מבחן הקו־אינטגרציה של Johansen: דרגה, מבחן עקבה וערך עצמי מקסימלי

נניח ש־\(y_t\) מכיל \(k\) משתנים, שכל אחד מהם מטופל כ־\(I(1)\) במסגרת מוגדרת של יצירת הנתונים. דרגת הקו־אינטגרציה \(r\) היא מספר הצירופים הליניאריים הבלתי־תלויים של רמות המשתנים שהם סטציונריים. אם \(r=0\), המודל אינו מוצא צירוף כזה לפי המפרט שנבחר. אם \(0<r<k\), יש \(r\) קשרים ארוכי טווח בלתי־תלויים, ובתנאי מערכת \(I(1)\) המקובלים נשארים \(k-r\) מגמות סטוכסטיות משותפות. דרגה אחת פירושה קשר אחד בין משתני המערכת; אין הכרח שמדובר בזוג נכסים ברור אחד.

זו שאלה על מערכת שלמה. הליך Engle–Granger הדו־שלבי אומד משוואה ארוכת טווח מנורמלת אחת ובודק את השארית המותאמת שלה. שיטת הנראות של Johansen אומדת ובודקת את ממד מרחב הקו־אינטגרציה בתוך וקטור אוטורגרסיבי, ולכן יכולה לייצג יותר מקשר בלתי־תלוי אחד. השיטות עונות על שאלות קשורות אך שונות, ותוצאותיהן עשויות שלא להתאים במדגמים סופיים או תחת בחירות שונות של השהיות ורכיבים דטרמיניסטיים.

אפשר לנסח מחדש VAR ברמות בצורה פשוטה של מודל וקטורי לתיקון שגיאות, תוך השמטת רכיבים דטרמיניסטיים כאן:

\[ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p-1}\Gamma_j\Delta y_{t-j}+\varepsilon_t, \qquad \Pi=\alpha\beta^{\mathsf T}. \]

כאן \(p\) היא דרגת ההשהיה של VAR ברמות. העמודות של \(\beta\) מתארות צירופים ארוכי טווח, ואילו \(\alpha\) מכילה מקדמי התאמה המחברים אי־שיווי־משקל קודם לשינויים הנוכחיים. כאשר דרגת \(\Pi\) היא \(r\), ניתן לפרק אותה למטריצות \(\alpha\) ו־\(\beta\) בגודל \(k\times r\). הדרגה, ולא מספר המשתנים לבדו, קובעת כמה איברי תיקון שגיאות נכנסים למערכת.

אם כל \(k\) הסדרות הן באמת \(I(1)\), מקרי הקו־אינטגרציה המקובלים מקיימים \(r<k\). תוצאה של דרגה מלאה מצביעה על רמות סטציונריות סביב הרכיבים הדטרמיניסטיים שהמפרט מאפשר, ולכן יש לבדוק מחדש את הנחת סדר האינטגרציה המקורית. דרגה אפס אינה מוכיחה שאין למשתנים קשר כלשהו; היא אומרת שהמודל שנבחר לא מצא צירוף רמות סטציונרי בדרגה שנבדקה.

נסדר את הערכים העצמיים שנאמדו כך: \(1>\hat\lambda_1\ge\hat\lambda_2\ge\cdots\ge\hat\lambda_k\ge0\). הם מתקבלים מבעיית הדרגה המצומצמת של הליך הנראות ואינם אחוזים רגילים של שונות מוסברת. עבור דרגה מועמדת \(r\), סטטיסטי העקבה הוא

\[ \operatorname{LR}_{\mathrm{trace}}(r)=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat\lambda_i), \]

והוא בודק \(H_0:\operatorname{rank}(\Pi)\le r\) מול \(H_A:\operatorname{rank}(\Pi)>r\). הוא צובר ראיות מכל הערכים העצמיים שנותרו. סטטיסטי הערך העצמי המקסימלי הוא

\[ \operatorname{LR}_{\max}(r,r+1)=-T\ln(1-\hat\lambda_{r+1}), \]

והוא בודק דרגה \(r\) מול הדרגה הבאה, \(r+1\). לכן מבחן העקבה שואל אם מספר הקשרים הכולל גדול מ־\(r\), ומבחן הערך העצמי המקסימלי שואל אם הנתונים תומכים בהוספת הקשר הבא. אף אחד משני הסטטיסטיים אינו מתפלג לפי התפלגות כי־בריבוע הרגילה תחת השערת האפס של הדרגה.

