הלמה של Itô בתמחור אופציות: הסבר
למדו מדוע פונקציות סטוכסטיות זקוקות לאיבר נוסף מסדר שני, כיצד הלמה של Itô מרחיבה את ערך האופציה, וכיצד גידור דלתא מוביל למשוואת תמחור
תשובה ישירה
הלמה של Itô היא כלל השרשרת עבור תהליך סטוכסטי. תוספת בראונית היא מסדר גודל √dt, ולכן הריבוע שלה תורם מסדר גודל dt. הנגזרת השנייה ששורדת מחברת בין גאמה של אופציה, תנודתיות והתפתחות בזמן
כללי שרשרת רגילים מפספסים שונות סטוכסטית
עבור מסלול דטרמיניסטי חלק x(t), השינוי ב־f(t, x) מתואר מקומית על ידי נגזרת הזמן שלו והנגזרת הראשונה ביחס ל־x
מסלול דיפוזיוני רציף אך אינו גזיר באופן חלק בשום מקום במובן הרגיל. התוספת האקראית שלו במרווח קצר ניתנת לסקלה כמו שורש הזמן
הסקלה הזו הופכת איבר טיילור מסדר שני לגדול כמו איבר זמן רגיל. השמטתו מסירה את ההשפעה שמופיעה מאוחר יותר כגאמה בתמחור אופציות
שונות ריבועית שומרת על האיבר מסדר שני
כתבו תוספת בראונית כ־dW. בחשבונאות Itô, dW² תורם dt, ואילו dt² ו־dt·dW נעלמים בסדר הרלוונטי
זהו קיצור לגבול מסלולי: סכום הריבועים של התוספות הבראוניות מתכנס לזמן שחלף ככל שהחלוקה נעשית עדינה יותר
אין זו אלגברה רגילה האומרת שכל זעזוע אקראי בריבוע שווה לזמן. הכלל שייך לאינטגרציה סטוכסטית ולמוסכמה הגבולית שלה
הלמה מרחיבה פונקציה של דיפוזיה
נניח dS = μSdt + σSdW ושערך אופציה הוא V(t, S). הלמה של Itô נותנת את השינוי הסטוכסטי המקומי שלה
הסחף הוא Vₜ + μS Vₛ + one-half σ²S²Vₛₛ. האיבר האקראי הוא σS VₛdW, כאשר הסימנים התחתיים מציינים נגזרות חלקיות
דלתא Vₛ מכפילה את הזעזוע מסדר ראשון, ואילו גאמה Vₛₛ נכנסת לסחף מסדר הזמן דרך השונות הריבועית
גאמה הופכת תנודתיות לשינוי מקומי צפוי
גם כאשר לזעזוע המחיר האקראי יש תוחלת מותנית אפס, קמירות גורמת לתנועות חיוביות ושליליות להשפיע באופן א־סימטרי על ערך האופציה
האיבר one-half σ²S²Gamma מודד את תרומת הקימור המקומית הזו. תנודתיות גבוהה יותר מגדילה את הקצב שבו תמורה קמורה צוברת ערך במודל
אין פירוש הדבר שגאמה ארוכה מרוויחה רווח מובטח. תטא, הפרמיה ששולמה, מסלולים ממומשים, קפיצות, שינויי הטיה ועלויות קובעים את ה־P&L בפועל
גידור דלתא מסיר את האיבר האקראי במודל
שלבו אופציה אחת עם מינוס הדלתא שלה בנכס הבסיס. תחת הנחות הדיפוזיה, איברי dW מתבטלים מיידית
התיק המקומי שנותר חסר סיכון במודל, ולכן היעדר ארביטראז' דורש ממנו להרוויח את הריבית חסרת הסיכון לאחר טיפול עקבי בדיבידנד או בנשיאה
הצבה של תנאי זה מסירה את μ ומפיקה את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית של בלאק–שולס. שכפול, לא תחזית תשואה, קובע את יחס המחיר
הנוסחה מנחה גם מודלים רחבים יותר
עם כמה דיפוזיות מתואמות, ההרחבה כוללת נגזרות שניות צולבות המשוקללות לפי שונות־שותפות. האיברים האלה מחברים בין מתאם לקימור משותף
שינוי תהליך המצב משנה את הגנרטור ואת משוואת התמחור. מודלי תנודתיות מקומית, תנודתיות סטוכסטית וריבית משתמשים כולם בהרחבות Itô קשורות
עבור פונקציות שאינן חלקות מספיק, גבולות ושפיצים דורשים טיפול חלש, מוכלל או מספרי במקום גזירה אגבית
קפיצות וגידור אמיתי דורשים איברים נוספים
תהליך קפיצות אינו מתאים לכלל הבראוני הרציף לבדו. נוסחת השינוי שלו כוללת תרומות קפיצה לא־רציפות ולעיתים קרובות מובילה למשוואה אינטגרו־דיפרנציאלית
גידורים אמיתיים הם בדידים ויקרים, לכן ביטול איבר dW אינפיניטסימלי אינו מבטל סיכון פער, נזילות, פרמטר או ביצוע
השתמשו בלמה של Itô כדי להבין את מכניקת המודל, ואז הצהירו על התהליך, החלקות, המידה והנחות המסחר לפני פירוש מחיר או יווני
שאלות נפוצות
מדוע ללמה של Itô יש איבר נוסף?
תוספות בראוניות ניתנות לסקלה כמו √dt, ולכן הריבוע שלהן הוא מסדר dt ואיבר טיילור מסדר שני אינו נעלם
מה פירוש dW² = dt?
זה מסכם שונות ריבועית בגבול הסטוכסטי; אין זו שוויון נקודתי רגיל בין מספר אקראי לזמן
כיצד הלמה של Itô מובילה לבלאק–שולס?
היא מרחיבה את השינוי המקומי של האופציה, ולאחר מכן גידור דלתא מבטל את זעזוע הדיפוזיה והיעדר ארביטראז' קובע את התשואה שנותרה
האם הלמה של Itô חלה על קפיצות במחיר?
הגרסה הרציפה אינה מספיקה. מודלי קפיצות דורשים נוסחת שינוי מורחבת עם איברים לא־רציפים מפורשים
מקורות וקריאה נוספת
בדיקה מהירה
סיימת לקרוא? בדוק את עצמך ב־3 שאלות
שאלה 01
איזו אמירה מתאימה ביותר למדריך הזה — כללי שרשרת רגילים מפספסים שונות סטוכסטית?
בחר תשובה כדי לראות את ההסבר
מילון מונחי אופציות
The difference between a hedge portfolio and its target option value or P&L, caused by discrete rebalancing, jumps, model misspecification, costs, or liquidity.
קראו את המדריך המעמיקExtrinsic valueThe portion of premium above intrinsic value, reflecting remaining time, expected uncertainty, rates, dividends, and supply and demand.
קראו את המדריך המעמיקGammaAn estimate of how much delta may change for a small move in the underlying, all else equal; it often becomes more concentrated near expiration and near the money.
קראו את המדריך המעמיק