每月夏普比率可以乘√12嗎？自相關與年化

夏普比率是每期平均超額回報除以同一期回報的標準差。對每月數據，每個月的超額回報應以該月策略回報減去相應月份的無風險回報計算。不可未經換算便用年度無風險回報減每月回報。

這是根據已觀察樣本得出的描述性估算，不是概率、回報保證，亦不代表不會虧損。回報定義、觀察頻率、樣本期間或成本處理方法不同，結果亦可能不同。

Sharpe 說明此比率如何比較回報與波動，並討論年化所需的假設。閱讀Sharpe 的說明時，亦要留意統計量的時間單位和分母。

如果每月超額回報的平均值和方差保持穩定，而且不同月份之間互不相關，12 個月回報總和的平均值便是每月平均值的 12 倍，方差是每月方差的 12 倍。標準差因此按√12倍增長，年度夏普便是每月夏普乘√12。獨立同分布（IID）是零相關的一個充分條件，但不是唯一條件。

除了平均值和方差穩定，月份之間的協方差也必須為零。Sharpe 的年化說明同樣指出零相關條件。如果回報有自相關，年度總和的標準差通常不會恰好按√12倍增長。

令每月超額回報為 x_t，平均值為 μ，滯後 k 期的協方差為 γ_k = Cov(x_t, x_{t-k})。γ_0 是每月方差。在協方差平穩的假設下，q 個月超額回報總和的方差為：

Var(Σ x_t) = qγ_0 + 2Σ_{k=1}^{q−1}(q−k)γ_k

滯後 k 期的自相關為 ρ_k = γ_k / γ_0。q 期總和的平均值是 qμ，因此聚合後的夏普比率為：

SR_q = √q × SR_1 / √[1 + 2Σ_{k=1}^{q−1}(1−k/q)ρ_k]

Lo（2002）的《The Statistics of Sharpe Ratios》推導了這項時間聚合修正。公式按遞減權重計入多個滯後期，並非只看第一階自相關。

以下數字純粹是假設，用來示範計算，並非預測或實際表現。假設每月平均超額回報為0.4%，標準差為2%，每月夏普便是0.004 ÷ 0.02 = 0.20。

假設沒有自相關，簡單年化結果為0.20 × √12 ≈ 0.693。再假設第一階自相關ρ_1 = 0.25，並採用 AR(1) 模型。只有在這個特定模型下，較長滯後期的自相關才是ρ_k = 0.25^k。把滯後 1 至 11 期代入公式，修正分母約為1.262。

修正後的年度夏普約為0.20 × √12 ÷ 1.262 ≈ 0.549。這並非把0.25視為每個滯後期的自相關；相關按幂次遞減只屬本例的 AR(1) 假設，不應直接套用至所有策略。

序列相關可能源於真正的回報持續性或反轉，也可能源於觀察方法。重疊的持倉期、平滑估值、更新較慢的價格，以及流動性較低資產的陳舊估值，都可能令觀察到的回報看來較平穩。

持倉長度、再平衡頻率和訊號重疊也可能在策略設計中造成依賴。不要即時把自相關視為有利的「持續性」；先判斷這是經濟現象，還是估值與抽樣方式帶來的影響。

若相關來自平滑估值，觀察到的波動可能低估風險。單靠修正公式不能改善價格或估值數據。應先檢查價格來源、時間戳記和持倉期是否重疊。

回報定義、貨幣、期間和取樣頻率都要一致。無風險回報必須與策略回報採用相同頻率。說明數據是費用前還是費用後，以及如何處理股息、費用、融資成本和槓桿。中途改變成本口徑，等於改變比較對象。

以上公式適用於在協方差平穩等假設下，以加法匯總 q 期超額回報。它不一定等同以複利計算的實際曆年回報。不要在未作說明下，把加法匯總和複利結果當成同一個數值。

亦要固定投資組合權重、現金結餘、未實現盈虧和同時持有的倉位。交代測量內容及頻率，方便他人重現計算。

短樣本中的自相關估算可能相當嘈雜。滯後期越長，可用的觀察配對越少；把多個估算滯後值放進修正式，結果亦可能不穩定。只發現第一階自相關，不足以證明數據符合 AR(1)。

記錄樣本長度、滯後期數、估算自相關的方法和年化方法。展示改用合理的滯後期數或估算方法後，結果是否敏感。比較策略時，也可提供信賴區間或其他不確定性範圍，避免過度解讀細小差異。

把估算的自相關當成已知常數，會令人誤以為結果精確。數據越少，越應同時交代估算、假設及不確定性。

時間聚合修正不會消除從大量候選策略中挑選最佳結果所產生的偏差、資料窺探或非平穩性。未來市場環境若與樣本期間不同，平均值、方差和相關性都可能改變。

夏普比率本身亦不能完整描述尾部虧損、急跌、槓桿、流動性和成交成本。修正後的夏普較高，不等於策略將來更安全或表現更好。亦要檢視其他期間、較嚴格的成本假設和最大跌幅。

比較回報匯總方法，可參閱[算術平均與幾何平均回報](/zh-HK/learn/arithmetic-vs-geometric-average-returns-explained)；了解虧損路徑，可看[最大跌幅與回復百分比](/zh-HK/learn/maximum-drawdown-and-recovery-percentage-explained)；策略篩選和過度擬合則與[金融模型的偏差—方差取捨](/zh-HK/learn/bias-variance-tradeoff-financial-model-overfitting-explained)有關。

報告年化夏普比率前，提供足以重現計算的資料。

• 列明回報頻率、樣本期間和觀察數量。
• 說明超額回報定義及相同頻率的無風險回報。
• 交代費用前後、股息、融資和槓桿的處理。
• 說明採用√q換算，或列出修正中使用的滯後期。
• 區分加法匯總和複利回報，並報告估算不確定性。

若報告只寫「每月夏普×√12」，應先檢查零相關假設是否合理。若沒有說明如何估算回報的序列依賴及其限制，便不應將該數字視為精確的年度風險調整表現。