מבחן KPSS לסטציונריות: השערת האפס, הסטטיסטי ורוחב הפס

מבחן Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin, המכונה בקיצור KPSS, הופך את השערת האפס של מבחני Dickey–Fuller מוכרים. השערת האפס שלו היא שהסדרה סטציונרית סביב האיברים הדטרמיניסטיים שהוגדרו במבחן. בניסוח המקורי, ההשערה החלופית מאפשרת רכיב של הליכה אקראית עם שונות חיובית של החדשנות.

הבחירה הזו משנה את אופן קריאת התוצאה. סטטיסטי KPSS גדול דיו הוא ראיה נגד השערת האפס שנבחרה — סטציונריות ברמה או סביב מגמה. סטטיסטי קטן פירושו שהמדגם לא סיפק די ראיות לדחיית ההשערה, תחת ההגדרות שנבחרו. הוא אינו מוכיח שהתהליך סטציונרי, שהתוחלת שלו תישאר יציבה לעד או שהמחיר יחזור לרמה שאפשר לסחור בה.

המדריך לסטציונריות ולשורש יחידה מציג את המושגים הקשורים. ההשוואה בין ADF ל־Phillips–Perron מסבירה שני מבחנים שמציבים שורש יחידה בהשערת האפס. אלה שאלות משלימות, ולא גרסאות חלופיות של אותו מבחן.

מבחן KPSS מתאר סדרה נצפית כך:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

כאן \(d_t\) הוא החלק הדטרמיניסטי, \(r_t\) הוא רכיב של הליכה אקראית, ו־\(\epsilon_t\) היא שגיאה סטציונרית. במבחן סטציונריות ברמה, \(d_t\) כולל קבוע. במבחן סטציונריות סביב מגמה, הוא כולל קבוע ומגמת זמן ליניארית.

השערת האפס קובעת ששונות החדשנות של ההליכה האקראית היא אפס: \(\sigma_u^2=0\). ללא ההליכה האקראית, הסדרה מתנודדת סביב הקבוע או המגמה הדטרמיניסטית שנבחרו. ההשערה החלופית מאפשרת \(\sigma_u^2>0\), ולכן זעזועים יכולים להצטבר למגמה סטוכסטית במקום לדעוך סביב המסלול שנקבע.

זהו מודל שהמבחן מניח, ולא טענה שכל חלופה חייבת להיות הליכה אקראית מספר לימוד. שברים מבניים, התמדה פרקציונלית, דינמיקה לא־ליניארית, שונות משתנה ואיברים דטרמיניסטיים שנבחרו באופן שגוי יכולים גם הם לגרום למודל הסטציונריות להתאים היטב למדגם. המבחן מצביע על מתח מול ההנחות שלו, אך אינו מזהה מודל חלופי יחיד.

תחילה רגרסו את התצפיות על האיברים הדטרמיניסטיים שנבחרו למבחן, וסמנו את השאריות ב־\(\hat e_t\). הסכומים החלקיים המצטברים שלהן הם:

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

סטטיסטי KPSS נכתב בדרך כלל כך:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

כאשר \(n\) הוא גודל המדגם ו־\(\hat{\omega}^{\,2}\) הוא אומדן של השונות ארוכת הטווח של השאריות. אם לשאריות יש אותו סימן לאורך זמן, \(S_t\) מתרחק מאפס. ריבוע הסכומים החלקיים נותן לסטיות מתמשכות תרומה גדולה יותר מאשר להחלפות סימן בודדות.

הסטטיסטי אינו שלילי. ככל שהסטיות המצטברות גדולות יותר ביחס לשונות ארוכת הטווח המשוערת, קשה יותר לקיים את השערת האפס של סטציונריות. המכנה חשוב: תלות סדרתית בשאריות משנה את היקף התנודות הצפוי של סכום חלקי, גם כשהתהליך הבסיסי סטציונרי.

גרסת הרמה שואלת אם הסדרה סטציונרית סביב קבוע. גרסת המגמה מסירה תחילה קבוע ומגמת זמן ליניארית, ואז בודקת אם הרכיב שנותר סטציונרי. מימושים נפוצים מכנים את המקרים mu ו־tau, אך השמות ואופן הצגת הפלט תלויים בתוכנה.

הבחירה משנה גם את השאריות וגם את התפלגות הייחוס. השמטת מגמה דטרמיניסטית מסדרה שסטציונרית סביב מגמה יכולה להשאיר בשאריות דפוס ארוך ולהגדיל את הסטטיסטי. הוספת מגמה ללא סיבה משנה את המודל שנבדק ועלולה להפחית את יכולת המבחן לזהות חלופות מסוימות. החליטו לפי הגדרת הנתונים והשאלה הכלכלית ודווחו על הבחירה, במקום לשנות אותה עד שמתקבלת תוצאה נוחה.

