האם להכפיל שארפ חודשי ב־√12? השפעת המתאם הסדרתי

יחס שארפ לתקופה אחת הוא ממוצע התשואה העודפת על פני שיעור חסר סיכון, חלקי סטיית התקן של תשואות באותה תקופה: SR₁ = μ/σ. בנתונים חודשיים, שיעור חסר הסיכון צריך להתאים לתדירות החודשית. אין להפחית ישירות שיעור שנתי מתשואה חודשית.

היחס מתאר מדגם מסוים לפי הגדרת התשואה שנבחרה. הוא אינו הסתברות לרווח, מדד מלא של סיכון או הבטחה לביצועים בעתיד. גם החלפת תשואה ברוטו בתשואה נטו, או שינוי בטיפול בדיבידנדים ובמימון, עשויים לשנות את המספר.

הכלל המקובל להמרת יחס לתקופה אחת לסקאלה שנתית על פני q תקופות הוא SR_q = √q × SR₁. הוא מניח, בין היתר, ממוצע ושונות יציבים והיעדר אוטוקורלציה בתשואות בפיגורים שנכללים באופק. תשואות בלתי תלויות ובעלות אותה התפלגות (IID) הן תנאי מספיק נפוץ, אך מדובר בהנחה חזקה יותר מאפס מתאם בלבד.

בהסבר של ויליאם שארפ על יחס שארפ מופיע התנאי של אפס מתאם מאחורי כלל השורש. כאשר תשואות חודשיות מתואמות סדרתית, סטיית התקן של סכומן אינה בדרך כלל סטיית התקן החודשית כפול √q, ולכן אין להחיל את הכפלת השורש אוטומטית.

נסמן תשואה תקופתית עודפת ב־xₜ, שונות ב־γ₀ וקו־וריאנס בפיגור k ב־γₖ = Cov(xₜ, xₜ₋ₖ). המתאם בפיגור זה הוא ρₖ = γₖ/γ₀. בהנחת קו־וריאנס יציב ובצבירה חשבונית של q תשואות עודפות:

Var(Σₜ₌₁ᵠ xₜ) = qγ₀ + 2Σₖ₌₁ᵠ⁻¹(q−k)γₖ

מכאן מתקבל תיקון צבירת הזמן של אנדרו Lo: SR_q = √q × SR₁ / √(1 + 2Σₖ₌₁ᵠ⁻¹(1−k/q)ρₖ). המשקלים יורדים עם הפיגור, כי בתוך אופק של q תקופות יש פחות זוגות תצפיות שמרוחקים בפיגור גדול.

אם המתאמים בפיגורים הרלוונטיים חיוביים, המכנה של התיקון בדרך כלל גדול מאחד; כלל √q לבדו נוטה אז להפריז ביחס המתוקן. מתאם שלילי עשוי להפוך את הכיוון ולהביא לכך שהכלל הפשוט ימעיט. זו מסקנה מתמטית במסגרת ההנחות, ולא הערכה של איכות האסטרטגיה.

לשם המחשה בלבד, נניח שתשואה חודשית עודפת ממוצעת היא 0.4% וסטיית התקן החודשית היא 2%. לכן SR₁ = 0.4% ÷ 2% = 0.20. אם מתעלמים ממתאם, האומדן השנתי הפשוט הוא 0.20 × √12 ≈ 0.6928.

כעת נניח מודל AR(1) היפותטי עם ρ₁ = 0.25 ושאר המתאמים ρₖ = 0.25ᵏ. בדוגמה זו, גורם התיקון הוא √(1 + 2Σₖ₌₁¹¹(1−k/12)×0.25ᵏ) ≈ 1.262. לכן שארפ שנתית מתוקנת היא 0.6928 ÷ 1.262 ≈ 0.549. הערכים 0.25ᵏ לפיגורים הבאים נובעים מהנחת AR(1) בדוגמה; אין פירושם שכל פיגור שווה ל־0.25.

זהו חישוב היפותטי, לא תחזית או המלצת מסחר. הוא מתייחס לסכום חשבוני של תשואות עודפות חודשיות ותלוי בהנחות המודל.