נבחן מערכת של שלושה משתנים עם 200 תצפיות שימושיות וערכים עצמיים משוערים וממוינים \(0.16\), \(0.05\), ו־\(0.01\). אלה מספרים מומצאים להמחשה, לא אומדנים מהשוק. ב־\(r=0\), סטטיסטי העקבה מסכם את שלושת האיברים ושווה בערך 47.14, ואילו סטטיסטי הערך העצמי המקסימלי משתמש רק בראשון ושווה בערך 34.87. ב־\(r=1\), הערכים המתאימים הם בערך 12.27 ו־10.26; ב־\(r=2\), שניהם משתמשים בערך העצמי האחרון ושווים בערך 2.01.

החישוב מפיק סטטיסטיים של מבחן, לא החלטה על הדרגה. כדי לקבל החלטה יש להשוות כל סטטיסטי לערכים קריטיים או לערכי \(p\) שמתאימים בדיוק למקרה הדטרמיניסטי ולסדר הבדיקות. למשל, שורה בטבלת תוכנה שאומרת "לדחות ב־\(r=0\)" היא ראיה נגד דרגה אפס רק תחת הנחות הטבלה ורמת המובהקות שנבחרה; היא אינה הסתברות ישירה לכך שמרווח נכסים מסוים הוא סטציונרי. ערך \(p\) מעל הסף פירושו שלא דוחים את השערת האפס של אותה דרגה, ולא שהוכח שהיא נכונה.

בחרו דרגת VAR שאפשר להצדיק לפני פירוש הדרגה. VAR ברמות מדרגה \(p\) מתאים ל־\(p-1\) השהיות של הפרשים ב־VECM. מעט מדי השהיות עלולות להשאיר מתאם סדרתי בשאריות; רבות מדי צורכות דרגות חופש ועלולות לערער הסקה במדגמים סופיים. קריטריוני מידע יכולים לסייע בארגון הדרגות המועמדות, אך גם אבחון השאריות, גודל המדגם והתזמון הכלכלי חשובים. ציינו כיצד נבחר הסדר ובדקו חלופות סבירות.

החליטו היכן יוצבו קבועים ומגמות: מחוץ לקשר הקו־אינטגרציה, בתוכו עם הגבלות, או ללא רכיבים כאלה במודל המונח. האפשרויות משמען התנהגות ארוכת טווח שונה והתפלגויות שונות של מבחן הדרגה. בחרו מפרט לפי השאלה והנתונים, לא על ידי חיפוש ערך \(p\) נוח במיוחד. השתמשו בערכים קריטיים שתואמים למקרה הדטרמיניסטי המדויק, למספר המשתנים ולמימוש. לסטטיסטיים של דרגת Johansen יש התפלגויות לא־סטנדרטיות. MacKinnon, Haug ו־Michelis חישבו התפלגויות של משטחי תגובה עבור מבחני יחס נראות מסוג Johansen במפרטים מסוימים, ובהם הרחבה שמאפשרת משתנים אקסוגניים מסוג \(I(1)\). אין להחיל את הערכים שלהם על כל הגדרה של מבחן דרגה.

