הווריאציה הריבועית בפיננסים: הסבר

עבור חלוקה π של [0,t], צרו Q_π(X) = Σ(X_{t_i} - X_{t_{i-1}})² ועדנו את הרשת כך שהמרווח שלה ישאף לאפס

כאשר הסכומים האלה מתכנסים במובן ההסתברותי הרלוונטי, הגבול שלהם הוא הווריאציה הריבועית [X]_t

זהו מושג של הצטברות לאורך מסלול, ולא אותו אובייקט כמו השונות הסטטיסטית של X_t בין תוצאות חוזרות

למסלול רציף בעל וריאציה כוללת סופית יש וריאציה ריבועית אפס, משום שריבועי השינויים הקטנים שלו נעלמים מהר יותר מסכום הערכים המוחלטים שלהם

לכן עקומות מחיר רגילות וגזירות אינן יוצרות תיקון מסדר שני בכלללי שרשרת קלאסיים

הווריאציה הריבועית מבודדת את החספוס שנשאר גלוי לאחר שתנועות מסדר ראשון נעשות קטנות בפני עצמן

לתנועה בראונית סטנדרטית יש וריאציה כוללת אינסופית בכל קטע לא־טריוויאלי, אך היא מקיימת [W]_t = t

באופן היוריסטי, בערך 1/Δt שינויים, שכל אחד מהם בגודל ריבועי קרוב ל-Δt, מצטברים לסכום מסדר אחד

זהו משפט על גבול, ולא טענה אלגברית נקודתית שלפיה dW/dt קיים או שכל שינוי בריבוע שווה ל-dt

הקווריאציה הריבועית [X,Y] מחברת מכפלות ΔX·ΔY על פני חלוקות עדינות

נוסחת הפולריזציה נותנת [X,Y] = 1/2([X+Y] - [X] - [Y]), ומקשרת וריאציה משותפת לווריאציות הריבועיות האישיות

עבור מנועים בראוניים מתואמים, הקווריאציה נושאת את התלות המיידית אל נוסחאות איטו של תיקים ומערכות מרובות משתנים

עבור dX_t = μ_t dt + σ_t dW_t, הווריאציה הריבועית הרציפה היא [X]_t = ∫_0^t σ_s² ds

פיתוח טיילור משאיר 1/2 f''(X_t)d[X]_t, משום ששינויים סטוכסטיים בריבוע מצטברים במקום להיעלם

תיקון זה מניע משוואות תמחור של דיפוזיה ומבדיל חשבון סטוכסטי מחשבון דיפרנציאלי רגיל

עבור סמימרטינגל עם קפיצות, הווריאציה הריבועית כוללת את הווריאציה של המרטינגל הרציף בתוספת Σ_{s≤t}(ΔX_s)²

לכן קפיצה גדולה יכולה לשלוט בתנועה הריבועית הממומשת של יום, גם כאשר התנודתיות הרציפה הייתה מתונה

הפרידו בין וריאציה רציפה, קפיצות וסחף בעל וריאציה סופית כאשר השאלה הכלכלית תלויה במקורות השונים שלהם

שונות ממומשת בתדירות גבוהה מחברת את תשואות התוך־יומיות שנצפו בריבוע כדי לקרב את הווריאציה הריבועית החבויה

דגימה דלילה מדי מפספסת תנועה, ואילו דגימה עדינה מדי מגבירה קפיצות ביד-אסק, בדידות מחירים, ציטוטים לא מסונכרנים וטיקים שגויים

השוו רשתות דגימה, נקו קפיצות במפורש, יישרו שעות מסחר והבדילו בין הגדרת תשואה לפני שאתם מפרשים את האומד כתנודתיות