迴歸結構轉變的 Chow 檢定

在很長的樣本上擬合一個迴歸模型，可能會掩蓋結果變數與預測變數之間的關係已經改變。例如，市場結構改變前後，投資組合對廣泛市場回報的估計曝險可能不同。Chow 檢定把這個問題轉化為一個聯合假設：在預先指定的日期兩側，迴歸係數是否相同。

假設模型有 k 個係數，包括截距。虛無假設是轉變前後的係數向量相等；對立假設則是至少一個受檢係數不同。Gregory Chow 於 1960 年發表的原始論文，將問題表述為檢驗兩個線性迴歸的係數組合是否相等，見 Chow 的論文。

「結構轉變」在此是指所選模型表示的條件關係有所改變。它不代表資料生成過程的所有部分都變了，也不會指出改變的原因。拒絕結果表示，在所選樣本、模型和日期下，資料不支持受檢的穩定性限制。不拒絕則不等於證明這種關係往後會一直穩定。

令 y 表示結果變數，x 包含截距和納入模型的解釋變數。合併迴歸在整個樣本中施加同一個係數向量。若容許日期之後的係數改變，可定義指示變數 D：轉變前為 0，之後為 1，再將 D 與每個迴歸量相乘：y = x′β + D·x′δ + u。轉變前的係數向量為 β，轉變後則為 β + δ。

完整穩定性虛無假設為 H₀: δ = 0，即同時限制截距和模型中所有斜率。若迴歸包含截距和兩個預測變數，則 k = 3。如果研究問題只關心市場貝他，就只檢驗市場回報預測變數對應的交互項；不要將這個較窄的問題悄悄說成檢驗所有係數。

交互項形式說明了分組迴歸計算的檢驗內容。合併迴歸是受限模型，強制轉變前後的係數相同；兩個分組迴歸則是非受限模型，分別估計每組的係數向量。只要使用相同觀測值、解釋變數和限制，兩種做法檢驗的就是同一個「係數完全相等」虛無假設。

<!-- 插圖說明：無文字的概念畫面，展示一組觀測點在清晰的時間界線處分成兩組；上方是一條適用於兩組的共同擬合關係，下方則是轉變前後不同的擬合關係。不要出現文字、標籤、數值、座標軸文字、標識或介面元素。 -->

經典 Chow 檢定將轉變日期視為已知。日期可以根據外部規則改動、已知的合約改版、資料定義改變，或其他獨立於結果而定時的事件。研究仍需說明如何處理日期當天的觀測值，以及回報、資訊發布和交易所時段是否按一致規則對齊。

固定日期的 Chow 檢定表示一次突然改變。規則可能在正式生效前已公布並被市場提前反映，推行也可能分階段進行，交易條件亦可能在多個時點改變。應根據可能改變觀測關係的機制，區分公布日、生效日和實際實施日。若預先設定的問題包含漸進反應，斜坡項或分布式交互項可能比單一階躍指示變數更合適。但事後比較多種形狀並選擇 p 值最小的方案，會帶來新的搜尋問題。

如果研究者嘗試多個日期，再報告 F 統計量最大的日期，最終統計量便經過樣本內篩選。一般的單一固定日期 F 參考分布沒有考慮這種篩選。對多個資產、結果變數、樣本窗口或預測變數組合重複檢定，也會產生相同問題：最顯著的結果可能部分來自搜尋，而非關係不穩定。

轉變日期未知時，應使用專為這個問題設計的程序。Andrews 對未知轉變點下參數不穩定性的研究指出，這類檢定的虛無分布並非常規分布；臨界值不能直接沿用一般固定日期 Chow F 臨界值。若有多個未知轉變點，Bai 和 Perron 提出檢定及估計多個轉變日期的方法。這些方法各有假設和端點截尾選擇，並非所有時間序列都可以直接套用。參見 Andrews（1993）和 Bai 與 Perron（1998）。

先擬合一個合併迴歸，記錄其殘差平方和 SSRₚ。再分別擬合指定日期前後的迴歸，記錄 SSR₁ 和 SSR₂。容許完整係數向量不同的經典統計量為 F = [(SSRₚ − SSR₁ − SSR₂) / k] ÷ [(SSR₁ + SSR₂) / (n₁ + n₂ − 2k)]。其中 n₁ 和 n₂ 是兩組的觀測數，k 是每組估計的係數數目，包括截距。

分子是施加 k 個相等限制後，合併模型增加的平方誤差除以限制數目。分母用分組模型的殘差自由度估計共同誤差方差。參考分布的分子自由度為 k，分母自由度為 n₁ + n₂ − 2k。每組都必須有足夠的獨立資訊估計 k 個係數；若設計矩陣的秩不足，便無法使用這項比較。

這個公式用於一次檢驗全部 k 個係數，並且依賴經典線性模型條件，包括誤差互相獨立、服從常態分布，而且兩組的方差相同。若只檢驗 q 個限制，應使用有效的受限模型對非受限模型聯合 F 檢定，分子自由度為 q；不要只把完整分組 SSR 公式內的 k 換成 q，卻保留原來的模型不變。在含交互項的設計矩陣中，也可以用聯合 Wald 檢定表達相應限制。

假設研究者想判斷投資組合的每週回報與市場因子及第二個風險因子的關係，是否在預先選定的某日期之後有所改變；該日期來自一項假設的交易所規則調整。模型包含截距和兩個因子斜率，因此 k = 3。轉變前有 n₁ = 80 個觀測，之後有 n₂ = 100 個。所有數值都是為示範計算而虛構，並非市場估計值。