המיקום של רכיב דטרמיניסטי אינו אפשרות קוסמטית בתוכנה. בפרמטריזציות מקובלות, קבוע שמוגבל בתוך קשר הקו־אינטגרציה מאפשר לצירוף שיווי המשקל להיות בעל ממוצע שאינו אפס; קבוע לא מוגבל מחוץ לקשר עשוי לאפשר סחף דטרמיניסטי אחר ברמות. גם הגבלות על מגמה משנות את המסלול ארוך הטווח המונח. טבלה שמציינת רק ״נכלל קבוע״ אינה מלאה בלי לציין היכן הוא נכנס. קראו את משוואת המודל ודווחו על כל הגבלה.

מרחב הקו־אינטגרציה הוא האומדן המרכזי. במודל מדרגה אחת, הכפלת וקטור \(\beta\) בקבוע שאינו אפס אינה משנה איזה צירוף רמות הוא סטציונרי, ולכן האנליסט בוחר נרמול, למשל קביעה שמקדם אחד יהיה 1. בדרגה גבוהה יותר, בסיסים רבים עשויים לפרוש את אותו מרחב; הווקטורים שמציגה התוכנה אינם בהכרח קשרים כלכליים ייחודיים. פירוש וקטור מסוים דורש הגבלות או תאוריה נוספת, ויש לדווח על הנרמול.

מטריצת ההתאמה \(\alpha\) מתארת אילו משתנים מגיבים לאי־שיווי־משקל במערכת שנאמדה. סימן המקדם תלוי בנרמול שנבחר, והאיברים שלה הם מקדמים מותנים במערכת ולא השפעות סיבתיות בפני עצמם. טעינת התאמה קטנה או אפסית עשויה להניע השערה של אקסוגניות חלשה, אך מסקנה כזאת דורשת הגבלות פורמליות מתאימות ואת המודל המונח. דרגת הקו־אינטגרציה לבדה אינה אומרת איזה משתנה "מוביל", איזה קשר משמעותי כלכלית או כיצד זעזוע ישפיע על מחירים בעתיד.

אי־הייחודיות היא תכונה של הפירוק, לא רק עניין של אופן התצוגה. עבור \(H\) לא־סינגולרית, \(\beta H\) ו־\(\alpha(H^{-1})^{\mathsf T}\) יוצרות אותה מטריצה ארוכת טווח \(\Pi\). לכן אפשר לזהות את המרחב שנאמד גם כאשר קבוצה מסוימת של וקטורים המוצגים אינה יחידה. בחירת וקטור אחד כמרווח למסחר דורשת נרמול מפורש או הגבלה כלכלית; יש לנתח בנפרד גם את היחידות והסיכון שלו.

בדרך כלל מעריכים דרגה על ידי בדיקת ערכים מועמדים ברצף, החל מאפס וממשיכים עד להשערת האפס הראשונה שלא נדחית. הדרגה שנבחרה היא בחירת מודל תחת רמת המובהקות והמפרט שנבחרו. אם תוצאות מבחן העקבה ומבחן הערך העצמי המקסימלי שונות, דווחו על שתיהן ובדקו את מספר ההשהיות, הרכיבים הדטרמיניסטיים, עוצמה חלשה, שברים מבניים ורגישות המדגם במקום להסתיר את אי־ההתאמה.

הערכים הקריטיים של יחס הנראות אינם סטנדרטיים ותלויים במפרט המערכת. התנהגות קרובה לשורש יחידה, מדגמים קצרים, חריגים, שינויי משטר, משתנים מסוג \(I(2)\) או משתנים משולבים אקסוגניים עלולים להפוך את מסגרת \(I(1)\) הפשוטה לבלתי מתאימה. טבלת דרגות סטנדרטית אינה מכסה מקרים אלה אוטומטית. עבודתו המקורית של Johansen מפתחת הסקה בנראות תחת הנחות VAR גאוסי; חישובי משטחי תגובה מאוחרים יותר מספקים התפלגויות ייחוס למערכי בדיקה מוגדרים, לא לכל בעיית נתונים אפשרית.

