ADF לעומת Phillips–Perron: במה שונים מבחני שורש יחידה
השוואה בין מבחני שורש היחידה ADF ו־Phillips–Perron: השערת האפס, רכיבים דטרמיניסטיים, תיקוני השהיה ורוחב פס, ומגבלות במדגם סופי
במדריך הזהבשני המבחנים שורש היחידה הוא השערת האפס
תקציר קצר
מבחן Dickey–Fuller המורחב (ADF) ומבחן Phillips–Perron (PP) מתחילים בדרך כלל באותה שאלה: האם בסדרה יש שורש יחידה? ההבדל המרכזי הוא האופן שבו הם מטפלים בתלות סדרתית ברגרסיית המבחן. ADF מוסיף הפרשים מושהים; PP מתקן את הסטטיסטי של רגרסיה קצרה יותר באמצעות אומדן של קו־וריאנס לטווח ארוך. בשני המקרים צריך לבחור רכיבים דטרמיניסטיים במודע ולהשתמש בערכים קריטיים לא סטנדרטיים. אף אחד מהמבחנים אינו מורה אוטומטית להפרש את הסדרה.
בשני המבחנים שורש היחידה הוא השערת האפס
במשוואה אוטורגרסיבית של רמה, שורש יחידה פירושו שהשפעת זעזוע על הרמה לא חייבת לדעוך. כשכותבים את ההפרש הראשון כרגרסיה על הרמה המושהית, ההשערה נעשית ברורה: אם המקדם של הרמה המושהית הוא אפס, לתהליך הרמה יש שורש אחד לפי המודל שנקבע. מקדם שלילי מצביע לכיוון חלופה סטציונרית, בכפוף לרכיבים הדטרמיניסטיים ולהנחות האחרות.
לכן, במימושים המקובלים של ADF ו־PP, השערת האפס אינה „הסדרה סטציונרית”. האפס קובע שיש שורש יחידה, ואילו החלופה היא סטציונריות סביב הרכיב הדטרמיניסטי שנבחר. אי־דחיית האפס משום שהסטטיסטי אינו שלילי דיו אינה מוכיחה שיש שורש יחידה. ייתכן שבמדגם אין מספיק מידע כדי להבחין בינו לבין תהליך סטציונרי מתמיד מאוד שהשורש האוטורגרסיבי שלו קרוב לאחד.
זה שונה ממבחן שהאפס שלו הוא סטציונריות, כגון KPSS, וגם ממבחן ישיר לקו־אינטגרציה. המדריך לסטציונריות ולשורש יחידה מסביר את המושגים הרחבים; מדריך Engle–Granger עוסק במקרה המיוחד שבו צירוף ליניארי של סדרות לא סטציונריות הוא סטציונרי.
בחרו רכיבים דטרמיניסטיים לפני קריאת ערך קריטי
רגרסיית שורש יחידה יכולה לכלול ללא רכיב דטרמיניסטי, קבוע, או קבוע ומגמת זמן ליניארית. אלה אינם מתגים קוסמטיים. קבוע מאפשר סחיפה תחת אפס שורש היחידה וממוצע שאינו אפס תחת החלופה הסטציונרית. מגמת זמן מאפשרת לחלופה הסטציונרית לנוע סביב מגמה דטרמיניסטית. המודל והתפלגות האפס משתנים בהתאם לרכיבים האלה.
הוספת מגמה מיותרת עלולה להפחית עוצמה, מפני שצריך לאמוד פרמטרים נוספים. השמטת סחיפה או מגמה שקיימות בפועל עלולה לעוות את גודל המבחן ואת פרשנותו. בחרו את המפרט לפי השאלה על תהליך יצירת הנתונים ולפי תרשים הסדרה, ציינו אותו במפורש והשתמשו בערכים קריטיים מתאימים. אל תבחרו בדיעבד את האפשרות שמביאה לדחייה הרצויה.
אותו כלל חל על מחיר לוגריתמי, מרווח, ריבית ותשואה. מגמה עולה יכולה להתאים לרמת מחיר אך לא לתשואה. המבחן אינו קובע עבורכם מהו המשתנה הכלכלי הרלוונטי. רכיבים דטרמיניסטיים הם חלק מההשערה, לא פרט עיבוד מקדים שיש להסתיר.
ADF סופג תלות באמצעות הפרשים מושהים
אפשר לכתוב את רגרסיית Dickey–Fuller המורחבת כך:
Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ
כאן dₜ מכיל את הרכיבים הדטרמיניסטיים שנבחרו, והשערת האפס היא H₀: γ = 0. ההפרשים המושהים הנוספים נועדו לכך שההפרעה שנותרת תתאים במידה מספקת לקירוב של המבחן. הם מייצגים באופן פרמטרי את הדינמיקה קצרת הטווח בתוך הרגרסיה, ואינם מוסיפים מגבלת שורש יחידה.