假設合併迴歸的 SSRₚ = 360（基點）²，而分組迴歸的 SSR₁ = 130、SSR₂ = 150。合併限制帶來的平方誤差增加量為 360 − 130 − 150 = 80。分子為 80 / 3 = 26.67。分組模型的殘差自由度為 80 + 100 − 2 × 3 = 174，因此分母為 280 / 174 ≈ 1.609。結果是 F(3, 174) ≈ 16.57；在上述經典假設下，常規右尾 p 值約為 1.6 × 10⁻⁹。5% 臨界值約為 2.66，因此這個假設計算會拒絕「全部係數穩定」。

結論應嚴格限於：在模型和誤差條件合適的前提下，至少一個係數在兩個樣本之間不同。統計量沒有說明市場貝他上升還是下降；這需要檢查係數估計值及其不確定性。它也不能證明規則改變造成差異，更不能單獨說明轉變後的預期回報、可執行預測或扣除成本後的策略表現。

截距改變可能表示控制納入的預測變數後，y 的條件平均值在轉變後改變。斜率改變可能表示結果變數對某個預測變數的估計反應有所改變。完整 Chow 檢定同時考察這些可能性。拒絕結果表示資料不支持受檢係數向量相等；除非進一步檢查估計結果並施加恰當限制，否則不能確定哪個係數改變。

逐個係數檢定不能取代聯合檢定。多個幅度不大的改變加在一起，可能與係數完全相等不一致，即使沒有任何單一係數檢定特別明確。相反，查看多個候選項後才挑出顯著的單一係數，也可能是多重檢定的結果。先說明聯合假設，再報告係數估計、置信區間，以及能回答研究問題並具經濟意義的差異。

Chow 檢定也不同於中斷時間序列分析。後者會建立干預前趨勢，並估計相對於該軌跡的水平和／或趨勢變化。Chow 檢定詢問指定的迴歸係數在兩組之間是否相同；它本身不會建立干預反事實。事件日期附近的轉變，也可能來自同時發生的其他衝擊、樣本組成改變或測量流程調整。現有的[中斷時間序列指南](/zh-HK/learn/interrupted-time-series-segmented-regression-finance-explained)介紹干預軌跡；單憑係數差異不能識別因果關係。

有關中斷時間序列研究設計的綜述，參見 Bernal、Cummins 和 Gasparrini 的論文。

當誤差存在序列相關、異方差，或不符合共同方差模型時，簡單 Chow F 參考分布可能產生誤導。金融回報的條件方差經常改變；相鄰觀測可能共享資訊或衝擊，市場休市前後的觀測亦可能有別於一般相鄰交易時段。圖表上看似合理的轉變，不會自動符合經典誤差假設。

要區分條件平均關係的改變與殘差方差的改變。若斜率穩定但不同制度下的誤差方差不同，共同方差假設便不成立；經典分組 SSR 統計量可能因此把錯誤原因當成係數不穩定。相反，穩健協方差估計會改變不確定性的計算，但本身不會檢驗係數是否穩定。應分別檢查交互項限制和殘差尺度，不要將兩者當成同一個診斷問題。

一種做法是在合併迴歸中用交互項表示轉變，再用適合資料的協方差估計量檢驗指定的係數限制。White 的異方差一致協方差估計處理與經典公式不同的誤差方差模式；Newey–West HAC 估計量在其條件下容許異方差和自相關。這些方法不會保留經典有限樣本 F 分布。穩健 Wald 統計量通常依賴漸近近似，滯後階數或帶寬仍須說明理據。參見 White 的協方差論文和 Newey–West。

穩健協方差估計不能修復遺漏預測變數、不恰當的函數形式、內生解釋變數、根據同一結果序列篩選轉變日期，或任一制度下觀測不足等問題。應檢查殘差依賴、方差變化、影響點，以及在合理樣本窗口下結果是否穩定。若因變數或解釋變數非平穩，應先確定迴歸代表甚麼，再把顯著的轉變統計量視為關於穩定關係的有意義證據。

要讓結果可重現，應說明結果變數、預測變數、變數轉換、樣本頻率、轉變日期兩側的觀測數、確切的日期規則，以及所有係數限制。對於經典計算，應報告合併和分組 SSR、k、自由度、F 統計量、p 值和誤差假設。對於穩健交互項檢定，應註明協方差估計量、調校選擇，以及推斷使用有限樣本還是漸近參考分布。

應同時展示轉變前後的係數估計及其不確定性，而不只是「拒絕」這個標籤。說明估計差異在經濟上是否重要、能否通過合理替代窗口和預測變數定義的檢查，以及日期是預先指定還是透過搜尋選出。係數轉變可以促使研究者覆核模型、重新估計或建立監察規則，但本身不證明應該改變交易策略，也不證明新策略會有效。

如果用於預測或交易，應只用每個歷史決策時點當時可取得的資訊測試後續反應。應在樣本外與清晰的基準比較預測或投資組合結果，並計入換手率、差價、費用、適用的資金費和容量限制。樣本內顯著的轉變是模型穩定性診斷，不是未來 alpha 的證據。有關迴歸解讀，可繼續閱讀 [OLS 指南](/zh-HK/learn/ols-regression-coefficients-assumptions-finance-explained)；有關誤差相依下的推論，參見[穩健標準誤指南](/zh-HK/learn/robust-standard-errors-heteroskedasticity-hac-finance-explained)。