møller 和 Wolf 指出，當資訊集和識別方式相符、衝擊標準化兼容，而且滯後結構不受限制時，兩種方法可以估計相同的總體反應。這是關於共同估計對象的結果；不表示有限樣本估計必定相同，也不表示所有擬合的 LP 和 VAR 都使用相同限制。

若固定使用 \(p\) 個滯後，兩者的反應估計對象在 \(h\leq p\) 時可能近似一致，較長反應期則可能出現差異。有限樣本中，LP 直接估計各反應期，變異可能較大；VAR 使用聯合動態模型，可能令路徑較平滑。模型結構合適時會有幫助，限制不合適時則可能誤導。不能單憑方法名稱判定哪種方法永遠較好。

不要把「LP 較穩健、VAR 較有效率」視為固定結論，應查看實際採用了哪些動態限制。即使靈活的共同設定具有相同總體估計對象，實際樣本中的滯後數及資訊集不同，也會改變估計路徑和精確度。直接比較係數大小亦要求衝擊標準化一致。比較時，應並列記錄方法名稱以外的衝擊單位、納入變數、滯後數、樣本及識別限制。

每個 \(h\) 的迴歸都會產生估計值及不確定性度量。隨着 \(h\) 增大，樣本末端可能沒有 \(y_{t+h}\) 的觀測值，因此可用觀測數會減少。多期結果亦會互相重疊，所以殘差及不同反應期的估計值可能互相依賴。標準誤或自助法必須配合研究設計及推論目標。

逐點 95% 區間是逐個反應期建立，並不保證整條反應曲線有 95% 覆蓋率。若結論涉及整條路徑，應報告作為另一推論對象的同時信賴帶。Montiel Olea 和 Plagborg-Møller 在其假設下，為特定滯後增強 LP 推導了有用結果；這不代表可以省略診斷，或把某一套標準誤做法照搬到任意迴歸。在他們的單位根情況下，所述結果不涵蓋隨樣本量成比例增長的反應期。應列明控制變數、反應期範圍、協方差估計或自助法，以及區間屬逐點還是同時。

多期結果重疊可能令殘差出現自相關，但並不表示所有 LP 用同一個 HAC 滯後數就能解決。推論論文討論的滯後增強 LP，採用包含系統變數過去值的特定迴歸設定及條件。一般實證分析應說明標準誤選擇為何符合估計量、序列持續性、樣本長度及目標反應期。較長反應期的區間變寬，可能是可用觀測值和資訊量減少所致，並非計算錯誤。

研究者可以令衝擊與衰退指標等可觀察狀態互動，以了解不同狀態下的反應是否有異；亦可以研究多個結果變數、衝擊幅度或子樣本。每項延伸都會改變估計對象，並以不同方式使用可用觀測值。分拆樣本可能令不確定性擴大，尤其是較長反應期。

在可行情況下，應預先指定關注的反應期和狀態。如果嘗試了許多結果變數、滯後、樣本或衝擊定義，應報告搜尋過程，不要把選出的路徑呈現成唯一分析。跨反應期平滑可以令圖表較易閱讀，但會加入限制或調校選擇；若同時展示平滑曲線，也應展示未平滑的估計值並記錄方法。

列明結果變數、頻率、轉換、衝擊定義及單位、反應期範圍、樣本日期、控制變數集合，以及缺失觀測的處理方式。識別假設應與迴歸公式分開說明。報告各反應期的係數和不確定性，或提供單位與區間定義清晰可讀的圖表。

說明估計和推論程序，包括滯後長度、協方差估計量或自助法，以及區間屬逐點還是同時。展示使用有理據的替代衝擊指標、滯後選擇或樣本期間所得的敏感度結果。IRF 是對特定已識別衝擊和結果變數的模型式摘要；它不是交易訊號，也不保證未來回報。

Jordà 的局部投影法原始論文介紹逐反應期估計。Plagborg-Møller 和 Wolf 的LP 與 VAR 等價性結果闡明共同總體目標及有限滯後的分別。Montiel Olea 和 Plagborg-Møller 的推論分析探討特定條件下滯後增強 LP 的信賴區間。相關指南亦涵蓋[金融事件研究](/zh-HK/learn/finance-event-study-abnormal-returns-car-explained)、[穩健及 HAC 標準誤](/zh-HK/learn/robust-standard-errors-heteroskedasticity-hac-finance-explained)，以及[差異中的差異事件時間設計](/zh-HK/learn/difference-in-differences-parallel-trends-finance-explained)。