特徵值、特徵向量與金融風險因子

矩陣通常改變長度與方向，特徵向量變換後仍在同一直線上。

特徵值說明伸縮倍數；負值還會反向，但協方差特徵值不會為負。

向量長度任意，通常歸一化為一；向量與負向量代表同一軸。

對角元素是各資產方差，非對角元素是兩兩協方差。

矩陣對稱且半正定，因此可有實特徵值與正交特徵向量。

樣本協方差由觀測估計，其特徵值與向量也帶抽樣誤差。

收益投影到單位特徵向量後，投影收益方差等於對應特徵值。

全部特徵值之和等於矩陣跡，也就是各變量方差之和。

單個值除以總和得到解釋方差比例，可據此排序擬合風險方向。

譜分解把協方差寫成由特徵值加權的特徵向量方向之和。

軸之間不相關，組合方差可分成軸暴露平方乘對應特徵值。

這只是坐標變換，不相關軸不能證明經濟衝擊獨立。

特徵值接近時，數據微小變化也會讓對應向量大幅旋轉。

數值相同時，共享子空間內任何正交基都產生同一協方差。

符號對齊、夾角、子空間距離與bootstrap可評估穩定性。

第一值佔比大說明許多資產共享方向，有效分散低於名義持倉數。

有效維度概括方差是否均勻分布，同樣資產數也可有不同維度。

壓力期相關與第一軸佔比可能上升，平靜期估計會誇大危機分散。

PCA載荷是協方差或相關矩陣的特徵向量，解釋方差來自特徵值。

少數大值支持近似因子結構，卻不能單獨確定經濟來源。

因子模型明確共同結構與殘差，特徵分解描述幾何，假設並不相同。

報告收益定義、頻率、窗口、缺失、異常、標準化與協方差估計法。

展示完整特徵值譜、累計比例、主要向量與符號規則。

比較滾動窗口、收縮協方差與樣本外風險預測，圖表不能消除誤差。