ADF 與 Phillips–Perron：單位根檢定有何不同

在自迴歸水平方程式中，單位根代表衝擊未必會從序列水平消退。將一階差分寫成對滯後水平的迴歸，就可以直接看到這個假設：若滯後水平的係數為零，在指定模型下，水平過程的根便是 1。負係數表示證據傾向平穩的對立假設，但仍要依賴維持假設及確定性項設定成立。

因此，在常見的 ADF 和 PP 實作中，虛無假設不是「序列平穩」。虛無假設是存在單位根；對立假設則是序列圍繞所選確定性成分平穩。統計量未夠負而未能拒絕虛無假設，並不代表已證明序列有單位根。樣本可能只是資訊不足，無法區分單位根與自迴歸根接近 1、持續性很高的平穩過程。

這與以平穩性為虛無假設的 KPSS 檢定不同，亦與直接檢定共整合不同。平穩性與單位根指南介紹更廣泛的問題；Engle–Granger 指南討論非平穩序列的某個線性組合可能平穩這個特別情況。

單位根迴歸可以不含確定性項、只含常數，或同時含常數和線性時間趨勢。這些並非無關痛癢的選項。常數容許單位根虛無假設下有漂移，也容許平穩對立假設下平均值不為零；時間趨勢則讓平穩對立假設圍繞確定性趨勢波動。所選設定會改變模型和虛無假設下的非標準分佈。

加入不必要的趨勢會增加估計參數，可能降低檢定力。漏掉真實的漂移或趨勢則可能扭曲檢定大小及解讀。應按數據生成問題和序列圖選擇設定、清楚交代，並採用相配的臨界值。不要事後挑選最容易得出預期拒絕結論的選項。

同一原則適用於對數價格、價差、利率或回報。對價格水平合理的正趨勢，套用於回報可能毫無意義。檢定不能替你決定研究對象的經濟含義。確定性成分屬於假設的一部分，不應在估計後當作可隱藏的前處理細節。

增廣 Dickey–Fuller 迴歸可寫成：

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

其中 dₜ 包含所選的確定性項，而虛無假設為 H₀: γ = 0。加入差分滯後項的目的，是令剩餘擾動有足夠合適的行為，以使用檢定近似。這些項在迴歸內以參數方式刻畫短期動態，並非額外的單位根限制。

滯後階數 p 相當重要。滯後太少可能令 εₜ 留有序列相關，削弱預期的近似；滯後太多則消耗自由度，樣本較短時尤其會降低檢定力。Harris（1992）90022-Q) 的蒙地卡羅研究探討 ADF 滯後結構、檢定大小和檢定力的實際選擇。可先說明最大滯後，將合理的資訊準則與殘差診斷比較，並交代相近滯後選擇會否改變結論。選出的滯後較小，不代表殘差依賴可以忽略。

某些過程的滯後選擇本身亦不容易。Ng 和 Perron 指出，當誤差的移動平均根接近 −1 時，在他們研究的設定中，傳統 AIC 或 BIC 可能選出過少的增廣滯後；他們修訂的資訊準則是為採用 GLS 去趨勢的單位根程序及相關檢定而設。這是針對特定動態的提醒，不是說某個準則或較長滯後必然勝出。

Phillips–Perron 檢定由 Dickey–Fuller 式迴歸開始，但沒有 ADF 的差分滯後項總和：

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

之後，它利用短期變異數及長期共變異數估計修正檢定統計量。常見的長期變異數估計形式為：

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

其中 γ̂ⱼ 是殘差自共變異數，K 是核心函數權重，ℓ 是帶寬或截斷階數。具體定義視乎 PP 統計量和軟件慣例。概念上的分別一致：ADF 在迴歸中加入差分滯後項；PP 則對較短迴歸所得的統計量作非參數依賴修正。

PP 並非簡單的「採用穩健標準誤的 ADF」。PP 修正會改變單位根統計量及其漸近處理方式；一般異方差穩健迴歸輸出，不會令普通 t 臨界值變得有效。帶寬和核心函數決定修正涵蓋多少依賴性。帶寬太小可能漏掉重要相關性；太寬則可能令長期變異數估計更嘈雜。

<!-- learn:illustration -->

在單位根虛無假設下，滯後水平是由隨機趨勢生成，而不是平穩的迴歸變數。因此，DF 系列統計量的極限分佈並非標準分佈。即使樣本很大，普通 t 表也不是參考分佈。臨界值取決於迴歸沒有常數、含常數，還是同時含常數和趨勢，也取決於統計量及具體實作。

PP 統計量會作轉換以考慮依賴性，但單位根虛無假設仍須按相應的非標準參考分佈評估。應採用與確定性項及統計量配合的可靠實作所給臨界值或 p 值。不要將某一設定的 ADF 統計量與另一設定的 PP 臨界值比較，亦不要把輸出的係數 t 比率當作普通 Student t 統計量來判斷拒絕。