התמדה או היפוך של תשואות עשויים לשקף תופעה כלכלית אמיתית. לחלופין, כאשר מחשבים תשואה יומית לאסטרטגיה עם החזקה של כמה ימים, תצפיות סמוכות עשויות לחלוק את אותה חשיפה. תשואות חופפות כאלה אינן תצפיות בלתי תלויות.

סדרות חלקות עשויות להיגרם ממחירים ישנים, משערוכים בנכסים לא נזילים או משיטות סימון שמחליקות תנודות. גם כללי איתות, איזון מחדש והגדרת התשואה עשויים לייצר תלות לאורך זמן. לפני שמתקנים, בררו אם המתאם הוא תכונה כלכלית, ארטיפקט מדידה או תוצאה של אופן בניית התשואה.

השתמשו באותה הגדרת תשואה, אותה תדירות ואותו שיעור חסר סיכון מותאם. ציינו אם התוצאות ברוטו או נטו מעלויות. טפלו בעקביות במינוף, בעלויות מימון, בדיבידנדים ובתשלומי מימון של חוזים תמידיים בקריפטו; אל תשוו נתון שכולל עלויות לנתון שמשמיט אותן.

נוסחת הקו־וריאנס מיועדת לסכימה חשבונית של q תשואות עודפות תקופתיות, תחת ההנחות שלה. אם התשואה השנתית חושבה בהרכבה של ערכי התיק, אל תערבבו אותה בשקט עם סכום פשוט. תעדו את שיטת הצבירה, ההשקעה מחדש, המשקלים ותזרימי המזומנים החיצוניים כדי שאפשר יהיה לשחזר את ההשוואה.

אוטוקורלציות נאמדות ממדגם, ואומדנים בפיגורים ארוכים עלולים להיות רועשים, במיוחד כשיש מעט חודשים. אל תניחו AR(1) רק מפני שהפיגור הראשון מתואם; בדקו פיגורים נוספים, גרף תשואות ואת דרך יצירת התצפיות.

דווחו את אורך המדגם, שיטת האמידה, הפיגורים שנכללו ורגישות היחס המתוקן לבחירות סבירות. בהשוואת אסטרטגיות, הציגו אי־ודאות או רווחי סמך אם אפשר. אל תציגו הפרש זעיר בעשרוניות כאילו הוא ממצא ודאי.

תיקון צבירת הזמן אינו מבטל כריית נתונים או בחירת האסטרטגיה הטובה ביותר מתוך ניסויים רבים, ואינו מטפל באי־יציבות של משטרי שוק, בסיכון זנב, במינוף, בנזילות או בעלויות ביצוע. גם יחס מתוקן עלול להסתיר הפסדים נדירים וגדולים.

יחס שארפ מתוקן גבוה יותר אינו מעיד שהביצועים בעתיד יהיו טובים יותר או שהאסטרטגיה בטוחה יותר. יש להפריד בין מדד תשואה לתנודתיות לבין בדיקות עמידות, אפשרות ביצוע וסיכון הון.

תעדו את תדירות הנתונים, הגדרת התשואה העודפת, שיעור חסר הסיכון התואם, התקופה וגודל המדגם. הציגו את המתאמים בפיגורים הרלוונטיים ואת הנחות ההמרה, וציינו אם השתמשתם בכלל √q הפשוט או בתיקון של Lo.

ציינו אם התשואות נטו מעמלות ומימון, כיצד טופלו מינוף, דיבידנדים והרכבה, ומה נעשה בתזרימי מזומנים חיצוניים. הוסיפו ניתוח רגישות או אי־ודאות ואל תציגו אומדן היסטורי כתחזית. לקריאה נוספת: ממוצע חשבוני לעומת גאומטרי של תשואות, ירידה מרבית ואחוז ההתאוששות, ופשרת הטיה־שונות והתאמת־יתר של מודלים פיננסיים.

המאמר של אנדרו Lo, The Statistics of Sharpe Ratios, מנתח כיצד תלות סדרתית משנה את הסטטיסטיקה של היחס ומדוע יחסים שנתיים שונים עשויים לצאת מאותה סדרת תשואות.