איזומטריית Itô לאינטגרלים סטוכסטיים: הסבר

עבור תהליך H שניתן לחיזוי, הזהות המרכזית היא E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]

לאינטגרל יש תוחלת מותנית אפס כאשר ההנחות מתקיימות, ולכן שני הצדדים מתארים גם את השונות שלו

זה אינו כלל לכפל דיפרנציאלים. זוהי זהות L² המוגדרת באמצעות גבולות של קירובים פשוטים בזמן המסחר

נניח ש־H שווה ל־2 מהזמן 0 עד 0.25 ולאחר מכן אפס. אז האינטגרל הוא 2(W_0.25 - W_0)

השונות שלו היא 4 × 0.25 = 1, בדיוק כמו אינטגרל הזמן של H²

עבור כמה מרווחים שאינם חופפים, תוספות בראוניות בלתי־תלויות גורמות לאיברים הצולבים להתאפס בתוחלת. הגבול משמר את החשבונאות הזו עבור H קביל

בגידור דיפוזיוני, חשיפה שיורית H_t לזעזוע בראוני מצטברת כ־∫ H_t dW_t

איזומטריית Itô אומרת ששגיאת הגידור הממוצעת בריבוע במודל תלויה בכל מסלול החשיפה, לא רק בדלתא הסופית או בתנודתיות ממוצעת אחת

לשני גידורים יכולה להיות אותה שגיאה סופית במסלול ממומש אחד אך שגיאות ריבועיות צפויות שונות מאוד, מפני שהחשיפה התוך־יומית שלהם שונה

תוספות מונטה־קרלו מקבלות בדרך כלל את הצורה H_t√Δt Z, כאשר ל־Z תוחלת אפס ושונות אחת

השונות המותנית שלהן היא H_t²Δt. סכימת האיברים האלה היא המקבילה הבדידה של האיזומטריה

אם סימולציה משנה את רשת הזמנים, השוו את תקציב H² המשולב ואת שגיאת הדגימה במקום להניח שמספר מסלולים גדול יותר לבדו מאמת תוצאת גידור

עם כמה מניעים בראוניים, השונות כוללת את מטריצת השונות־שותפות ואת איברי החשיפה הצולבת

סיכון קפיצות, איזון מחדש בדיד, עלויות עסקה, ציטוטים מיושנים ושגיאת פרמטרים אינם נמחקים על ידי הזהות. הם דורשים איברי מודל או תרחישי לחץ משלהם

המשפט בודק רכיב דיפוזיוני בעל ריבוע אינטגרבילי. הוא אינו חוזה רווח, אינו מבסס שלמות שוק ואינו הופך כלל מסחר לבטוח