金融事件研究：異常回報與 CAR 的計算方法

金融事件研究描述財報、監管變動或合併公告等事件附近，資產回報相對所選基準預期偏離多少。它要回答的不是籠統的「消息有否推動價格」，而是「在指定事件窗口內，相對所選回報模型的預測，觀察到多少異常回報」。

實際回報亦包含整體市場升跌。基準模型有助扣除共同市場變動，但餘下差異不會自動成為單一事件的因果影響。MacKinlay 的綜述整理了事件研究設計、異常回報和統計推論（MacKinlay, 1997）。

異常回報並不是從價格反應中單獨識別出的公告價值。採用市場指數作基準，可以在模型中控制與大市共同變動的部分；行業衝擊、利率、匯率及同期消息等遺漏因素仍可能存在。因此，「相對模型的偏離」與「公告造成的因果效果」必須分開解讀。

t=0 對應按相關交易所本地時間界定的事件時點所在交易時段。使用日頻數據時，零日是一個交易時段，不一定等同公告上的曆日日期。記錄交易所時區、交易時間、假期和縮短交易時段。

若公告在收市後發出，研究每日收市價回報時，下一交易時段可能應定為 t=0。若研究盤後即時反應，則需要不同價格數據和時間規則。應說明基準是公告時間、生效時間，還是首次可以交易的時間，並考慮市場會否早已預期消息。

界定事件時點時，也要寫明日回報是收市至收市，還是開市至收市。若把收市後公告歸入當日的收市至收市回報，就用了投資者尚未能交易該消息時形成的價格。亦要統一股票與基準指數的派息口徑、拆股調整、計價貨幣和交易時段；否則回報序列定義不一致會進入 AR，被誤當成事件反應。

估計窗口使用被視為未受事件影響的回報來估計基準模型參數。例如可採用事件前第 −250 至 −30 個交易時段，並確保不與事件窗口重疊。如有資料外洩的疑慮，應解釋為何把估計窗口的結束日提前。

事件窗口另行設定，例如 [−1,+1]，涵蓋公告前後的反應。較長窗口可能包括延遲調整，但亦更容易混入其他消息和混雜因素。Brown 與 Warner 討論日回報事件研究的設計選擇（Brown & Warner, 198590042-X)）。若測試多個窗口，應作敏感度分析報告，不要事後只選最有利的結果。

基準模型應配合研究問題。常數平均模型用歷史平均回報作預期，市場調整法直接扣除市場回報，市場模型估計證券對市場的敏感度，多因子模型則加入其他風險因子；不同選擇會產生不同的預期回報與 AR。估計窗口要有足夠觀測，同時避開事件影響，但窗口較長不一定較好。若公司的市場敏感度隨時間改變，較早估計的 β 可能不能代表事件時的正常關係。

市場模型利用估計窗口計算證券 i 的截距 αᵢ 和市場敏感度 βᵢ。事件日的預測回報是 R̂ᵢ,ₜ = αᵢ + βᵢRₘ,ₜ。異常回報定義為 ARᵢ,ₜ = Rᵢ,ₜ − R̂ᵢ,ₜ。

窗口 [t₁,t₂] 的累積異常回報是 CARᵢ[t₁,t₂] = Σₜ₌ₜ₁ᵗ² ARᵢ,ₜ。這是各交易時段回報的算術總和，並非買入持有回報的複利計算。請統一單位，並清楚標示以百分比或百分點呈現。

這裏的公式和例子把回報視為單位一致的簡單回報。股票若用包含派息的總回報、基準卻用價格回報，或貨幣、交易時段不同，AR 都會混入口徑差異。α、β 是估計窗口所得的估計值，事件期的擬合回報並非已知的反事實；後續推論亦要考慮係數估計誤差。若資料以小數儲存，計得的 0.009 應換算為 0.90 個百分點再報告，並註明單位。

