תנודתיות ממומשת בשני סולמות: אמידת שונות בנוכחות רעש מיקרו־מבני

שונות ממומשת מחושבת לעיתים קרובות כסכום של תשואות בריבוע. אילו הלוגריתמים של המחירים הנצפים היו עוקבים ללא שגיאה אחר המחיר היעיל, תצפיות תכופות יותר היו מאפשרות לתפוס את מסלול המחיר בפירוט רב יותר. בפועל, מחירי עסקאות וציטוטים מושפעים גם מתנודת bid–ask, מדיסקרטיות מחירים, מהשהיה ומגורמי מיקרו־מבנה נוספים. במרווחים קצרים מאוד, השפעות אלו עשויות להיות גדולות מתנועת המחיר היעיל בין שתי תצפיות.

לכן שונות ממומשת נאיבית יכולה לעלות ככל שתדירות התצפיות גדלה, גם אם השונות המשולבת הבסיסית לאורך יום המסחר לא השתנתה. אין בכך הוכחה שהתנודתיות הכלכלית של הנכס עלתה; ייתכן שהסיבה היא חיבור חוזר של הפרשי מחירים רועשים לאחר העלאה בריבוע. המדריך לחישוב תנודתיות ממומשת מסביר את סכום התשואות בריבוע. כאן מתמקדים במקור מסוים להטיה בנתוני תדירות גבוהה.

Zhang, Mykland ו־Aït-Sahalia הציעו TSRV כדי להשתמש בשתי רזולוציות למטרות שונות (המחקר המקורי על שני סולמות הזמן). רשת מרווחת מפחיתה את מספר השינויים המושפעים מרעש. ממוצע של כמה רשתות מרווחות עם נקודות התחלה מוזחות מפחית תלות בנקודת התחלה שרירותית אחת. הרשת הצפופה המלאה מספקת אומדן בקנה מידה מתאים של הטיית הרעש שיש לחסר. התוצאה תלויה בהנחות ובהחלטות במדגם סופי, ולכן זהו אומדן עם אי־ודאות, ולא תצפית נטולת רעש של המסלול החבוי.

נסמן ב־\(X_t\) את הלוגריתם החבוי של המחיר היעיל, ונניח שבחלון הנבדק הוא מתואר בתהליך רציף שקצב השונות המקומי שלו הוא \(\sigma_t^2\). המטרה היא השונות המשולבת שלו:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

נניח שהלוגריתם של המחיר שנרשם בזמן התצפית \(t_i\) הוא

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

כאשר \(\epsilon_{t_i}\) הוא רעש התצפית. הגזירה הקלאסית מניחה במודל הבסיס שרעש התצפית בעל תוחלת אפס, בלתי תלוי בין זמני תצפית ובלתי תלוי בתהליך המחיר היעיל, וששונותו קבועה ושווה ל־\(\omega^2\). היא גם מניחה רשת דגימה סדירה ומודל רציף מתאים למחיר היעיל בחלון. אלה הנחות מודל, ולא תיאור כללי של נתוני שוק.

השינוי הנצפה הוא \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). שגיאת תמחור בתצפית אחת נכנסת לשתי תשואות סמוכות בסימנים מנוגדים: שגיאה חיובית מעלה תשואה אחת ומורידה את הבאה אחריה. לכן תשואות המבוססות על מחירים רועשים אינן מתנהגות כמו שגיאות מדידה בלתי תלויות. המדריך לשונות ריבועית במימון מסביר מדוע סכומי שינויים בריבוע מכוונים למדידת שונות המסלול כאשר אין רעש.

כאן אומדים שונות לאורך חלון זמן מוגדר. זו אינה אמידה של מרווח bid–ask, תחזית או עלות ביצוע בפועל. לשאלה אחרת על מחירי עסקאות ראו אומדן Roll למרווח bid–ask. חשוב להגדיר את הכמות המבוקשת, משום ששיטות מיקרו־מבנה שונות משתמשות במחירים בתדירות גבוהה אך אומדות גדלים אחרים.

