算術平均與幾何平均回報：平均10%不等於每年增長10%

使用同一投資或組合連續、等長的觀察期間。貨幣要一致，期初價值為正，並假設沒有外部資金進出。亦要說明收入是否再投資，以及回報率有否包括成本。

每期回報率r用小數表示：40%寫成0.40，虧損20%寫成−0.20。資金應乘以增長因子1 + r，而不是r本身。

算術平均 = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n。它概括已觀察的單期平均回報，卻不能直接重現持續投資戶口的最終結餘。

連續期間應將增長因子相乘：累計回報 = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1。

全程保持價格回報與總回報的準則一致。中途改變分派的處理方式是另一個問題，並非換一種平均值便能解決。

假設以同一貨幣10,000投資完整兩年。第一年回報為+40%，第二年為−20%。不計佣金、分派、追加投入或提款。

若將算術平均10%逐年複利計算，就會得到10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100。額外的900並沒有在例子的戶口出現，而是另一條回報路徑的結果。

數字是獨立設定的假設算術例子，不是回測、實際投資表現或預測。更換貨幣符號不會改變這些百分比。

• 期初價值：10,000。
• 第一年末：10,000 × 1.40 = 14,000。
• 第二年末：14,000 × 0.80 = 11,200。
• 算術平均：(40% − 20%) ÷ 2 = 每年10%。
• 累計回報：11,200 ÷ 10,000 − 1 = 兩年12%。

幾何平均回報是重現實際增長因子的固定單期回報率g，符合(1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)。

因此g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1。應將增長因子的乘積開n次方根，而非直接把回報百分比相乘再開方。

兩年例子中，g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 每年5.8301%。使用未四捨五入的數值，10,000 × (1 + g)^2 = 11,200。

期間單位為年時，這個幾何平均就等於複合年增長率CAGR。沒有外部資金進出時，CAGR = (期末價值 ÷ 期初價值)^(1/t) − 1，t為經過的年數。

另一個例子中，10,000在五年後變成15,000。累計盈利為50%，但CAGR是(1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%，不是50% ÷ 5 = 10%。

[FINRA的年率化說明](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained)亦區分複利年率化與將累計回報除以年數的做法。

連續兩年+10%、+10%，與+40%、−20%的算術平均相同。但10,000在前者變成12,100，後者只到11,200。

增長因子為正時，幾何平均不會高於算術平均；只有每期回報完全相同才會相等。這項性質比較同一組觀察值，不是替不同基金直接排名的規則。

兩個平均的差距不是應從結餘額外扣除的佣金。複利期末價值已包含各期回報的影響，亦不能由此斷定任何低波動投資都一定跑贏另一項投資。

[CFA Institute對兩種平均的討論](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1)解釋了複利為何是乘法而非加法。

沒有外部現金流時，調換這兩個固定回報率的次序不會改變乘積。不過中間路徑與觀察到的回撤仍可改變。

用月度觀察值算出的幾何平均是月回報率。若連續十二個月每月剛好獲得1%，年度增長是(1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%，不是12%。

這個例子明確設定了全部十二個月。把單一已觀察月份的1%年率化，只是在假設同樣結果重複，不是一整年的實績或預測。

若觀察間隔不一致，每次觀察的幾何平均不會自動變成年率。符合以期初、期末價值計算CAGR的條件時，應用實際經過年數；不足整年的部分亦要說明日數計算準則。

年率化數字平滑連接起點與終點。它不表示每年都賺到那個百分比，也不代表中途沒有重大虧損。

假設同一期間向資產A投入100、向B投入900。A升50%，B跌10%，期末價值分別為150和810，合共960。

組合回報是(960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%。用期初比重亦一樣：0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%。

直接平均+50%與−10%得出+20%，忽略了資金分配。將1.50與0.90相乘也不正確：這是同時持有的兩項投資，不是同一筆資金的兩個連續期間。

外部存提款是另一條界線。追加5,000後結餘從10,000升至15,000，並不一定代表投資賺了50%。

[GIPS現金流計算原則](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/)區分時間加權表現與反映現金流日期、金額的回報率。

小額期權金的回報百分比，不等於整個戶口的回報百分比。交易規模、重疊的持倉期和閒置現金不同，都令隨意相乘單宗回報無法反映戶口增長。

[OIC槓桿說明](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk)解釋期權金為何可能呈現放大的盈利和虧損百分比。

期貨按金是抵押資金，不是買入整項風險承擔的價款。改變這個分母，不會令相關資產產生新的回報。

[CME的按金說明](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed)介紹這些資金的作用。

比較交易可參考期貨回報的分母；組合複利則要使用一致的整個戶口估值。包括未平倉持倉，並只計算每項成本一次。

先確定問題是平均觀察值、一項投資的資金增長，還是同時持有的組合表現。三種問題需要不同計算。

正增長因子公式假設每期回報高於−100%。全數損失後沒有餘下資金繼續複利。戶口淨值為負時，應分析現金流與負債，而非作一般CAGR比較。 [!TRYMARK] TryMark平均回報核對 下次檢視表現時，以報告的期末價值為核對目標。用有日期的戶口回報率重現它；成本、再投資假設或外部現金流改變時，再檢查一次。 [!WARNING] 過往平均不保證可重複的增長 算術平均和幾何平均都不能確定明年回報。需要更高盈利或看到平滑的CAGR，都不是增加槓桿的理由。這些例子解釋計量方法，並非投資建議。

• 記錄日期、期間長度、貨幣、期初及期末價值。
• 分清收入、再投資、成本和外部資金進出。
• 年率化之前，先用連續增長因子重建期末價值。
• 分別標示算術平均、累計回報、單期幾何平均及CAGR。