檢驗迴歸穩定性與結構轉變的 CUSUM 方法

迴歸在整個樣本看來合理，關係仍可能在中途改變。某段時間的正預測誤差與之後的負預測誤差，可能在一般的全樣本摘要中互相抵銷。迴歸 CUSUM 保留誤差的先後次序：它累加遞迴預測誤差，檢查路徑是否偏離係數穩定時的預期範圍。

Brown、Durbin 和 Evans 使用遞迴殘差開發了一系列迴歸穩定性工具，包括 CUSUM 和平方 CUSUM。這些檢定根據模型假設，評估整個樣本期的迴歸關係是否與維持不變的設定相符。它們不會解釋轉變原因，也不同於工業流程控制中累計相對於另行指定目標平均數的偏差的 CUSUM 規則。

本指南聚焦於 Brown–Durbin–Evans 迴歸 CUSUM。軟件可能以「CUSUM」指不同統計量，因此報告應交代殘差序列、縮放方式、邊界及參考分布，而不應只寫名稱。

把迴歸寫成 \(y_t=x_t'\beta+u_t\)。若模型包含截距，\(x_t\) 亦包含截距，而 \(k\) 是係數數目。先用足夠且設計矩陣滿列秩的初始觀察估計模型。其後每個觀察只用截至 \(t-1\) 的數據擬合迴歸，再預測 \(y_t\)。

若 \(X_{t-1}\) 包含截至前一筆觀察的解釋變數，遞迴殘差為

\[ w_t=\frac{y_t-x_t'\hat\beta_{t-1}}{\sqrt{1+x_t'(X_{t-1}'X_{t-1})^{-1}x_t}},\qquad t=k+1,\ldots,T. \]

分子是一步預測誤差。分母按 \(x_t\) 所對應的槓桿值調整預測不確定性；它本身不是市場波幅的估計。在固定解釋變數適當、誤差獨立且方差相等的古典穩定線性模型下，遞迴殘差的平均數為零、彼此不相關，並有相同的誤差方差。這些性質支持累加殘差，但只用最小平方法估計並不會自動保證它們成立。

初始觀察用來估計係數，並不是這個遞迴程序產生的一串樣本外殘差。若初始設計矩陣接近奇異，之後的預測亦可能不穩定。請說明初始樣本、解釋變數和轉換，因為每項選擇都會改變殘差路徑及檢定問題。

令 \(\hat\sigma\) 為所選實作使用的尺度估計。直至觀察 \(r\) 的累積路徑可寫成

\[ C_r=\frac{1}{\hat\sigma}\sum_{t=k+1}^{r}w_t. \]

在穩定性虛無假設下，除了抽樣變異，正負創新應大致平衡。將繪出的路徑與按檢定虛無分布推導的臨界邊界比較。越界即表示在假設適用的情況下，以選定的顯著水平拒絕參數不變。不同實作的縮放和邊界構造可能不同，手畫固定區帶不能代替相應的臨界值。

路徑方向有助理解模式。正的遞迴誤差持續出現，表示觀察結果多次高於先前的擬合值，總和於是上升。負誤差持續出現則令它下降。誤差正負交替時，即使個別殘差不小，路徑亦可能停留在先前水平附近。因此，CUSUM 同時運用預測誤差的大小和次序。

在其他條件相近時，截距轉變較容易產生同方向的殘差。斜率轉變則可能因 \(x_t\) 的位置和正負而令預測誤差方向不同。如果解釋變數在平均數附近波動，單一累積路徑中的誤差可能互相抵銷一部分，即使斜率確有轉變。因此路徑留在邊界內，不足以證明所有係數都沒有變化。亦應查看遞迴係數路徑、交互作用檢定和檢定力。

假設有六個縮放後的遞迴殘差都是 \(+0.4\)，累積增加 \(2.4\)。若序列是 \(+0.4,-0.4,+0.4,-0.4,+0.4,-0.4\)，最後總和為零。兩組的絕對誤差相同，但只有第一組持續同方向。這些總和只說明運作機制，不是臨界值、p 值或真實資產的證據。

平方 CUSUM 累加遞迴殘差的平方，而非其符號。簡化的累積比例形式為

\[ Q_r=\frac{\sum_{t=k+1}^{r}w_t^2}{\sum_{t=k+1}^{T}w_t^2}. \]

若誤差過程穩定且方差相同，累積比例應大致隨觀察數按比例上升。較大的平方殘差集中出現會令路徑變陡，平靜期間則令它趨緩。Brown、Durbin 和 Evans 同時討論帶符號 CUSUM 和這項方法；後續研究亦分析基於普通最小平方法殘差的平方 CUSUM 檢定。

不要把平方殘差路徑理解為純粹的波幅檢定，也不要把它視為乾淨的係數轉變替代檢定。大觀察值、方差改變、條件平均數錯誤設定、迴歸係數變動都可能影響它。相反，即使正負誤差仍然平衡，方差轉變亦可能令帶符號 CUSUM 的參考分布失準。ARCH-LM 檢定較針對平方殘差的可預測性，但它仍不會診斷所有可能的波幅模式。

