מבחן יחס השונויות: הילוך מקרי, אופקים ומסחר

נסמן מחיר נצפה ב-\(P_t\) ואת מחירו הלוגריתמי ב-\(x_t=\ln(P_t)\). תשואה לוגריתמית לתקופה אחת היא \(r_t=x_t-x_{t-1}\). תשואה לוגריתמית ל-\(q\) תקופות מחברת \(q\) תשואות סמוכות לתקופה אחת. אם התוספות אינן מתואמות והשונות שלהן יציבה, שונות הסכום גדלה ביחס ישר ל-\(q\).

יחס השונויות באוכלוסייה הוא:

\[ \operatorname{VR}(q)=\frac{\operatorname{Var}(r_t+r_{t-1}+\cdots+r_{t-q+1})}{q\operatorname{Var}(r_t)}. \]

בתנאי קנה המידה הזה, \(\operatorname{VR}(q)=1\). הליך Lo–MacKinlay הופך את הקשר לסטטיסטי מדגמי ולמבחן של מגבלת ההילוך המקרי. הערך אחת הוא אמת המידה הנובעת מתוספות לא מתואמות, ולא טענה שהמחירים חלקים או ניתנים לחיזוי. היישום המקורי שלהם דחה את מפרט ההילוך המקרי בנתוני מניות היסטוריים בארצות הברית, תוך הסתייגות מפורשת שדחייה לבדה אינה מבססת מודל מחירים החוזר לממוצע.

לתשואות יציבות לתקופה אחת, אם המתאם האוטומטי בפיגור \(j\) הוא \(\rho_j\), אפשר לכתוב את אותו יחס אוכלוסייה כך:

\[ \operatorname{VR}(q)=1+2\sum_{j=1}^{q-1}\left(1-\frac{j}{q}\right)\rho_j. \]

כל מתאם אוטומטי מקבל משקל שפוחת עם הפיגור. לכן היחס מסכם באופן משוקלל מתאמים סדרתיים עד לאופק \(q-1\), ואינו שווה למתאם בפיגור מסוים אחד.

נניח שלתהליך תשואות היפותטי עם \(q=4\) יש \(\rho_1=0.10\), \(\rho_2=0.04\), ו-\(\rho_3=0\). אז:

\[ \operatorname{VR}(4)=1+2\left(\frac{3}{4}\times0.10+\frac{2}{4}\times0.04\right)=1.17. \]

ערך מעל אחת משקף תלות משוקללת חיובית באופקים האלה. אם שני המתאמים הראשונים היו \(-0.10\) ו-\(-0.04\), והשלישי עדיין אפס, היחס היה \(0.83\). אלה חישובי אוכלוסייה היפותטיים. אומדן מדגמי נצפה עשוי להיות שונה עקב שונות הדגימה, שינוי בתנודתיות והתיקונים הסופיים של האומד.

דפוסי מתאם אוטומטי שונים יכולים להניב אותו יחס באופק אחד. תרומות חיוביות ושליליות עשויות להתקזז, ולכן יחס השווה בדיוק לאחת אינו מחייב שכל המתאמים הכלולים יהיו אפס. בחינת כמה אופקים שנקבעו מראש עשויה לחשוף דפוס אחר, אך בדיקה משותפת של התוצאות דורשת גם הסקה משותפת.

המבחן מיושם בדרך כלל על מחירים לוגריתמיים במרווחים שווים או על ההפרשים הראשונים שלהם. אם התצפיות הן שערי סגירה יומיים, \(q=5\) מתייחס לתשואה של חמשת ימי המסחר, ולא לשבוע קלנדרי עם מספר שונה של ימי מסחר. מפגשים חסרים, פערים ליליים וחותמות זמן לא סדירות משנים את משמעותה של ״תקופה אחת״. ציינו את לוח המסחר והאם המחירים כוללים חלוקות או פעולות תאגידיות אחרות.