סדר ההשהיה p חשוב. מעט מדי השהיות עלולות להשאיר תלות סדרתית ב־εₜ ולפגוע בקירוב. רבות מדי צורכות דרגות חופש ועלולות להחליש את המבחן, במיוחד במדגם קצר. התחילו ממספר השהיות מרבי שצוין מראש, השוו כלל מידע סביר לאבחון השאריות, ודווחו אם הבחירות הסמוכות משנות את המסקנה. סדר השהיה קטן שנבחר אינו מוכיח שהתלות שנותרה אינה מזיקה. Harris (1992)90022-Q) בוחן בחירות מעשיות במבנה ההשהיות, בגודל ובעוצמה של ADF.
בחירת השהיות עלולה להיות קשה בתהליכים מסוימים. Ng ו־Perron מראים ששורש של ממוצע נע הקרוב ל־−1 עשוי לגרום ל־AIC או ל־BIC המקובלים לבחור מעט מדי השהיות בהליכי שורש היחידה שהם חוקרים. מדדי המידע המתוקנים שלהם נועדו להליכי שורש יחידה עם הסרת מגמה בשיטת GLS ולמבחנים קשורים. זו אזהרה לגבי דינמיקות מסוימות, לא כלל שלפיו קריטריון מסוים או השהיה ארוכה יותר תמיד עדיפים.
PP משאיר רגרסיה קצרה יותר ומתקן את הסטטיסטי
מבחן Phillips–Perron מתחיל ברגרסיה בסגנון Dickey–Fuller, ללא סכום ההפרשים המושהים של ADF:
Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ
לאחר מכן הוא מתקן את סטטיסטי המבחן בעזרת אומדנים לשונות קצרת טווח ולקו־וריאנס ארוך טווח. צורה נפוצה לאומדן השונות לטווח הארוך היא:
Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ
כאן γ̂ⱼ הן אוטו־קווריאנסים של השאריות, K הוא משקל kernel ו־ℓ הוא בחירת רוחב פס או קטיעה. ההגדרה המדויקת משתנה בין סטטיסטי PP למוסכמות תוכנה שונות. ההבחנה הרעיונית יציבה: ADF מוסיף הפרשים מושהים לרגרסיה; PP מפעיל תיקון לא־פרמטרי לתלות על הסטטיסטי מרגרסיה קצרה יותר.
PP אינו רק „ADF עם שגיאות תקן חסינות”. התיקון משנה את סטטיסטי שורש היחידה ואת הטיפול האסימפטוטי בו; פלט רגרסיה עם שגיאות חסינות רגילות אינו הופך ערכי t קריטיים רגילים לתקפים. ה־kernel ורוחב הפס קובעים כמה תלות נלכדת בתיקון. רוחב פס קטן מדי עלול להחמיץ מתאם חשוב; גדול מדי עלול להרעיש את אומדן השונות לטווח הארוך.
<!-- learn:illustration -->
התפלגויות הייחוס אינן התפלגויות t רגילות
תחת אפס שורש היחידה, הרמה המושהית נוצרת ממגמה סטוכסטית ולא מרגרסור סטציונרי. לכן לסטטיסטי DF יש התפלגויות גבול לא סטנדרטיות. גם במדגם גדול, טבלת t המקובלת אינה התפלגות הייחוס המתאימה. הערכים הקריטיים תלויים בשאלה אם נכללו קבוע ומגמת זמן, וכן בסטטיסטי ובמימוש שנבחרו.
סטטיסטי PP מותאמים כדי להביא תלות בחשבון, אך עדיין משווים את אפס שורש היחידה לחוק הייחוס הלא־סטנדרטי המתאים. השתמשו בערכים קריטיים או בערכי p ממימוש מוכר שמתאים לרכיבים הדטרמיניסטיים ולסטטיסטי. אל תשוו סטטיסטי ADF ממפרט אחד לערכי PP קריטיים ממפרט אחר, ואל תפרשו יחס t של מקדם המוצג בפלט כסטטיסטי Student t רגיל.
כיול אסימפטוטי אינו מבטיח התנהגות טובה בכל מדגם סופי. מחקר מונטה־קרלו של Schwert מדווח על רגישות של הליכי שורש יחידה למפרט שגוי ועל הבדלים בין שיטות במדגמים סופיים. לכן פרשו ערך p לצד גודל המדגם, מבנה התלות בנתונים, בחירת ההשהיה או רוחב הפס ומפרט הרגרסיה.
