תנאי נוביקוב וקזמקי: הסבר

עבור מרטינגל מקומי רציף M, האקספוננט הסטוכסטי שלו הוא Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)

Z הוא מרטינגל מקומי חיובי ולכן סופר־מרטינגל, כך ש־E[Z_t] יכולה לרדת מתחת לערך ההתחלתי שלה, אחת

אם מסה אובדת, Z_T אינו יכול לשמש צפיפות הסתברות בלי לשנות את הבנייה המיועדת

צפיפות באופק סופי דורשת Z_T ≥ 0 ו־E[Z_T] = 1, כאשר תהליך הצפיפות נתון על ידי תוחלות מותנות

אינטגרביליות אחידה שולטת במשפחה לאורך האופק ותומכת בשינויי מידה עקביים בזמני עצירה

כתיבת ביטוי אקספוננציאלי אינה הוכחה שהוא מנרמל לאחת או מגדיר מידה שקולה

קריטריון Novikov נפוץ הוא E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞ עבור אופק סופי קבוע T

עבור M = ∫θ_s dW_s, הסוגר הוא ∫₀ᵀθ_s²ds, ולכן המבחן דורש אינטגרביליות אקספוננציאלית של שינוי הסחף המצטבר בריבוע

הקריטריון נוח משום שהוא משתמש בשונות ריבועית, אך הוא עשוי להיות חזק מן הנדרש

קריטריונים מסוג Kazamaki שולטים ב־exp(M/2), בדרך כלל באמצעות תנאי של סאב־מרטינגל או אינטגרביליות אחידה לאורך זמני עצירה

הם יכולים לבסס את תכונת המרטינגל האמיתי במקרים שבהם מומנט הסוגר האקספוננציאלי של Novikov אינסופי

הנוסחים המדויקים משתנים לפי האופק וגרסת המשפט, לכן יש לציין במפורש את הקריטריון ואת מוסכמת הסימן המצוטטים

שני התנאים הם מבחנים מספיקים, לא הגדרות ובדרך כלל גם לא תנאים הכרחיים

אם Novikov נכשל, Kazamaki, תנודתיות ממוצעת חסומה, חישובי תוחלת ישירים או טיעונים תלויי־מודל עדיין עשויים לעבוד

אם כל מבחן נוח נכשל, אי אפשר פשוט להניח מרטינגליות; התנהגות של מרטינגל מקומי ממש יכולה להישאר אפשרית

שינויי הסחף של Girsanov וצפיפויות ניטרליות לסיכון משתמשים לעיתים קרובות באקספוננט סטוכסטי הבנוי ממחיר הסיכון בשוק

אם הצפיפות היא מקומית־ממש ולא מרטינגל אמיתי, מידת התמחור המוצעת עלולה להיות פגומה או לא עקבית בין אופקים

הסוגיה מופיעה גם באומדי יחס נראות, בסינון, בדואליות של תועלת ובמודלים בעלי התנהגות דמוית בועה

תנאי התקף לכל T סופי אינו חייב לספק אינטגרביליות אחידה באופק אינסופי

לוקליזציה מוכיחה זהויות מקומיות, אך אינה מחזירה כשלעצמה את התוחלת החסרה כאשר נוטלים גבולות

אקספוננטים עם קפיצות דורשים תנאי חיוביות ואינטגרביליות המותאמים לקפיצות; אין להעתיק את נוסחת Novikov הרציפה ללא שינוי