שימוש בתשואות פשוטות במקום בתשואות לוגריתמיות הוא בחירת מודל, ולא שינוי שם תמים לכל אופק. תשואות לוגריתמיות מתחברות בדיוק לאורך זמן; תשואות פשוטות מצטברות בריבית דריבית. בתנועות קטנות הן עשויות להיות קרובות מספרית, אך ההגדרה שנבחרה צריכה להתאים לשאלה ולהישאר עקבית בדוגמה, באמידה ובבדיקה היסטורית. אל תפעילו את הנוסחה על רמת מחיר כאילו הייתה סדרת תשואות.

רוב המימושים יוצרים תשואות חופפות ל-\(q\) תקופות כדי שכל תצפית זמינה תתרום לאומדן. הדבר מגדיל את מספר התצפיות המצטברות, אך חלונות סמוכים חולקים תשואות רבות לתקופה אחת ולכן אינם בלתי תלויים. שגיאת התקן של המבחן מביאה מבנה זה בחשבון תחת ההנחות שלו; התייחסות לתשואות החופפות כאל בלתי תלויות תמעיט באי-הוודאות.

נניח שלנכס היפותטי שונות תשואה למפגש אחד של \(0.0001\), השקולה לסטיית תקן של 1%. כאשר התוספות אינן מתואמות, שונות תשואה לארבעה מפגשים היא \(4\times0.0001=0.0004\), סטיית התקן היא 2%, והיחס הוא \(0.0004/(4\times0.0001)=1\).

כעת נניח שאומדן השונות לארבעה מפגשים הוא \(0.000468\), בעוד אומדן המפגש האחד נשאר \(0.0001\). היחס המדגמי הוא \(0.000468/(4\times0.0001)=1.17\). החישוב מתאר כיצד הפיזור משתווה בין האופקים שנבחרו. הוא אינו אומר שהתשואה הצפויה גבוהה ב-17%, שהתשואה מחר צפויה להיות חיובית בהסתברות הגבוהה ב-17%, או שפוזיציה לארבעה מפגשים צפויה להניב 17%.

כדי לטעון טענה הסקתית, השוו את היחס המשוער להתפלגות המבחן ולאומדן אי-הוודאות. יחס קרוב לאחת עשוי להופיע גם כאשר היבטים אחרים של תהליך המחירים מפרים מודל הילוך מקרי מלא. מנגד, אומדן מדגמי המרוחק מאחת עשוי שלא להיות שונה ממנה מובהקות סטטיסטית במדגם קצר או רועש. הציגו בנפרד את האומדן, סטטיסטי המבחן, ערך ה-p והפירוש הכלכלי.

סטטיסטי Lo–MacKinlay הקלאסי, בהנחת הומוסקדסטיות, מתקנן את \(\widehat{\operatorname{VR}}(q)-1\) באמצעות שונות אסימפטוטית שנגזרה תחת הנחת שונות קבועה לתוספות. אם התנודתיות המותנית בתשואות משתנה, שגיאת תקן זו עלולה לאמוד לא נכון את גודל המבחן. Lo ו-MacKinlay פיתחו גם אומדן שונות עקבי להטרוסקדסטיות לסטטיסטי יחס השונויות.

למונח ״עקבי להטרוסקדסטיות״ יש תחום מוגדר: הוא מתאים את ההסקה לדפוס רחב יותר של שינוי בשונות התשואות, תחת הנחות המבחן. הוא אינו מתקן סדרת מחירים שגויה, תלות בכל אופק אפשרי, שברים מבניים, ציטוטים מיושנים או מדגם קצר מדי. אם התוכנה מציגה סמלים כגון \(Z\) ו-\(Z^*\), בדקו בתיעוד איזו השערת אפס ואיזו נוסחת שגיאת תקן היא מממשת.