בחירות במדגם סופי עשויות לשנות גודל ועוצמה
גודל המבחן הוא ההסתברות לדחות אפס שורש יחידה נכון; עוצמה היא ההסתברות לדחות תחת חלופה סטציונרית מוגדרת. מבחן יכול להיראות מכריע במדגם אחד אך להיות בעל גודל שגוי תחת מבנה התלות בפועל. השהיות ADF ותיקון הקו־וריאנס ארוך הטווח של PP מתמודדים עם בעיות תלויות באמצעות קירובים שונים; תוצאת אחד אינה מבטיחה שהשני חסין.
ב־ADF בדקו אם נותרת אוטו־קורלציה בשאריות לאחר הוספת השהיות ואם השהיה נוספת משנה מהותית את ההסקה. ב־PP דווחו על ה־kernel וכלל רוחב הפס ובחנו חלופות סבירות. אלה בדיקות רגישות, לא היתר לנסות מפרטים רבים ולשמור רק את ערך ה־p המועיל ביותר. תוצאות Ng–Perron מזהירות גם כי בחירת השהיות מקיימת אינטראקציה עם תהליך השגיאה והסרת מגמה דטרמיניסטית; קריטריון מידע מכני אינו פותר כל תכנון.
לשני המבחנים עשויה להיות עוצמה נמוכה מול חלופות סטציונריות מתמידות מאוד. אי־דחייה אינה ראיה חיובית לכך שנדרש הפרש. אם המדגם קצר, השורש קרוב לאחד או שהמסקנה מרכזית למודל, שקלו ראיות משלימות והליכים נוספים עם הנחות מפורשות במקום לספור את ADF ואת PP כקולות בלתי תלויים.
שברים מבניים והתמרות מסבכים את סיפור שורש היחידה
קפיצה ברמה, שינוי מגמה, משטר מדיניות, שינוי בהצמדת מטבע או מעבר במבנה השוק עלולים לגרום לסדרה להיראות מתמידה, אף שאפשר לתארה טוב יותר כמקטעים סטציונריים סביב מסלול דטרמיניסטי משתנה. הניתוח של Perron לשינויים היסטוריים גדולים מראה שמסקנת שורש היחידה יכולה להיות תלויה בשאלה אם מתירים שבר. ADF ו־PP סטנדרטיים אינם מגלים אוטומטית כל שבר.
שרטטו את הסדרה, תעדו שינויים מוסדיים ידועים ושאלו אם מבחן שמאפשר שבר או מודל מקוטע מתאים לשאלה. חיפוש שבר לאחר שכבר ראיתם את אותו מדגם עשוי להשפיע על ההסקה; השתמשו בשיטה שערכיה הקריטיים מתחשבים בחיפוש או ציינו שהניתוח חקרני. מדריך Bai–Perron עוסק באמידת שברים ברגרסיה, ולא בתיקון ישיר של ADF או PP ללא שינוי.
גם להתמרה יש חשיבות. רמת מחיר, מחיר לוגריתמי, מרווח מחיר ותשואה הם משתנים כלכליים שונים. הפרש של רמה שכנראה מכילה שורש יחידה עשוי ליצור סדרה יציבה יותר; הפרש של רמה סטציונרית עלול לאבד מידע וליצור מפרט רועש שלא לצורך. במחקר זוגות, ניתוח קו־אינטגרציה עוזר להבחין בין מגמות סטוכסטיות נפרדות לבין מרווח שעשוי להיות סטציונרי. אף אבחון כזה לבדו אינו מוכיח שאסטרטגיה רווחית.
משוואה משותפת מראה מה משתנה ומה נשאר
נניח שרמה היפותטית מתפתחת כך:
yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ
μ היא סחיפה קבועה ו־εₜ הן חדשנויות שעשויות להיות תלויות סדרתית. בחיסור yₜ₋₁ מתקבל Δyₜ = μ + εₜ; המקדם γ של הרמה המושהית הוא אפס ברגרסיית ההפרשים המתאימה. זו הצורה האלגברית של אפס שורש היחידה. האלגברה אינה נותנת ערך p: חוק הייחוס נשאר לא־סטנדרטי ותלוי ברכיבים הדטרמיניסטיים ובטיפול בתלות.
אם מתאימים ADF, ההפרשים המושהים מנסים לייצג את התלות קצרת הטווח ברגרסיה. ב־PP משוואת הבסיס קצרה יותר והסטטיסטי מקבל תיקון אומדן לקו־וריאנס ארוך הטווח. אם יש בנתונים שבר במגמה דטרמיניסטית, שני המימושים הסטנדרטיים עשויים להיות ממודלים באופן שגוי גם כשהתוכנה מדווחת על סטטיסטי שנראה מדויק.
