מבחן הקו־אינטגרציה של Engle–Granger: שאריות ותיקון שגיאות

שתי סדרות שעולות לאורך זמן עשויות להיראות קשורות משום שלשתיהן יש מגמה סטוכסטית משותפת. קו־אינטגרציה היא טענה מצומצמת יותר: אם כל סדרה היא מסדר אינטגרציה אחד, I(1), ייתכן שצירוף מסוים שלהן במשקולות נתונות יהיה סטציונרי, I(0). הצירוף הזה הוא שגיאת שיווי המשקל ארוך הטווח לפי המודל שנבחר. הוא מתנודד סביב התפלגות יציבה ואינו נודד ללא גבול.

הליך Engle–Granger בשני שלבים הוא דרך במשוואה יחידה לבחון את הטענה. בשלב הראשון אומדים קשר ארוך טווח ברמות. בשלב השני בודקים אם בשארית שנאמדה יש שורש יחידה. במדגמים סופיים המבחן תלוי בכיוון המשוואה, משום שבמשוואת השלב הראשון צריך לבחור איזה משתנה נמצא באגף שמאל. המדריך מתמקד במקרה הקלאסי של שני משתנים; הוא אינו מחליף שיטה מערכתית כאשר ייתכנו כמה קשרי קו־אינטגרציה.

ההגדרה המקובלת מניחה שהמשתנים הם I(1): הרמות שלהם אינן סטציונריות לפי המפרט שנבחר, ואילו ההפרשים הראשונים סטציונריים. בדיקות שורש יחידה אינן מושלמות, בייחוד במדגמים קצרים או בקרבת שבר מבני, לכן התייחסו לבדיקת סדר האינטגרציה כאל ראיה ולא כשער מכני. סדרה I(0) המשולבת בסדרה I(1) אינה מתאימה למקרה הקלאסי של קו־אינטגרציה מסדר ראשון שמתואר כאן.

החליטו אם משוואת הטווח הארוך כוללת קבוע, מגמה דטרמיניסטית או אף אחד מהם, בהתאם לשאלה על תהליך יצירת הנתונים. לדוגמה, אפשר לאמוד מחירי נכסים בלוגריתם עם קבוע וללא מגמה דטרמיניסטית בפער; משתנה מצרפי כלכלי עשוי לדרוש מגמה. הרכיבים הדטרמיניסטיים משפיעים הן על שיווי המשקל שנאמד והן על התפלגות מבחן השאריות. בחירתם לאחר חיפוש אחר ערך p קטן מקשה לפרש את תוצאת המבחן.

לשתי סדרות רמה (y_t) ו־(x_t), משוואת שלב ראשון פשוטה היא:

\[ y_t = a + \beta x_t + u_t. \]

אמדו את (a) ואת (eta) בריבועים פחותים רגילים תחת ההנחות שנקבעו, ואז שמרו את \(\hat u_t = y_t-\hat a-\hat\beta x_t\). אם הסדרות מקו־אינטגרטות לפי המפרט הזה, הצירוף שנאמד אמור להיות סטציונרי אף שהרמות הנפרדות אינן סטציונריות.

בדוגמה פיננסית, (y_t) ו־(x_t) עשויים להיות מדדי תשואה כוללת לוגריתמיים של שני נכסים שנמדדו באותה תדירות. המקדם \(\hat\beta\) מגדיר את הצירוף ארוך הטווח שנאמד; הוא אינו משקל תיק ניטרלי לדולר או דל סיכון באופן אוטומטי. שינוי המשתנה באגף שמאל, המדגם, הטיפול בדיבידנדים, המטבע או מפרט המגמה עשוי לשנות את האומדן ואת השארית. הקפידו להבהיר את המשמעות הכלכלית של המשוואה.

רגרסיית שאריות בסגנון Dickey–Fuller מורחב ניתנת לכתיבה כך:

\[ \Delta\hat u_t = \rho\hat u_{t-1} + \sum_{j=1}^{q}\phi_j\Delta\hat u_{t-j} + e_t. \]

ההשערה שאין קו־אינטגרציה שקולה לכך שלשארית יש שורש יחידה; ההשערה החלופית היא שהשארית שנאמדה סטציונרית. בסימון הפשוט לעיל, סטטיסטי מבחן שלילי במידה מספקת הוא ראיה נגד השערת האפס. איברי ההשהיה מסייעים לייצג תלות סדרתית בשארית, ולכן בחירת מספר ההשהיות ואבחון השאריות חשובים. זו בחירה נפרדת מבחירת הקבוע או המגמה בשלב הראשון, שקובעת את סוג הערכים הקריטיים לקו־אינטגרציה. מעט מדי השהיות נוספות עלולות להשאיר תלות סדרתית; פרטו כיצד נבחר מספרן ובדקו חלופות סבירות, כפי שדנים Agiakloglou ו־Newbold.

