תשואה אריתמטית לעומת גאומטרית: מדוע ממוצע של 10% אינו צמיחה של 10%

השתמשו בתקופות עוקבות ובאורך שווה עבור אותה השקעה או תיק. עבדו במטבע אחד, עם ערך התחלתי חיובי וללא תזרימי מזומנים חיצוניים. ציינו אם ההכנסה מושקעת מחדש ואם התשואות כוללות עלויות

כתבו כל תשואת תקופה כמספר עשרוני r: 40% הופכים ל־0.40 והפסד של 20% הופך ל־−0.20. מקדם הצמיחה הוא 1 + r, ולא r עצמו

ממוצע אריתמטי = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n. הוא מתאר את תשואת התקופה הבודדת הממוצעת שנצפתה. הוא אינו משחזר את היתרה הסופית של חשבון שההון נשאר בו מושקע ברציפות

בתקופות עוקבות הכפילו את מקדמי הצמיחה: תשואה מצטברת = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1

שמרו על עקביות בין תשואת מחיר לתשואה כוללת לאורך כל הסדרה. מעבר ביניהן באמצע יוצר בעיה שונה מבחירה בממוצע

נניח שתי שנים מלאות ו־10,000 יחידות מכל מטבע שאינו משתנה. התשואות ההיפותטיות הן +40% בשנה הראשונה ו־−20% בשנה השנייה. אין עמלות, חלוקות, הפקדות או משיכות

צבירה של הממוצע האריתמטי הייתה נותנת במקום זאת 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100. 900 הנוספים האלה מעולם לא הופיעו בחשבון הזה; הם שייכים למסלול תשואה אחר

הדוגמה היא חשבון אריתמטי מקורי, לא בדיקת עבר, תוצאת השקעה חיה או תחזית. סימן המטבע לא היה משנה את האחוזים

• התחלה: 10,000
• אחרי שנה ראשונה: 10,000 × 1.40 = 14,000
• אחרי שנה שנייה: 14,000 × 0.80 = 11,200
• ממוצע אריתמטי: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% לשנה
• תשואה מצטברת: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% על פני שנתיים

התשואה הגאומטרית היא השיעור הקבוע לתקופה g שמשחזר את מקדם הצמיחה בפועל: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn)

לכן g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. קחו את השורש ה־n של מכפלת מקדמי הצמיחה, ולא של אחוזי התשואה

בדוגמה של שתי השנים, g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% לשנה. שימוש בשיעור הלא־מעוגל נותן 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200

כאשר התקופות הן שנים, תשואה גאומטרית זו שווה לשיעור הצמיחה השנתי המורכב, או CAGR. ללא תזרימים חיצוניים, CAGR = (ערך סופי ÷ ערך התחלתי)^(1/t) − 1, כאשר t הוא מספר השנים שחלפו

בדוגמה נפרדת, 10,000 גדלים ל־15,000 במשך חמש שנים. הרווח הכולל הוא 50%, אך CAGR הוא (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45%, ולא 50% ÷ 5 = 10%

ההסבר של FINRA לתשואה שנתית מבחין גם בין שנתיות בריבית דריבית לבין חלוקת רווח כולל במספר השנים

לשתי שנים של +10% ו־+10% יש אותו ממוצע אריתמטי כמו ל־+40% ו־−20%. ובכל זאת, 10,000 גדלים ל־12,100 במקרה הראשון ול־11,200 במקרה השני

עבור מקדמי צמיחה חיוביים, הממוצע הגאומטרי אינו גדול מהממוצע האריתמטי. הם שווים כאשר תשואת כל תקופה זהה. החילו את הקביעה על אותן תצפיות, לא על קרנות שאינן קשורות

הפער אינו עמלה נוספת שיש לנכות מהיתרה. הערך הסופי בריבית דריבית כבר משקף את התשואות. גם ההשוואה אינה מוכיחה שכל השקעה בעלת תנודתיות נמוכה יותר חייבת להכות השקעה אחרת