לכן יש שלוש שכבות להשוואה: האפס המהותי, מפרט הרגרסיה והרכיבים הדטרמיניסטיים, ותיקון התלות שנותרה. כששתי השכבות הראשונות קבועות, ADF ו־PP הם אבחונים חלופיים שימושיים; שינוי שלושתן עד שאחד המבחנים דוחה אינו בדיקת חסינות. הבדל בתוצאות הוא סיבה לבדוק הנחות וכוונון, לא תחרות שבה המנצח בוחר את המודל אוטומטית.
דווחו על המפרט והשתמשו בתוצאה כראיה, לא כהוראה
ציינו את המשתנה וההתמרה, תקופת המדגם ותדירות התצפיות, הרכיבים הדטרמיניסטיים וכלל ההשהיות והסדר שנבחר ב־ADF, או את סטטיסטי PP, ה־kernel ורוחב הפס. פרטו את האפס והחלופה, הסטטיסטי, הערך הקריטי או ערך ה־p המתאים, ובדיקות לאוטו־קורלציה בשאריות ולשברים. אם התוצאה רגישה להגדרות סבירות, אמרו זאת; אל תציגו רק את המפרט שתומך בפרשנות מועדפת.
תהליך עבודה מועיל מתחיל בהגדרת היעד והמודל הכלכלי, בחירת רכיבים דטרמיניסטיים, הרצת ADF או PP במפרט מתאים, בדיקת תלות ושברים אפשריים והשוואה לראיות משלימות. מדריך יחס השונויות בוחן השלכה אחרת של הליכת אקראי. אין לו אותה השערת אפס והוא אינו מחליף מבחן שורש יחידה.
לא ADF ולא PP מורים להפרש ברגע שערך p חוצה סף. הפרשים הם החלטת מודל לגבי הסדרה והשאלה: חיזוי שינויים, אמידת קשר ארוך טווח, בדיקת מרווח מסחר או שמירת מידע ברמות עשויים להביא לבחירות שונות. המבחן מסייע בהחלטה, אך ההתמרה הסופית צריכה להתחשב גם בסיפור יצירת הנתונים, ביציבות, ביעד התחזית ובמבנה קו־אינטגרציה אפשרי.
שאלות נפוצות
Q1האם ADF ו־PP בודקים אותה השערת אפס?
בדרך כלל כן: שניהם בודקים שורש יחידה מול חלופה סטציונרית שמוגדרת לפי הרכיבים הדטרמיניסטיים שנבחרו. הם מטפלים בתלות סדרתית באופן שונה, ולכן צריך להתאים לכל אחד את המפרט והערכים הקריטיים.
Q2האם PP הוא פשוט ADF עם שגיאות תקן חסינות?
לא. PP משנה את סטטיסטי שורש היחידה באמצעות אומדן לא־פרמטרי לקו־וריאנס ארוך טווח. שגיאת תקן חסינה כללית אינה משחזרת את תיקון PP ואינה הופכת את התפלגות t הרגילה למתאימה.
Q3באיזה מבחן כדאי לבטוח אם תוצאות ADF ו־PP שונות?
אף אחד מהם אינו מנצח אוטומטית. בדקו רכיבים דטרמיניסטיים, השהיות ADF, kernel ורוחב פס PP, תלות בשאריות, גודל מדגם ושברים אפשריים. דווחו על רגישות והיעזרו בראיות משלימות שמתאימות לשאלה.
Q4האם אי־דחייה אומרת שעליי להפריש את הסדרה?
לא. זו ראיה אחת להתמדה תחת מודל מסוים. בחרו התמרה לפי המשתנה, היעד, היציבות והקשר ארוך הטווח; הפרשה עודפת עלולה להשליך מידע שימושי. מחקר ראשוני - Dickey and Fuller, “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root” (1979) - Harris, “Testing for Unit Roots Using the Augmented Dickey–Fuller Test: Some Issues Relating to the Size, Power and the Lag Structure of the Test” (1992)90022-Q) - Phillips and Perron, “Testing for a Unit Root in Time Series Regression” (1988) - Schwert, “Tests for Unit Roots: A Monte Carlo Investigation” (1989) - Ng and Perron, “Lag Length Selection and the Construction of Unit Root Tests with Good Size and Power” (2001) - Perron, “The Great Crash, the Oil Price Shock, and the Unit Root Hypothesis” (1989)
מקורות וקריאה נוספת
דיווח על בעיה
נכין אימייל עם קישור למאמר הזה. Mark יקבל את הדיווח רק לאחר שתשלחו אותו
בדיקה מהירה
סיימת לקרוא? בדוק את עצמך ב־3 שאלות
שאלה 01
מהי השערת האפס המקובלת המשותפת ל־ADF ול־PP?
בחר תשובה כדי לראות את ההסבר
מילון מונחי אופציות
הגדרות ברורות למונחי אופציות חשובים, מקריאות ופוטים ועד IV, יוונים, עניין פתוח ו-max pain
עיינו במילון המונחים של האופציות