Johansen 共整合檢定：秩、跡檢定與最大特徵值檢定

假設 \(y_t\) 包含 \(k\) 個變數，並在明確說明的資料生成設定下將每個變數視為 \(I(1)\)。共整合秩 \(r\) 是這些變數水平值的線性組合中，互相獨立且平穩的關係數目。若 \(r=0\)，即在該規格下找不到這類組合。若 \(0<r<k\)，便有 \(r\) 個互相獨立的長期關係；在一般 \(I(1)\) 系統條件下，還有 \(k-r\) 個共同隨機趨勢。秩為 1 表示整個系統有一個關係，不一定代表有一對明顯的資產。

這是關於整個系統的問題。兩步 Engle–Granger 方法會估計一條經標準化的長期方程式，再檢定其擬合殘差。Johansen 的極大概似方法則估計和檢定向量自迴歸中共整合空間的維度，因此可以表示多於一個互相獨立的關係。兩種方法回答相關但不同的問題；在有限樣本或不同滯後、確定性項設定下，結果可能不一致。

省略確定性項後，水平 VAR 可以改寫為簡化的向量誤差修正形式：

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

此處 \(p\) 是水平 VAR 的滯後階數。\(\beta\) 的欄代表長期組合，而 \(\alpha\) 包含調整負荷量，將之前的不平衡與當前變化連繫起來。當 \(\Pi\) 的秩為 \(r\)，它可分解成兩個 \(k\times r\) 矩陣 \(\alpha\) 和 \(\beta\)。系統中誤差修正項的數量由矩陣秩決定，而非單由變數數目決定。

如果全部 \(k\) 條序列確實是 \(I(1)\)，常見的共整合情況會有 \(r<k\)。滿秩結果可能表示水平值圍繞擬合規格所容許的確定性項而平穩，應重新檢查最初有關積分階數的前提。秩為 0 並不證明變數之間完全沒有任何關係；它只表示所選模型在受檢驗的秩下找不到平穩的水平組合。

將估計特徵值按 \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\) 排序。這些數值來自極大概似程序的降秩問題，並非一般的解釋變異百分比。候選秩為 \(r\) 時，跡統計量為：

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

它檢定 \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\)，對比 \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\)，並累積其餘特徵值提供的證據。最大特徵值統計量為：

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

它比較秩 \(r\) 與下一個秩 \(r+1\)。換言之，跡檢定詢問關係總數是否多於 \(r\)，最大特徵值檢定則詢問資料是否支持加入下一個關係。兩者的秩虛無假設都不使用一般的卡方參考分布。

假設有一個三變量系統，有 200 個可用觀測值，估計特徵值依次為 \(0.16\)、\(0.05\) 和 \(0.01\)。這些是教學用的假設數值，並非市場估計。當 \(r=0\)，跡統計量加總三項，約為 \(47.14\)；最大特徵值統計量只使用第一項，約為 \(34.87\)。當 \(r=1\)，兩者分別約為 \(12.27\) 和 \(10.26\)；當 \(r=2\)，兩者均只使用最後一個特徵值，約為 \(2.01\)。

計算所得的是檢定統計量，而非秩的結論。要作出判斷，須將統計量與符合確切確定性設定和檢定次序的臨界值或 p 值比較。例如，軟件表格中的「拒絕 \(r=0\)」只表示在該表格的假設和所選顯著性水平下，有證據反對秩為 0；它不是某個資產差價平穩的直接概率。p 值高於門檻，表示未能拒絕該秩的虛無假設，並非證明它為真。

解讀秩之前，先選擇有理據的 VAR 滯後階數。水平 VAR 的階數 \(p\) 對應 VECM 中 \(p-1\) 個差分滯後。滯後太少可能令殘差留下序列相關；滯後太多則會消耗自由度，令有限樣本推論不穩定。資訊準則有助整理候選階數，但殘差診斷、樣本大小和經濟時間結構同樣重要。交代選擇方法，並檢查合理的替代設定。

決定截距和趨勢應放在共整合關係之外、限制在關係之內，還是在維持的模型中省略。這些設定代表不同的長期行為，也會產生不同的秩檢定分布。應按問題和資料選擇規格，而非搜尋最有利的 p 值。臨界值必須配合確切的確定性情形、變數數目和實作方式。Johansen 秩統計量服從非標準分布。MacKinnon、Haug 和 Michelis 為指定的 Johansen 類型概似比檢定計算反應曲面分布，其中包括容許外生 \(I(1)\) 變數的延伸。這些數值不應套用到所有秩檢定設定。

確定性項的位置並非軟件中的裝飾選項。在常見參數化下，限制在共整合關係內的常數項，容許該均衡組合有非零平均值；不受限制而放在關係以外的常數項，則可能容許水平值出現不同的確定性漂移。趨勢限制亦會改變模型所維持的長期路徑。只寫「包括常數項」並不足夠，應交代常數項的位置和每項限制。