השארית נאמדת בשלב הראשון, ולכן התפלגותה תחת השערת האפס משתנה. אל תשוו את הסטטיסטי לערכים הקריטיים הרגילים של Dickey–Fuller או לערך p כללי של ADF. השתמשו בערכים קריטיים או בערכי p שנבנו למבחן השאריות של Engle–Granger, לרכיבים הדטרמיניסטיים שנבחרו, למספר המשתנים ולגודל המדגם. Phillips ו־Ouliaris מפתחים את התאוריה האסימפטוטית של מבחנים מבוססי שאריות; MacKinnon מספק ערכים קריטיים בשיטת משטחי תגובה למפרטים נפוצים. אם האיבר הדטרמיניסטי או מספר המשתנים המסבירים בשלב הראשון משתנים, ייתכן שיש להשוות את אותה סטטיסטיקת שאריות לערכי ייחוס קריטיים אחרים.

נניח שחוקר בוחן שני מדדי מחירי לוגריתם חודשיים לאורך מדגם קבוע. לפי מפרטי שורש היחידה שצוינו, נראה ששניהם I(1). רגרסיית השלב הראשון כוללת קבוע ומפיקה שארית חזויה. את סטטיסטי המבחן לשארית משווים להתפלגות Engle–Granger המתאימה לרכיבים הדטרמיניסטיים ולמדגם, ולא לטבלת ADF רגילה.

נניח שבמבחן המתאים מתקבל ערך p הנמוך מסף 5% שהחוקר קבע מראש. החוקר דוחה את השערת האפס של היעדר קו־אינטגרציה במפרט הזה ומוצא ראיה לכך שהצירוף שנאמד סטציונרי. המסקנה מותנית במדגם, בבחירת ההשהיות, ברכיבים הדטרמיניסטיים ובהנחות לגבי סדר האינטגרציה. היא אינה מראה שכל זוג נכסים קשור, שהקשר ישרוד מחוץ למדגם, או שהשארית שנאמדת היא אות כניסה רווחי. אם ערך ה־p היה מעל 5%, הפירוש הנכון הוא „המבחן לא דחה היעדר קו־אינטגרציה” ולא „הוכח שאין קשר בין הסדרות”.

התרשים להלן הוא מושגי: מגמות סטוכסטיות משותפות יכולות להתקיים לצד שארית חסומה, וסטיות מהקשר שנאמד עשויות להצטמצם בהמשך. הוא אינו מציג סדרות שנמדדו בנתונים אמפיריים ואינו מרמז שהתיקון מתרחש תמיד בקצב צפוי.

אם יש ראיות לקשר ארוך טווח, מודל תיקון שגיאות יכול לשלב שינויים בטווח הקצר עם שגיאת שיווי המשקל מהתקופה הקודמת. כאשר \(\hat u_{t-1}=y_{t-1}-\hat a-\hat\beta x_{t-1}\), דוגמה אחת היא:

\[ \Delta y_t = c + \lambda\hat u_{t-1} + \sum_{i=1}^{r}\phi_i\Delta y_{t-i} + \sum_{j=0}^{s}\theta_j\Delta x_{t-j} + \epsilon_t. \]

כאן \(\lambda\) הוא מקדם ההתאמה של \(y_t\) בפרמטריזציה זו. אם (y) נמצא מעל הקשר שנאמד ו־\(\lambda<0\), איבר תיקון השגיאות תורם לשינוי שלילי ב־(y), בהינתן יתר התנאים. פירוש הסימן מתבסס על ההגדרה \(\hat u=y-\hat a-\hat\beta x\); היפוך מוסכמת השארית הופך את סימן המקדם. המקדמים לטווח הקצר מתארים תגובות מותנות נוספות. גם משתנה אחר עשוי להתאים את עצמו; קו־אינטגרציה לבדה אינה קובעת איזה שוק או משתנה כלכלי נושא בהתאמה.

אל תתרגמו את \(\lambda\) באופן מכני ל„הפער נסגר בשיעור הזה מדי חודש” אלא אם למודל יש בפועל צורה דינמית פשוטה כזאת. שינויים מושהים, כמה משתנים שמתאימים, תגובות לא־ליניאריות ושברים משפיעים על המסלול. קשר ארוך טווח יציב אינו מנגנון סיבתי מבני, ומקדם ההתאמה מותנה במודל ובמערך המידע שצוינו.

מסגרת Engle–Granger במשוואה יחידה יכולה לבדוק צירוף ארוך טווח מוצע אחד, גם אם יש בו משתנה תלוי וכמה משתנים מסבירים. עבור שני משתנים I(1), דרגת הקו־אינטגרציה המרבית היא אחת; במערכת גדולה יותר ייתכנו כמה וקטורים מקו־אינטגרטים. מבחן שאריות יחיד אינו קובע את הדרגה המלאה של המערכת; נוהל Johansen נועד לענות על שאלת הדרגה תחת הנחות משלו לגבי VAR והרכיבים הדטרמיניסטיים.