מחקר המדגם הסופי מ-1989 מצא שהביצועים תלויים בהשערת האפס והחלופה הנבחנות, ודיווח שבסימולציות שנבדקו האמינות הייתה טובה יותר תחת השערת הילוך מקרי עם הטרוסקדסטיות מאשר בכמה מבחנים מתחרים. אין בכך הבטחה כללית לכל מדגם או מימוש. במדגם קטן, bootstrap או הליך מדגם סופי אחר עשויים לעזור, אך גם תכנון הדגימה מחדש צריך לשמר את מאפייני התלות והתנודתיות הרלוונטיים.

מבחן יחיד ל-\(q\) שואל אם מגבלת קנה המידה של השונות מתקיימת באופק נבחר אחד. אם \(q\) נבחר לאחר בדיקת אופקים רבים, ערך ה-p המדווח אינו מביא את החיפוש בחשבון. ניסוי \(q=2,4,8,16\) והדגשת התוצאה המובהקת ביותר בלבד מגדילים את הסיכוי לחיובי שגוי.

הליך משותף ליחסי שונויות בודק יחד קבוצת אופקים שנקבעה מראש ומתאים את ההחלטה לריבוי השוואות. Chow ו-Denning פיתחו מבחן כזה משום שטיפול ביחסי שונויות רבים כהחלטות נפרדות ולא מותאמות עלול להגדיל מאוד את שיעור הטעות הכולל מסוג I. התוצאה המשותפת מתייחסת למשפחת האופקים שנבדקה; היא אינה מסבירה איזה פיגור, מנגנון או משתתף בשוק יצר את הסטייה.

בחרו אופקים הקשורים לתדירות הדגימה ולשאלת המחקר. השוואה של יום, שבוע וחודש עשויה להיות שימושית, אך לכל אופק יש מידע ומבנה של תשואות חופפות משלו. דווחו את כל קבוצת המבחנים, לא רק את האופק הנוח ביותר, והבדילו בין סריקה חקרנית למבחן מאשש.

אומדן מעל אחת מתיישב עם תלות סדרתית משוקללת חיובית בפיגורים שנבחרו; אומדן מתחת לאחת מתיישב עם תלות משוקללת שלילית. אף אחד מהסימנים אינו מזהה לבדו מומנטום, חזרה לממוצע, התאמת מחיר מושהית, השפעות מלאי, תנודת bid–ask, מסחר לא סימולטני או תהליך תנודתיות.

ובפרט, \(\operatorname{VR}(q)<1\) אינו מוכיח שרמת המחיר סטציונרית. סדרה יכולה להציג יחס מתחת לאחת באופק מסוים ועדיין לכלול מגמה סטוכסטית. גם דחיית מגבלת הילוך מקרי אינה מוכיחה כשלעצמה חלופה סטציונרית החוזרת לממוצע; Lo ו-MacKinlay ציינו במפורש שהדחייה בנתוני המניות שנחקרו לא תמכה במסקנה זו.

ההסקה תלויה גם בשאלה אם נבדקים תשואה, מחיר לוגריתמי, תשואה עודפת או סדרה שעברה טרנספורמציה אחרת. תוצאה לתשואות יומיות מסגירה לסגירה אינה חלה אוטומטית על ציטוטים תוך-יומיים או על יקום נכסים אחר. ציינו במדויק את האובייקט ואת טווח הפרשנות.

תנודת bid–ask יכולה ליצור תלות שלילית קצרת-אופק בתשואות ממחירי עסקאות גם כאשר תהליך הערך הכלכלי האיטי יותר אינו מתהפך. ניירות דלי נזילות עשויים להתעדכן באופן לא סימולטני, ומחירי סגירה עשויים לשקף חלונות מידע שונים בין זירות. מאפיינים אלה עשויים להשפיע במיוחד על האופקים הקצרים ביותר. בדקו איכות ציטוטים, פעילות מסחר, יישור חותמות זמן ורגישות למרווח דגימה איטי יותר לפני שתכנו את הדפוס אנומליה בשוק.