הדיון של CFA Institute בשני הממוצעים מסביר מדוע צבירה היא מכפלה ולא סכום

סידור מחדש של זוג התשואות הקבוע הזה משאיר את המכפלה ללא שינוי כאשר אין תזרימי מזומנים. הוא עדיין יכול לשנות את המסלול ואת הירידות שנצפו

ממוצע גאומטרי של תצפיות חודשיות הוא שיעור חודשי. אם כל אחד משנים־עשר החודשים העוקבים מניב בדיוק 1%, הצמיחה השנתית היא (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68%, ולא 12%

הדוגמה מגדירה את כל שנים־עשר החודשים. שנתיות של חודש יחיד שנצפה בשיעור 1% מתארת חזרה היפותטית, לא ביצועים שהושגו בשנה או תחזית

במרווחי תצפית שאינם שווים, ממוצע גאומטרי לתצפית אינו שיעור שנתי באופן אוטומטי. השתמשו בשנים שחלפו בפועל עבור CAGR תקף מנקודת קצה, וציינו את מוסכמת ספירת הימים לשנים חלקיות

מספר שנתי מחליק את נקודות הקצה. הוא אינו אומר שהחשבון הרוויח את השיעור הזה בכל שנה או נמנע מירידות ביניים גדולות

נניח ש־100 מושקעים בנכס A ו־900 בנכס B באותה תקופה. A עולה ב־50%, ואילו B יורד ב־10%. ערכי הסיום שלהם הם 150 ו־810, ובסך הכול 960

תשואת התיק היא (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4%. באופן שקול, משקלי ההתחלה נותנים 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%

הממוצע הלא־משוקלל של +50% ו־−10% הוא +20%, ומתעלם מההקצאה. גם הכפלה של 1.50 ב־0.90 שגויה כאן: האחזקות מתקיימות במקביל, ולא מייצגות שתי תקופות של אותו הון

הפקדות ומשיכות חיצוניות יוצרות גבול נוסף. יתרה שעולה מ־10,000 ל־15,000 לאחר הפקדה של 5,000 אינה בהכרח רווח השקעה של 50%

מתודולוגיית תזרימי המזומנים של GIPS מבחינה בין ביצועים משוקללי זמן לבין תשואות שמשקפות את העיתוי והגודל של תזרימי המזומנים

עלייה באחוזים בפרמיה קטנה של אופציה אינה זהה לעלייה באחוזים בכל החשבון. גדלי עסקאות שונים, פוזיציות חופפות ומזומן לא מושקע מונעים הכפלה שרירותית של תשואות ברמת העסקה

מדריך המינוף של OIC מסביר מדוע פרמיות אופציות יכולות להראות עליות והפסדים באחוזים מוגדלים

בחוזים עתידיים, מרג׳ין שהופקד הוא בטוחה ולא מחיר הרכישה של החשיפה. שינוי המכנה הזה אינו יוצר תשואה חדשה על נכס הבסיס

ההסבר של CME למרג׳ין מזהה מה הכספים האלה מייצגים

השתמשו ב־מכנים לחישוב תשואת חוזים עתידיים להשוואת עסקאות, ובשווי עקבי של החשבון כולו לצבירת תיק. כללו פוזיציות פתוחות וספרו כל עלות פעם אחת

התחילו מהשאלה שנשאלה: ממוצע תצפיות, צמיחה של השקעה אחת או תשואה על תיק של אחזקות בו־זמניות. אלה דורשים חישובים שונים

• תעדו תאריכים, אורכי תקופות, מטבע וערכים התחלתיים וסופיים
• זהו הכנסה, השקעה מחדש, עמלות והפקדות או משיכות חיצוניות
• שחזרו את הערך הסופי ממקדמי צמיחה עוקבים לפני שנתיות
• תייגו בנפרד ממוצע אריתמטי, תשואה מצטברת, תשואה גאומטרית לתקופה ו־CAGR

הנוסחאות של מקדמים חיוביים מניחות שכל תשואה גדולה מ־−100%. בהפסד מלא לא נותר הון לצבירה. הון עצמי שלילי בחשבון דורש ניתוח של תזרימי מזומנים והתחייבויות, ולא השוואת CAGR רגילה