漸近校準不保證每個有限樣本都有良好表現。Schwert 的蒙地卡羅研究指出，單位根程序會受模型錯配影響，不同方法的有限樣本行為亦各有差異。解讀 p 值時，要一併考慮樣本長度、數據生成特徵、滯後或帶寬，以及迴歸設定。

「檢定大小」是正確的單位根虛無假設被拒絕的機率；「檢定力」是在指定平穩對立假設下拒絕虛無假設的機率。若實際依賴結構下檢定大小失準，即使某個樣本結果看似明確，也可能造成錯判。ADF 滯後階數和 PP 長期變異數修正以不同近似處理相關的依賴問題，所以一種方法的結果不會自動證明另一種穩健。

使用 ADF 時，檢查加入滯後後殘差是否仍有序列相關，以及稍微增加滯後會否實質改變推論。使用 PP 時，報告核心函數和帶寬規則，並檢查合理的替代設定。這些是敏感度檢查，不是搜尋大量設定後只保留最有利 p 值的許可。Ng–Perron 的結果亦提醒，滯後選擇會與擾動過程和確定性去趨勢互相影響；機械套用單一資訊準則未必足以處理所有設計。

面對高度持續但平穩的對立假設，兩種檢定都可能檢定力偏低。未能拒絕並非必須取差分的正面證據。如果樣本短、過程接近單位根，或結論對模型選擇很關鍵，應考慮假設清楚的補充證據和其他程序，而非把 ADF 與 PP 當成互相獨立的投票。

水平轉移、趨勢改變、政策制度轉換、匯率聯繫機制改變或市場結構轉變，都可能令過程看似極具持續性；但更合適的描述可能是圍繞變動中確定性路徑的多個平穩區段。Perron 對重大歷史斷點的分析說明，單位根結論可能取決於是否容許斷點。標準 ADF 和 PP 設定不會自動找出所有斷點。

應繪畫序列、記錄已知制度變化，並判斷可容許斷點的檢定或分段模型有否回答實際問題。看過同一份樣本後才搜尋斷點，也會影響推論；應使用臨界值配合搜尋程序的方法，或將分析視為探索性。Bai–Perron 指南介紹迴歸斷點估計；這是獨立程序，並非 ADF 或 PP 的直接替代修正。

變換同樣重要。價格水平、對數價格、價差和回報是經濟含義各異的變數。對類似單位根的水平取差分可能得到較穩定的序列；對原本平穩的水平取差分則可能丟失資訊，並引入不必要的噪音。配對研究中的共整合分析有助分辨各自的隨機趨勢與可能平穩的價差。以上診斷沒有一項能單獨證明策略有盈利能力。

假設一個虛構水平序列如下：

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

其中 μ 是固定漂移，εₜ 是有序列依賴的創新項。兩邊減去 yₜ₋₁，得到 Δyₜ = μ + εₜ，因此相應差分迴歸中 yₜ₋₁ 的係數 γ 為零。這就是單位根虛無假設的表示。這個代數步驟不會提供 p 值：推論參考分佈仍然非標準，並取決於如何處理確定性項及依賴性。

若採用 ADF，差分滯後項用來在迴歸中刻畫短期依賴。若採用 PP，基礎方程較短，統計量則使用估計的長期共變異數修正。若數據有斷裂的確定性趨勢，即使軟件輸出看似精確的統計量，兩種標準實作仍可能錯配。

比較包括三個不同層面：實質虛無假設、迴歸／確定性項設定，以及殘差依賴修正。固定首兩者後，ADF 和 PP 是有用的替代診斷；不斷改動三者直到某個檢定拒絕則不可取。結果不一致應促使你檢視假設和調校，而不是把勝出者當作自動決定模型的裁判。

請報告變數和變換、樣本日期、觀測頻率、確定性項、ADF 滯後規則及選定階數，或 PP 統計量、核心函數和帶寬。列出虛無和對立假設、統計量、相配臨界值或 p 值，以及殘差序列相關或斷點檢查。若結果對合理設定敏感，應如實交代，而非只呈現支持預期說法的設定。

實用流程是先界定目標和經濟模型，選定確定性項，執行設定合理的 ADF 或 PP，診斷序列依賴和可能斷點，再與補充證據比較。變異比檢定指南探討隨機漫步行為的另一項含義。它的虛無假設不同，不能取代單位根檢定。

ADF 和 PP 都不會因為 p 值跨過某個門檻便命令你取差分。差分是對序列及研究問題作出的建模決定：預測變動、估計長期關係、檢定交易價差或保留水平，可能需要不同選擇。檢定可以提供資訊，但最終變換仍應符合數據生成故事、穩定性、預測目標及任何共整合結構。