גם הנרמול בשלב הראשון חשוב במדגמים סופיים. רגרסיה של (y) על (x) אינה זהה בדרך כלל מבחינה מספרית לרגרסיה של (x) על (y), אף שמושגית הקשר ארוך הטווח עוסק בצירוף. בחרו נרמול מסיבה כלכלית ברורה ודווחו עליו. אם המסקנה משתנה כשהופכים את המשוואה, תארו את הרגישות במקום לבחור בתוצאה הנוחה.

במדגם קטן עוצמת המבחן עשויה להיות נמוכה, והתוצאה עשויה להיות מושפעת מבחירת ההשהיות, מהרכיבים הדטרמיניסטיים, מחריגים ומשברים מבניים. שבר בקשר ארוך הטווח עלול לגרום לצירוף שהיה סטציונרי להיראות לא יציב לאורך המדגם כולו. דחייה יחידה היא ראיה תחת מפרט נתון, ולא הוכחה שהקשר יישאר לנצח.

ביישום מסחרי אפשר לקרוא לשארית שנאמדה „מרווח”, אך השם אינו מגדיר תיק בר־ביצוע. מרווח ממחירי לוגריתם שונה מפוזיציה בערך כספי, וסדרת מחירים בלבד שונה מסדרת תשואה כוללת. מקדם הרגרסיה עשוי להשתנות; אומדן של סטציונריות השארית אינו קובע סף כניסה, תקופת החזקה, פקודת עצירת הפסד או גודל פוזיציה.

אמדו את הקשר ארוך הטווח תוך שימוש רק במידע שהיה זמין בכל מועד החלטה. אם מקדם הגידור נאמד לאורך כל תקופת הבדיקה ואז מבצעים עסקאות בתאריכים קודמים, מידע עתידי דלף לאות. השתמשו בחלונות כרונולוגיים ליצירה ולהערכה, הביאו בחשבון דיבידנדים, פיצולי מניות, זמינות השאלה, מימון, מרווחי קנייה־מכירה, השפעת שוק ואיזון מחדש, והגדירו מה עושים כשהאבחון מצביע על שבר. חיפוש בין זוגות וחלונות רבים יוצר גם הטיית בחירה שמבחן הקו־אינטגרציה אינו מתקן.

השאלה המעשית אינה רק אם מבחן שאריות יחיד דוחה. שאלו אם יש סיבה כלכלית לכך שהקשר יימשך, אם הוא שורד בדיקת יציבות שקופה, ואם כלל בר־ביצוע נותר כדאי אחרי אי־ודאות ועלויות. קו־אינטגרציה יכול לספק מידע למודל; הוא אינו מבטיח התכנסות, יעילות גידור או תשואה.

ציינו את המשתנים, הטרנספורמציות, התדירות, תאריכי המדגם, הראיות לסדר האינטגרציה והנרמול בשלב הראשון. פרטו את איברי הקבוע והמגמה, סוג מבחן השאריות, כלל בחירת ההשהיות, סטטיסטי המבחן ומקור הערכים הקריטיים או ערכי ה־p הייעודיים לקו־אינטגרציה. דווחו על רגישות לחלופת השהיה או חלון מדגם סבירים וציינו אם נבדקו שברים.

אם אתם אומדים מודל תיקון שגיאות, הגדירו את איבר הסטייה המושהה ואת מוסכמת הסימן, פרטו אילו משתנים רשאים להתאים, והפרידו בין מקדמי הטווח הקצר לקשר ארוך הטווח. במחקר מסחר חשפו גם את חלוקת המדגם הכרונולוגית, כללי בחירת הזוגות, העלויות, המימון, הנחות ההשאלה והטיפול בכישלונות. פרטים אלה מבדילים בין מבחן שניתן לשחזר לבין תרשים שרק נראה כאילו הוא מראה התכנסות.

המאמר המקורי של Engle ו־Granger על ייצוג, אמידה ובדיקה מפתח את הקשר בין קו־אינטגרציה לתיקון שגיאות. Phillips ו־Ouliaris גוזרים את התאוריה האסימפטוטית למבחני קו־אינטגרציה מבוססי שאריות. מחקר הערכים הקריטיים של MacKinnon מסביר ערכי משטחי תגובה שמשתנים לפי גודל המדגם ומפרט המבחן. Agiakloglou ו־Newbold בוחנים את מבנה ההשהיות במבחן Dickey–Fuller המורחב90022-Q). למערכת שעשויים להיות בה כמה קשרים, ראו את הניתוח של Johansen לווקטורים מקו־אינטגרטים90041-3). מדריכים קשורים מסבירים קו־אינטגרציה לעומת מתאם במסחר זוגות, שורשי יחידה וחזרה לממוצע, והיטל מקומי לתגובות להלם.