核心估計對象是共整合空間。在秩為 1 的模型中，將 \(\beta\) 向量乘以任何非零常數，不會改變哪個水平組合是平穩的。因此分析者會選擇一種標準化方式，例如將其中一個係數設為 1。在較高秩時，有多組基底可以張成同一空間；軟件列出的向量不會自動成為唯一的經濟關係。解讀特定向量需要額外理論或限制，亦應報告標準化方式。

調整矩陣 \(\alpha\) 反映擬合系統中哪些變數會對不平衡作出反應。它的正負號取決於所選標準化方式，而各項是系統條件下的係數，並非獨立的因果效應。負荷量很小或為零，可能令人考慮弱外生性假設，但結論須透過相應的正式限制檢定，並維持模型假設。單看共整合秩，無法知道哪個變數「領先」、哪個關係有經濟意義，或衝擊會如何影響未來價格。

這種非唯一性源自矩陣分解本身，並非顯示方式造成的問題。對非奇異矩陣 \(H\)，\(\beta H\) 和 \(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) 會產生相同的長期矩陣 \(\Pi\)。因此，即使估計出的空間可以識別，軟件顯示的個別向量仍未必唯一。若要選定某個向量作可交易差價，須有明確的標準化方式或經濟限制；其單位和風險亦要另行分析。

通常由 0 開始，依序檢定候選秩，直到首次遇上未能拒絕的虛無假設。選出的秩是在所選顯著性水平和規格下的模型選擇。若跡檢定和最大特徵值檢定結果不同，應同時報告並調查滯後階數、確定性項、檢定力不足、結構轉變和樣本敏感度，不要隱藏分歧。

概似比臨界值屬非標準分布，並視乎系統規格而定。接近單根的動態、短樣本、離群值、制度轉變、\(I(2)\) 變數或外生整合變數，都可能令簡單的 \(I(1)\) 設定不合適。標準秩表不會自動涵蓋這些情況。Johansen 的早期研究在高斯 VAR 假設下發展概似推論；後來的反應曲面計算則為指定檢定設定提供參考分布，並非涵蓋所有資料問題。

例如，若跡檢定拒絕 \(r=0\) 和 \(r=1\)，但不拒絕 \(r=2\)，一般的順序檢定會在該規格和顯著性水平下選擇秩 2。這不代表真實秩為 2 的機率等於 1。最大特徵值檢定比較相鄰秩的虛無假設，因此也應報告其判斷。不可將一種檢定的臨界值套用於另一個統計量。

所選秩亦取決於樣本期間。經濟關係、市場結構或變數定義若有變化，樣本前期和後期的估計可能不同。敏感度分析可揭示這種不穩定，但嘗試多個終止時點會帶來另一個多重檢定問題。請說明哪些時段是預先設定的，並將事後切分視為探索性證據。

在交易研究中，估計的 \(\beta\) 向量可以作為構造差價的候選方式，但秩本身不會提供入場或離場水平、持倉大小或預期回報。若有多個共整合向量，選擇其中一個組合可能涉及標準化、限制和資料篩選。即使估計到統計關係，權重仍可能代表沽空、槓桿或流動性不足。

只用每個決策日期可取得的資料估計系統，並按時間次序驗證完整的篩選和重新估計流程。檢查關係在樣本外是否穩定，並按需要納入股息、合約轉倉、貨幣換算、融資、借券可用性、買賣差價、市場衝擊和執行時間。拒絕某個秩的虛無假設，是有關指定模型的證據，並非盈利主張。[Engle–Granger 檢定與誤差修正](/zh-HK/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)介紹單方程替代方法；[配對交易中的共整合與相關性](/zh-HK/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)解釋相關性為何不是同一種性質。

列明 \(k\) 個變數、轉換方法、觀測頻率、樣本日期和積分階數的證據。報告水平 VAR 滯後階數、確定性項位置、有效樣本數、跡與最大特徵值統計量、相符的臨界值或 p 值、顯著性水平和順序秩判定。說明兩種檢定是否一致、後續採用哪個秩，以及敏感度檢查有否改變結果。

展示向量時，提供標準化、限制和對應的調整負荷量。若用於交易，亦要披露每次再平衡時可用的資料、向量選擇規則、樣本外設計、成本和失敗處理。Johansen 的1988 年共整合向量分析90041-3)發展共整合空間和秩的概似方法。1991 年高斯 VAR 研究討論秩推論和向量假設。MacKinnon、Haug 和 Michelis 提供共整合概似比檢定的反應曲面分布。相關指南介紹[平穩性與單根](/zh-HK/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)。