אם ברשת הצפופה יש \(n\) תשואות, נגדיר את השונות הממומשת המלאה כך:

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

במודל הבסיס, רכיב הרעש בתשואה נצפית הוא \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), ושונותו היא \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). כאשר מתעלמים מאיברי הצטלבות שתוחלתם אפס תחת הנחות אי־התלות, התוחלת של הסכום ברשת הצפופה היא בקירוב

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

האיבר הראשון הוא השונות המשולבת המבוקשת. השני צובר תרומת רעש אחת לכל תשואה צפופה. ככל שמרווח הדגימה מתקצר ו־\(n\) גדל, רכיב הרעש עשוי לשלוט. לכן כלל שלפיו יש לדגום בתדירות גבוהה ככל האפשר אינו בטוח כאשר מתעלמים מרעש מדידה. Aït-Sahalia, Mykland ו־Zhang ניתחו את בעיית תדירות הדגימה האופטימלית הסופית בנוכחות רעש מיקרו־מבני.

הקירוב מתאר תוחלת במסגרת מודל. במדגם מסוים קיימים גם איברי הצטלבות אקראיים בין שינויים במחיר היעיל לבין הרעש, ולכן הערך הממומש אינו חייב להיות שווה לתוחלת. אם שונות הרעש משתנה במהלך היום, אם השגיאות תלויות לאורך זמן או אם הדגימה אינה סדירה, הביטוי הפשוט \(2n\omega^2\) עשוי שלא לתאר את ההטיה. במצב כזה נוסחה מוכרת עלולה להניב מספר מדויק למראה שמתקן את הרכיב הלא נכון.

בחרו מרווח שלם \(K>1\). לכל היסט \(k=0,\ldots,K-1\), חשבו שונות ממומשת ברשת מרווחת על ידי שימוש בכל מחיר נצפה \(K\):

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

כל שינוי ברשת המרווחת מכסה פרק זמן ארוך יותר, אך הרשת עדיין מכסה בקירוב את אותו חלון תצפית. חשבו ממוצע על פני ההיסטים הזמינים:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

להיסטים יש חשיבות. רשת מרווחת יחידה יכולה להתחיל ממש לפני או אחרי תנועה גדולה, ואז התוצאה תהיה רגישה לבחירה הזאת. ממוצע הרשתות המוזחות מפחית תלות בנקודת ההתחלה. עם זאת, הוא אינו יוצר \(K\) מערכי נתונים בלתי תלויים: הרשתות משתמשות שוב באותן תצפיות ולכן הן תלויות סטטיסטית.

ברעש תצפית בלתי תלוי ושווה־שונות, לשינוי בין ערכי הרעש בקצותיו של שינוי מרווח עדיין יש שונות \(2\omega^2\), מפני שמדובר בתצפיות שונות. אבל מספר התשואות המרוחקות קטן ממספר התשואות הצפופות, ולכן ממוצע האומדנים המרוחקים צובר פחות הטיית רעש. תרומת האות נשארת בקירוב השונות המשולבת, משום שהשינויים המרוחקים מכסים את החלון ולא רק חלק ממנו.

האיור המלווה את המאמר הוא רעיוני: הוא משווה מסלול נצפה משונן לכמה מסלולי דגימה מרווחים ומוזחים סביב מסלול חבוי וחלק יותר. אין בו נתוני שוק או תוצאת אומדן בפועל. לאומדנים המשתמשים בשערי גבוה ונמוך במקום בבנייה זו, ראו המדריך לאומדני תנודתיות המבוססים על טווחי OHLC.

<!-- learn:illustration -->

נסמן ב־\(\bar n\) את מספר התשואות המרוחקות הממוצע על פני הרשתות המוזחות, ונגדיר \(\lambda=\bar n/n\). במודל הבסיס, הטיית הרעש הממוצעת ברשת המרוחקת היא בקירוב \(2\bar n\omega^2\). הטיית הרעש ברשת הצפופה היא בקירוב \(2n\omega^2\); לכן \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) תורם בקירוב \(2\bar n\omega^2\). החיסור מבטל את רכיב הרעש המוביל:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

ההפרש הגולמי מחסר גם חלק \(\lambda\) מאות השונות המשולבת, משום ששני איברי השונות הממומשת כוללים אות. לכן נהוג להחיל נרמול למדגם סופי:

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

המכנה משיב את מקדם האות בחישוב התוחלת הפשוט. מוסכמות וטיפול בנקודות קצה משתנים בין מימושים; תעדו את הגדרת \(n\), את קבוצת ההיסטים ואת אופן חישוב \(\bar n\). התיקון אינו מסיר אי־ודאות מדגמית ואינו מתקן מודל רעש שגוי. במסגרת האסימפטוטית הקלאסית \(\lambda\) נעשה קטן ככל שהמדגם גדל, אך הגורם עדיין עשוי להיות חשוב בחלון קצר.