הערכים הקריטיים של KPSS מבוססים על התפלגויות אסימפטוטיות לא־סטנדרטיות, השונות בין מקרה הרמה למקרה המגמה. אל תשוו את הסטטיסטי לסף רגיל של t או כי־בריבוע, ואל תניחו שסף אחד שזוכרים מתאים לכל מפרט דטרמיניסטי. השתמשו בטבלה או בפלט התוכנה המתאימים וציינו את רמת המובהקות.

חלק מהמימושים מציגים רק טווח של ערך p, משום שהם משווים את הסטטיסטי לטבלה סופית של ערכים קריטיים. במקרה כזה דווחו על הטווח שהפלט תומך בו, במקום להמציא ספרות עשרוניות נוספות. ציינו אם השתמשתם במקרה הרמה או המגמה ומהו מקור הערכים הקריטיים, כדי שאחרים יוכלו לשחזר את ההחלטה.

<!-- learn:illustration -->

אומדן נפוץ של שונות ארוכת טווח משתמש באוטוקווריאנסים משוקללים של השאריות:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

כאן, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) היא האוטוקווריאנס המדגמי בפיגור \(j\), עם מכנה \(n\); מוסכמות בחישובי מדגם סופי עשויות להשתנות בין מימושים.

במשקולות Bartlett מתקיים \(w_j=1-j/(\ell+1)\). רוחב הפס של החיתוך, \(\ell\), קובע כמה אוטוקווריאנסים של השאריות נכללים וכמה מהר המשקולות שלהם דועכות. מימושים עשויים להשתמש בגרעינים, בכללי בחירת רוחב פס ובמוסכמות מדגם סופי שונים, לכן ציינו את ההגדרות כדי שאפשר יהיה לשחזר את התוצאה.

רוחב פס זה אינו מספר ההפרשים המושהים שמוסיפים לרגרסיית ADF. ב־KPSS הוא שולט באומדן השונות ארוכת הטווח; ב־ADF השהיות ההגדלה נכנסות לרגרסיה עצמה. תוכנה עשויה להשתמש במילה lag לשתי ההגדרות, ולכן הכיתוב „lag 4” לבדו אינו תיאור שניתן לשחזור.

רוחב פס קצר מדי עלול להשמיט תלות קצרת טווח חשובה מאומדן השונות ארוכת הטווח. רוחב ארוך בהרבה עלול להוסיף אוטוקווריאנסים מדגמיים רועשים. כל בחירה יכולה לשנות את הסטטיסטי ואת גודל המבחן או עוצמתו; כיוון ההשפעה אינו אחיד לכל דפוס שאריות. ציינו את הגרעין ואת כלל בחירת ההשהיות, ובדקו אם חלופה סבירה שנקבעה מראש משנה את הפרשנות.

התיקון לשונות ארוכת הטווח קשור לאמידת קווריאנסים עקבית להטרוסקדסטיות ולאוטוקורלציה. הוא אינו הופך את KPSS לחסין מפני כל סוג של תלות, שבר מבני או מפרט דטרמיניסטי שגוי. המדריך לקווריאנסים של Newey–West מסביר את התפקיד הרחב והמגבלות של אומדני HAC.

נניח שרגרסיית מגמה על שש תצפיות סינתטיות מניבה שאריות \(1,-1,0,0,-1,1\). סכומן אפס והמכפלה הפנימית שלהן עם מגמת זמן ליניארית היא אפס, כפי שמצופה משאריות של רגרסיית מגמה. הסכומים החלקיים הם \(1,0,0,0,-1,0\), וסכום הריבועים שלהם הוא \(2\).

להדגמה חשבונית, נשתמש במוסכמת אוטוקווריאנס מדגמית עם מכנה \(n\), ובמשקולות Bartlett עם רוחב פס 1. איבר השונות של השאריות הוא \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). האוטוקווריאנס בהשהיה הראשונה הוא \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), ומשקל Bartlett שלו הוא \(1/2\). לכן:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

החישוב הזה, המבוסס על שש נקודות, מדגים רק את המכניקה. המדגם קטן מדי להחלטת KPSS האסימפטוטית הרגילה, ואין להשוות את הסטטיסטי לערך קריטי שפורסם כאילו היה ממצא אמפירי.