התקבצות תנודתיות משפיעה על שגיאות התקן גם כאשר לסימני התשואה או לרמות אין דפוס כיווני יציב. שינוי מבני בממוצע, בתנודתיות, בשעות המסחר או בהרכב השוק יכול לגרום ליחס של המדגם המלא לערבב משטרים שונים. בדקו יציבות בתתי-תקופות בלי לבחור רק את החלון שתומך בפרשנות המועדפת.

חיפוש בין נכסים, תדירויות, אופקים, מסננים ונקודות התחלה וסיום של המדגם יוצר בעיה נוספת: בחירה לפי רעש. יחס שונויות חריג סטטיסטית שהתגלה לאחר חיפוש רחב אינו מבחן השערה שלא הושפע מבחירה. קבעו מראש אופק מרכזי או השתמשו בהליך משותף או בשיטת דגימה מחדש מתאימה, ואז אמתו דפוס שנמצא בנתונים כרונולוגיים מאוחרים יותר.

מבחן יחס שונויות מסכם את שונות התשואות באופקים שונים. הוא אינו מגדיר כיוון, כניסה, יציאה, עצירה, גודל פוזיציה, משך החזקה או אם האות זמין לפני ביצוע. גם דפוס תלות יציב עשוי להיות קטן מכדי לכסות עמלות, מרווח, השפעת שוק, מימון, השאלת ניירות ומחזור.

במחקר מסחר, הגדירו את האות ואת זמן ההחלטה לפני עיון בתשואות עתידיות. אמדו פרמטרים בחלון גיבוש, הקפיאו אותם והעריכו על תצפיות מאוחרות יותר. אם התוצאה התגלתה לאחר ניסוי בניירות ערך או באופקים רבים, שמרו תקופת בדיקה שלא נחשפה לחיפוש או השתמשו בשיטה שמביאה את החיפוש בחשבון. השוו תוצאות לאחר עלויות לקו בסיס והכלילו ביצועים ריאליים, לא רק תחזית תשואה תאורטית.

השתמשו ביחס השונויות ככלי אבחון לצד תרשימים, בדיקות מתאם אוטומטי, מבחני שורש יחידה וניתוח יציבות. סטייה מקנה המידה של השונות עשויה להצדיק בדיקת מודל ממוקד יותר, אך למודל זה דרושים הנחות וראיות מחוץ למדגם משלו. המבחן מתאר בקצרה מגבלת מומנט, ואינו מוכיח שקיים יתרון.

ציינו את הגדרת המחיר, טרנספורמציית התשואה, תדירות התצפיות, תאריכי המדגם, מספר התצפיות השמישות והאם התשואות חופפות. דווחו על כל אופק \(q\) שנבדק, יחס השונויות המדגמי, גרסת שגיאת התקן, סטטיסטי המבחן, ערך ה-p, רמת המובהקות וכל תיקון משותף לריבוי אופקים.

הסבירו כיצד טופלו תצפיות חסרות, פעולות תאגידיות, סגירות שוק וחותמות זמן. ציינו אם הסקה עמידה לתנודתיות, bootstrap, תתי-תקופות או מרווחי דגימה חלופיים שינו את התוצאה. ביישום מסחרי, הפרידו בין המדגם הסטטיסטי לתקופת ההערכה וגלו עלויות, תזמון ביצוע, כללי בחירה ואת כל הנכסים והאופקים שנוסו.

Lo ו-MacKinlay מציגים את מבחן המפרט של יחס השונויות וחוקרים את גודלו ועוצמתו במדגמים סופיים. Chow ו-Denning מסבירים מדוע בדיקת יחסי שונויות רבים דורשת בקרת גודל משותפת90051-6). למושגים קשורים ראו את המדריכים על סטציונריות ושורשי יחידה, קו־אינטגרציה של Engle–Granger, ומבחן דרגת הקו־אינטגרציה של Johansen.