התפלגות נורמלית לעומת התפלגות Student-t בפיננסים

משתנה נורמלי ניתן לכתיבה כ־X=μ+σZ, כאשר Z נורמלי סטנדרטי ו־σ שווה לסטיית התקן שלו

משתנה Student-t של מיקום וסולם ניתן לכתיבה כ־X=μ+sT_ν, כאשר s הוא פרמטר סולם ו־ν קובע את עובי הזנב

שניהם סימטריים סביב μ, ולכן אף אחד מהם אינו מייצר הטיית תשואה בלי להרחיב או לשנות את המודל

הסטטיסטי הקלאסי T=Z/√(V/ν), כאשר Z∼N(0,1) ו־V∼χ²_ν בלתי־תלויים, מתפלג לפי Student-t סטנדרטי

המכנה האקראי הופך ערכים מתוקננים גדולים לסבירים יותר מאשר בחוק נורמלי עם שונות קבועה

כאשר ν שואף לאינסוף, אי־הוודאות במכנה נעלמת והתפלגות Student-t מתקרבת להתפלגות הנורמלית

הזנבות של Student-t דועכים כחוק חזקה הנשלט על ידי ν, ואילו זנבות נורמליים דועכים אקספוננציאלית בריבוע המרחק

הממוצע קיים עבור ν>1, השונות עבור ν>2 והמומנט הרביעי עבור ν>4; ν נמוך יותר מבטל את מומנט האוכלוסייה המתאים

עבור ν>4, עודפות קורטוזיס היא 6/(ν−4), ולכן המעבר לזנבות נורמליים נעשה מפורש

בהתפלגות t של מיקום וסולם עם ν>2, מתקיים Var(X)=s²ν/(ν−2), ולכן s קטן מסטיית התקן

השוואת σ נורמלי לסולם t מסוג s כאילו שניהם תנודתיות יכולה ליצור השוואת זנב או הסתברות שגויה

חבילות תוכנה משתמשות בשמות פרמטרים שונים ולעיתים בגרסאות מתוקננות לשונות אחת, לכן יש לתעד את מוסכמת הצפיפות המדויקת

נראות מרבית נורמלית גורמת לשאריות בריבוע לשלוט ויכולה לאפשר לכמה תצפיות קיצוניות לנפח את אומדן השונות

נראות Student-t מפחיתה את משקלן של שאריות מתוקננות גדולות באמצעות ν, ומספקת התאמה שנראית חסינה בלי להכריז עליהן כבלתי אפשריות

אמידת ν בקרבת גבול של מומנט יכולה להפוך שונות, קורטוזיס ומדדי סיכון לבלתי יציבים גם כשהאופטימייזר מתכנס

חוק נורמלי רב־משתני גורר קופולה גאוסיאנית, שלה תלות זנב אסימפטוטית אפסית מתחת למתאם מושלם

חוק t רב־משתני חולק סולם אקראי ויוצר תלות זנב חיובית וסימטרית עבור ν סופי

הסימטריה הזו עדיין עלולה להיות שגויה למניות אם קריסות משותפות שונות מעליות משותפות או אם התלות משתנה בין משטרים

השוו גרפי הסתברות וקוונטילים, חריגות מסף, נראות חיזוי, כיסוי מרווחים ובדיקות VaR או ES

בצעו התאמה מחדש בחלונות מתגלגלים ובדקו חלופות t מוטה, תערובות, תנודתיות סטוכסטית ושאריות מסוננות כאשר המבנה נותר

התאמת t טובה יותר פירושה שהיא קירוב שימושי יותר למשימה שנבחרה, לא שהתשואות באמת מצייתות לחוק t בלתי משתנה אחד