הרצת KPSS לצד מבחן מסוג ADF עשויה להראות עד כמה המסקנה תלויה בהשערת האפס. קראו את הצמד כראיות תחת שני מודלים שונים:

המבחנים עשויים להבדיל בתיקון השהיות, במפרט דטרמיניסטי, במדגם ובקירובים למדגם סופי. תאמו בחירות אלה ככל האפשר ותעדו הבדלים שלא ניתן למנוע. אל תהפכו את ארבעת הצירופים לכלל אוטומטי להפרשים. אי־דחייה אינה אומרת שהשערת האפס נכונה.

שינוי חד־פעמי בתוחלת, מגמה משתנה או שבר בשונות יכולים לגרום לתהליך סטציונרי בתוך כל משטר להיראות לא־סטציונרי במדגם המלא. מנגד, בנתונים סופיים קשה להבחין בין שורש קרוב לאחת לבין שורש יחידה. מדגמים קצרים, חריגים, זנבות עבים, התאמה לא־ליניארית ואינטגרציה פרקציונלית עלולים גם הם להטעות את קירוב הייחוס.

שרטטו את הרמה, את ההתאמה הדטרמיניסטית שנבחרה ואת השאריות לפני הדיווח על המבחן. אם שבר סביר, השתמשו בתכנון שמתחשב בשבר וציינו את השערת האפס, הטיפול בשבר והערכים הקריטיים. אם חיפשתם כמה תאריכי שבר או רוחבי פס, גלו זאת; ערך ה־p הקטן ביותר בחיפוש אינו תוצאת מבחן שלא הושפעה מבחירה.

אם בוחנים זוג נכסים או spread, KPSS אינו בודק אם הם מקוּינטגרטים. המדריך של Engle–Granger מסביר הליך קו־אינטגרציה מבוסס שאריות ואת בעיית הערכים הקריטיים הנפרדת שלו. המדריך לדרגת הקו־אינטגרציה של Johansen מציג גישה מערכתית. תוצאת KPSS לסדרת מחיר יחידה אינה תחליף לאף אחד מהם.

אם מפעילים KPSS על שאריות של יחס גידור שנאמד, מודל ARMA או תאריך שבר שנבחר, השאריות נוצרו לאחר שלב התאמה קודם. אמידת פרמטרים ובחירת מודל עשויות לשנות את התפלגות האפס. אל תניחו שהערכים הקריטיים הרגילים תקפים לכל התהליך; השתמשו במבחן שאריות שכיולו מתאים למודל שנאמד, או ב־bootstrap שחוזר על שלבי האמידה.

ציינו את המשתנה והטרנספורמציה שלו, מספר התצפיות, השערת האפס של רמה או מגמה, האיברים הדטרמיניסטיים, גרעין השונות ארוכת הטווח, כלל רוחב הפס, הסטטיסטי, הערכים הקריטיים המתאימים או ערך ה־p, ורמת המובהקות. הציגו בדיקת רגישות רק אם החלופות מוצדקות ומתוארות בשקיפות; אל תבחרו את התוצאה המושכת ביותר לאחר שניסיתם חלונות וגרסאות רבות.

בנתוני שוק ציינו את תאריכי המדגם, התדירות, תיאום שעות המסחר, אופן הטיפול בערכים חסרים, והאם נבדקה סדרת מחיר, תשואה, שארית או spread. אי־דחיית השערת האפס של KPSS אינה ראיה לכך ש־spread יתכנס בקרוב. אסטרטגיית חזרה לממוצע עדיין דורשת שיווי משקל מוגדר, הערכה מחוץ למדגם, תזמון אות שאפשר להשתמש בו בזמן אמת, ועלויות מציאותיות של spread, מימון, השאלה וביצוע.

מבחן לרמת לוגריתם המחיר שואל שאלה שונה ממבחן לתשואה, שהיא ההפרש הראשון של לוגריתם המחיר. הפרשים עשויים להסיר מגמה סטוכסטית במודלים מסוימים, אך הם משנים את המשתנה הנבדק ואינם מוכיחים קשר ארוך טווח בין שני נכסים. בחרו טרנספורמציה לפי האומד המבוקש והמודל, ודווחו עליה במפורש.

המאמר של Kwiatkowski, Phillips, Schmidt ו־Shin משנת 199290104-Y) מנסח את המבחן כמבחן LM להשערה ששונות רכיב ההליכה האקראית היא אפס. המאמר של Newey ו־West משנת 1987 הוא מקור ראשוני לאמידת קווריאנס HAC חיובית למחצה. להשוואה מול השערת אפס של שורש יחידה, ראו את המאמר של Dickey ו־Fuller משנת 1979.