假設估計的 α=0.10%，β=1.20。每個時段的預測回報是 α 加上 β 乘以市場回報；AR 則是實際回報減預測回報。

下表的 α、β、市場回報、實際回報、預測回報、AR 和 CAR 都是虛構的教學例子，並非真實市場數據。

因此 CAR[−1,+1] = +0.70 − 0.50 + 0.70 = +0.90個百分點。這代表所選窗口內的回報比該模型預測高 0.90 個百分點。更換基準模型或估計窗口，結果亦可能不同。

逐行核算可看出各個偏差的來源：−1 時，0.10% + 1.20×1.00% = 1.30%，實際 2.00% 減預測後為 +0.70 個百分點；0 時，0.10% + 1.20×(−0.50%) = −0.50%，實際 −1.00% 對應 −0.50 個百分點；+1 時，預測為 0.40%，實際 1.10%，差值為 +0.70 個百分點。+0.90 個百分點是三個時段相對這條模型預測路徑的總偏離，並非股票三日的實際升幅，也沒有單獨識別公告的貢獻。

對 N 個具有相同相對日期的事件，AARₜ = (1/N)Σᵢ ARᵢ,ₜ 是 t 日跨事件的平均異常回報。所選窗口的 CAAR[t₁,t₂] = Σₜ₌ₜ₁ᵗ² AARₜ，將各日平均值相加。數據平衡時，CAAR 等於個別 CAR 的平均值。若缺失值令每天的可用事件數不同，應列出每個時點的 Nₜ。

純數學例子：+10% 和 −10% 異常回報的 CAR 總和是 0%；但按順序複利後為 (1.10×0.90)−1 = −1%。CAR 是累計異常回報的統計量，並非買入持有的投資回報。

若某些事件日有缺漏，按每天可用事件計算的平均值，其分母會變成 Nₜ：AARₜ=(1/Nₜ)Σᵢ∈Iₜ ARᵢ,ₜ。不同日期若使用不同事件組合，日均值的組成亦會改變；此時 CAAR 未必等於固定同一批事件的平均 CAR。可採用整個窗口都有觀測的平衡樣本，或保留可用觀測但逐日列出 Nₜ 和權重，並交代選擇。若同一公司貢獻多個公告，也要說明按事件還是按公司分配權重。

事件發生時，回報殘差的方差可能上升。若標準誤沒有處理事件誘發方差，檢定尺寸可能失準。Boehmer 等人討論了考慮事件附近方差變化的檢定方法（Boehmer, Musumeci & Poulsen, 199190032-F)）。

多家公司同日公布消息時，異常回報可能有橫截面相關。把事件視為互相獨立，可能低估不確定性。Kolari 與 Pynnönen 研究了事件間存在相關時的檢定（Kolari & Pynnönen, 2010）。亦要注意小樣本、極端值、序列依賴和多窗口檢定，並交代所用檢定與依賴假設。

若把平均 CAR 或 CAAR 為零列作虛無假設，應交代 p 值和信賴區間所用的標準誤及相依假設；同時報告樣本數、日回報自相關的處理方式，以及有否調整多窗口檢定。小樣本下應謹慎解讀結果。

CAR 是相對於基準模型和所選窗口的總量。在指定假設下，顯著 CAR 可能與零值不一致，但不能證明事件造成結果，也不能單獨作為交易訊號。市場提早預期、同期公告、宏觀消息、樣本選擇和模型錯配都可能提供其他解釋。

報告應列明交易所本地時間、樣本、事件窗口、估計期、市場基準、係數估計方法、AR/CAR、標準誤、檢定、缺失數據和穩健性檢查。因果解讀的限制可參考相關與因果指南及OLS 係數與假設。面板政策分析中按相對時間估計係數的「事件研究」是另一種方法，見雙重差分指南。

穩健性分析應以預先訂定的主窗口為基準，再比較較短窗口和合理的替代模型；不要看過顯著性後才挑最突出結果。窗口變長可能納入延遲反應，也可能帶入同日公司公告、宏觀衝擊或後續消息。統計顯著不等於經濟影響大，更不等於扣除差價、流動性限制和交易成本後仍可獲利。若討論策略，還須另行訂明資訊何時可得、何時成交，並作樣本外評估。