לדוגמה, אם מבחן העקבה דוחה את \(r=0\) ואת \(r=1\), אך אינו דוחה את \(r=2\), הרצף המקובל בוחר בדרגה שתיים תחת המפרט ורמת המובהקות האלה. אין פירוש הדבר שההסתברות שדרגה שתיים נכונה שווה לאחת. הרצף של מבחן הערך העצמי המרבי משווה השערות של דרגות סמוכות, ולכן יש להציג גם את החלטותיו. אין להשתמש בערך הקריטי של אחד המבחנים עבור הסטטיסטי של המבחן האחר.

הדרגה שנבחרה שייכת גם לתקופת המדגם. שינוי בקשר הכלכלי, במבנה השוק או בהגדרות המשתנים עשוי לגרום לאומדנים בתחילת המדגם ובסופו להיות שונים. ניתוח רגישות יכול לחשוף חוסר יציבות כזה, אך חיפוש בנקודות סיום רבות יוצר בעיה נוספת של ריבוי בדיקות. הסבירו אילו חלונות נקבעו מראש והתייחסו לפיצולים שלא תוכננו כאל ראיות חקרניות.

במחקר מסחר, וקטור \(\beta\) שנאמד עשוי להיות מועמד להגדרת מרווח, אך הדרגה אינה מספקת רמות כניסה ויציאה, גדלי פוזיציה או תשואות צפויות. כאשר יש כמה וקטורי קו־אינטגרציה, בחירת צירוף אחד עשויה לכלול נרמול, הגבלות וברירת נתונים. גם קשר סטטיסטי שנאמד עשוי להוביל למשקולות שמשמעותן פוזיציות שורט, מינוף או נזילות נמוכה.

אמדו את המערכת באמצעות מידע שהיה זמין בכל מועד החלטה ובדקו את הליך הבחירה והאמידה מחדש כולו בסדר כרונולוגי. בדקו אם הקשר נשמר מחוץ למדגם וכללו לפי הצורך דיבידנדים, גלגול חוזים, המרת מטבע, מימון, זמינות השאלה, מרווחי קנייה־מכירה, השפעת שוק ועיתוי ביצוע. דחיית השערת דרגה היא ראיה על מודל מוגדר, לא טענה לרווחיות. המדריך על מבחן Engle–Granger ותיקון שגיאות עוסק בחלופה של משוואה אחת; קו־אינטגרציה לעומת מתאם במסחר בזוגות מסביר מדוע מתאם אינו אותה תכונה.

זהו את \(k\) המשתנים, הטרנספורמציות, תדירות התצפיות, תאריכי המדגם והראיות לסדר האינטגרציה. דווחו על דרגת ההשהיה של VAR ברמות, מיקום הרכיבים הדטרמיניסטיים, גודל המדגם האפקטיבי, סטטיסטיים של מבחן העקבה והערך העצמי המקסימלי, ערכים קריטיים או ערכי \(p\) תואמים, רמת המובהקות והחלטות הדרגה העוקבות. ציינו אם שני המבחנים הסכימו, איזו דרגה נבחרה להמשך ואילו בדיקות רגישות שינו את התוצאה.

בעת הצגת וקטורים, ציינו את הנרמול, ההגבלות וטעינות ההתאמה המתאימות. ביישום למסחר, חשפו את המידע שהיה זמין בכל איזון מחדש, כלל בחירת הווקטור, תכנון הבדיקה מחוץ למדגם, העלויות וטיפול בכישלון. הניתוח של Johansen משנת 1988 על וקטורי קו־אינטגרציה90041-3) מפתח את גישת הנראות למרחב הקו־אינטגרציה ולדרגה. הטיפול שלו ב־VAR גאוסי משנת 1991 דן בהסקת דרגה ובהשערות על הווקטורים. MacKinnon, Haug ו־Michelis מספקים התפלגויות של משטחי תגובה למבחני יחס נראות של קו־אינטגרציה. מדריך קשור מסביר סטציונריות ושורשי יחידה.