האומדן עשוי להיות שלילי כאשר \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). אין פירוש הדבר ששונות פיזית שלילית, אלא שחיסור הרעש במדגם הסופי עלה על אומדן הרשת המרוחקת. החלפת הערך באפס לתצוגה מאוחרת משנה את האומד ומוסיפה כלל חיתוך. שמרו את הערך הגולמי במהלך הניתוח, בדקו את הסולמות וההנחות וציינו כל חיתוך שנעשה בהמשך.

נניח ששבע תצפיות היפותטיות של לוגריתם המחיר יוצרות שש תשואות צפופות בנקודות בסיס: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. זו סדרה קטנה שנועדה להמחיש את החשבון בלבד, ולא נתוני בורסה. השונות הממומשת של הרשת הצפופה היא

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

בחרו \(K=2\). ההיסט הראשון מאגד תשואות צפופות שכנות לתשואות מרוחקות \([2,-2,2]\) bp, שסכום ריבועיהן הוא \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). ההיסט המוזז מפיק \([0,0]\) bp וסכום ריבועים אפס. לכן ממוצע אומדני שתי הרשתות הוא \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

עם שש תשואות צפופות ושני היסטים, המספר הממוצע של תשואות מרוחקות הוא \(\bar n=(3+2)/2=2.5\). לכן \(\lambda=2.5/6=5/12\), ומתקבל

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

אומדן השונות הוא \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\) ביחידות של תשואה עשרונית בריבוע. השורש הריבועי הוא כ־\(2.45\) נקודות בסיס בחלון ההיפותטי הזה, והוא אינו שנתי. העובדה שבסדרה הקטנה שנבנתה כאן TSRV שווה מספרית ל־RV הצפוף אינה זהות כללית. במסלולים אחרים האומדן יכול להיות גבוה יותר, נמוך יותר או אפילו שלילי.

החישוב ממחיש גם את מגבלת המודל: המסלול החבוי והרעש אינם נצפים בנפרד, ולכן המדגם הזה אינו מוכיח ש־\(6\,\mathrm{bp}^2\) היא השונות המשולבת בפועל. אפשר לבדוק סכומים, קנה מידה ויחידות, אך אי אפשר להסיק מן הדוגמה את הפירוק החבוי. הספרות המחקרית עוסקת גם בשיטות אחרות לתיקון רעש בתדירות גבוהה, כגון realized kernels; גם להן הנחות ובחירות מימוש משלהן.

\(K\) קובע את האיזון בין מספר התשואות המרוחקות, המיצוע ותיקון הרעש. אם \(K\) קטן מדי, נשארים הרבה שינויים קצרים והאומדן עשוי להישאר רגיש לרעש. אם הוא גדול מדי, נשארות מעט תשואות גסות, והאומדן נעשה לא יציב וחשוף יותר להשפעות של חלון סופי. ממוצע היסטים מסייע ביישור הרשת אך אינו יוצר מידע שאינו קיים במדגם קצר או באיכות ירודה.

בניתוח האסימפטוטי המקורי, המרווח המרוחק המועדף גדל עם גודל המדגם; לפי הסימון ותנאי הבסיס באותו מאמר סדר הגודל הוא \(n^{2/3}\) (הניתוח המקורי). זוהי תוצאת קנה מידה תאורטית, לא הנחיה כללית לבחור מספר מסוים של שניות או תצפיות. האופטימום תלוי ביחס בין רעש לאות ובהנחות; עבודות מאוחרות ומימושים מעשיים עשויים להשתמש בכללי כוונון ובמוסכמות קצה אחרים. תעדו את מרווח הדגימה, \(K\), ההיסטים, גבולות המושב ונרמול המדגם הסופי כדי שאפשר יהיה לשחזר את האומדן.