固定日期的 Chow 檢定會比較事先指定日期兩側的迴歸係數。迴歸 CUSUM 則檢查按時間排序的遞迴路徑，無須外部指定一個轉變日期。越過邊界不會指出某次突變開始的確實日期。緩慢漂移、多次轉變、一連串離群值或方差模型失效，均可能產生不同路徑模式。

如果轉變日期未知，而目標是正式檢定單一轉變，Andrews 提供 supremum Wald、概似比和拉格朗日乘數程序。這些方法會搜尋候選日期，並採用反映該搜尋的非標準臨界值。其統計量與臨界值不可和 Brown–Durbin–Evans CUSUM 邊界互換。多個轉變需要額外程序和假設。固定日期比較可參閱 [Chow 檢定指南](/zh-HK/learn/chow-test-structural-break-regression-finance-explained)，更廣泛的搜尋問題可參閱 Andrews 的未知轉變點論文。

分析者執行多項診斷時，這項區分很重要。反覆嘗試 CUSUM、平方 CUSUM、候選日期、解釋變數和樣本期間會造成選擇問題。一項事先指定檢定的名義顯著水平，並不代表所有嘗試中至少出現一次誤報的機率。應在查看結果前記錄要檢視的路徑或統計量，或使用會考慮搜尋的推論程序。

回顧性檢定評估固定的歷史樣本。監察規則則在基準期後，反覆評估新到的數據。每有新觀察便套用一次性邊界，不會自動維持名義誤報率；重複作出決定會有不同的概率結構。

Chu、Stinchcombe 和 White 開發了波動及 CUSUM 程序，用於以歷史樣本估計穩定關係後的即時監察。這些監察邊界在論文的漸近條件下，會考慮反覆檢視結果。基準樣本本身必須合適；監察設計亦須指定警報後怎樣處理、如何更新參數，以及監察會持續多久。沒有作出這些選擇，就不應把歷史迴歸 CUSUM 圖改稱為線上程序。

對交易系統而言，警報表示新數據與模型的關係可能已不再足以符合穩定性假設。它可以觸發調查或預先指定的風險檢查，但不會指出哪個係數改變、是否要落盤，亦不會說明降低風險承擔是否改善回報。如採用重複監察，除統計門檻外，亦要評估偵測延誤和誤報成本。

古典遞迴殘差的推導假設線性關係設定正確、誤差方差穩定且誤差沒有序列相關。金融時間序列可能因波幅群聚、厚尾、過時或不同步價格、重疊回報期間和市場結構轉變而違反條件。一連串同方向殘差可能源自係數真的轉變，也可能由遺漏動態、錯誤時間戳，或改變參考分布的波幅事件引起。

普通最小平方法擬合後只更改共變異數估計，不會自動產生有效的 CUSUM 邊界。異質變異或相依情況下的穩健推論，須使用針對這些條件設計的統計量和參考分布。迴歸 CUSUM 圖是穩定性診斷，不可取代殘差相依檢查、條件異質變異檢定或規格驗證。相關問題可參閱 [ARCH-LM 波幅群聚檢定指南](/zh-HK/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)及[穩健標準誤指南](/zh-HK/learn/robust-standard-errors-heteroskedasticity-hac-finance-explained)。

構造殘差前先選定取樣間隔和市場日曆。跨越長假期的收市至收市回報，和一般交易時段的回報並非相同長度。公司行動、合約轉倉、貨幣換算和缺失觀察亦可能產生看似不穩定的預測誤差。若沒有說明模型中時點 \(t\) 的觀察代表甚麼，就不要填補缺口或機械式對齊資產。

列明結果變數、解釋變數、截距、轉換、樣本日期、頻率、初始估計期間及遞迴殘差數目。說明殘差是否按遞迴預測方差縮放，以及 \(\hat\sigma\) 如何估計。指出使用哪一種 CUSUM 或平方 CUSUM、參考分布、臨界水平、邊界規則，以及影響結果的軟件預設值。

應連同擬合係數和殘差診斷展示路徑或統計量。越界是反對所檢定模型下係數不變的證據，不是經濟原因或某事件因果效應的估計。若目的是預測或交易，使用按時間排序的留出樣本，交代各警報何時可取得，並計入差價、市場衝擊、費用、借券、融資和周轉。將回應與固定模型基準比較。穩定性警告可以促使檢視模型，但不能證明自適應規則有優勢。

Brown、Durbin 和 Evans 在1975 年論文介紹遞迴殘差 CUSUM 和平方 CUSUM 穩定性程序。McCabe 和 Harrison 研究了使用普通最小平方法殘差的平方 CUSUM 檢定。未知轉變點可參閱 Andrews（1993），序貫監察可參閱 Chu、Stinchcombe 和 White（1996）。相關指南包括 [OLS 迴歸](/zh-HK/learn/ols-regression-coefficients-assumptions-finance-explained)、[Chow 檢定](/zh-HK/learn/chow-test-structural-break-regression-finance-explained)和[波幅群聚](/zh-HK/learn/volatility-clustering-garch-explained)。