ניתוח מבוסס יכול להשוות קבוצה שנקבעה מראש של ערכי \(K\) סבירים ולהציג את הרגישות, במקום לבחור לאחר מעשה את ההגדרה שנותנת תוצאה מושכת. אם האומדנים משתנים מהותית, גם חוסר היציבות הוא חלק מהממצא. בחרו את הסולם לפי תכנון הנתונים וכלל מתועד, לא לאחר שראיתם איזו תנודתיות רצויה. אפשר להשוות לשונות ממומשת בתדירות נמוכה יותר או לחלופה עמידה לרעש, אך יש לתייג כל מדד בנפרד.

התיקון הקלאסי נגזר למבנה רעש מסוים. תנודת bid–ask ואפקטים אחרים של מיקרו־מבנה יכולים להיות תלויים לאורך זמן, להשתנות במהלך יום המסחר, להיות תלויים בנזילות או להיות מתואמים עם שינויי המחיר היעיל. Hansen ו־Lunde מתעדים במחקרם על שונות ממומשת אינטראקציות הכוללות תלות בזמן ומתאם עם שינויי המחיר היעיל (המחקר שלהם). בהמשך פיתחו Aït-Sahalia, Mykland ו־Zhang שיטות דו־סולמיות לרעש מיקרו־מבני תלוי. ההרחבה היא סיבה להבחין בין אומד מתוקן לבין נוסחת הרעש העצמאי המקורית, ולא להניח שהנוסחה המקורית מטפלת בכל תלות.

בעיות מעשיות נוספות כוללות זמני תצפית לא סדירים, נכסים שאינם מסונכרנים, ציטוטים מיושנים, דיסקרטיות מחירים, קפיצות, עסקאות שגויות, השפעות פתיחה וסגירה ותצפיות חסרות. הן יכולות לשנות הן את התיקון ברשת הצפופה והן את התשואות ברשתות המרוחקות. בהתאם לשאלת המחקר, קפיצות עשויות להיות חלק מן השונות הריבועית הממוקדת או לדרוש הפרדה; TSRV לבדו אינו קובע את בחירת המודל. גם סינון תצפיות משנה את הרשת ויש לתעדו.

עמידות לרעש אינה חסינות מכל בעיות הנתונים. לפני שמפרשים אומדן כמדד לשונות חבויה, הגדירו אם הקלט הוא מחיר עסקה, ציטוט או מחיר אמצע; ציינו את טרנספורמציית התשואה ואת שעון הדגימה; בדקו אם המרווחים שווים; תעדו ניקוי נתונים וכללי סשן ורגישות ל־\(K\). אם תהליך הרעש מפר את הנחות הבסיס, השתמשו בשיטה שנועדה למצב הזה והסבירו את הנחותיה. אל תתארו אומדן שלילי כתנודתיות שלילית ואל תהפכו אותו בשקט לחיובי.

דיווח שקוף מציין את חלון היעד, סדרת המחירים, מרווח הדגימה, מספר התשואות הצפופות, המרווח \(K\), קבוצת ההיסטים, כלל נקודות הקצה, הנחות הרעש, הנרמול, היחידות וכל חיתוך. אפשר להציג יחד את ההפרש הגולמי ואת האומדן המנורמל, ולצדם טווח רגישות עבור סולמות שנקבעו מראש. כך אפשר לבדוק את החישוב ולמנוע בלבול בין אומדן שונות לבין ציטוט מחיר, תחזית עתידית או ראיה לכלל מסחר רווחי.

שונות משולבת נמדדת בחלון שנצפה. המרה לשנתי מחייבת מוסכמת זמן מפורשת ואסור לה להסתיר דפוסים תוך־יומיים, שעות לילה או הפסקות מסחר. הוצאת שורש מציגה יחידות של תנודתיות עבור החלון הזה, אך אינה יוצרת אופק חיזוי. מדד היסטורי ממומש יכול לשמש קלט למודל, אולם יש להעריך ביצועי חיזוי בנפרד, על נתונים שלא שימשו לבחירת הגדרות האומד.

התרומה של TSRV היא מתודולוגית: תחת מודל מפורש של רעש תוספי, הוא משתמש בשני סולמות דגימה כדי להפחית את הטיית הרעש המובילה שהופכת שונות ממומשת נאיבית בתדירות גבוהה לבלתי עקבית. הוא אינו מזהה את מקורו של כל שינוי מחיר, אינו מבטל סיכון מודל ואינו אומר מה תהיה התנודתיות הבאה. הציגו את הגבולות הללו לצד המספר.