Volatilité réalisée à deux échelles : estimer la variance avec le bruit de microstructure

La variance réalisée se calcule souvent en additionnant les rendements au carré. Si les logarithmes des prix observés suivaient exactement le prix efficient, des observations plus fréquentes permettraient d’en suivre la trajectoire de plus près. Mais les prix de transaction et les cotations réels reflètent aussi le rebond du bid-ask, la discrétisation des prix, la latence et d’autres effets de microstructure. Sur des intervalles très courts, ces effets peuvent dépasser le mouvement du prix efficient entre deux observations.

La variance réalisée naïve peut donc augmenter avec la fréquence d’observation alors que la variance intégrée sous-jacente de la séance n’a pas changé. Cela ne prouve pas que la volatilité économique de l’actif a augmenté : le phénomène peut venir de différences de prix bruitées, mises au carré et additionnées de nombreuses fois. Le guide de calcul de la volatilité réalisée présente la somme usuelle des rendements au carré ; cet article porte sur une source particulière de biais dans les données haute fréquence.

Zhang, Mykland et Aït-Sahalia ont proposé TSRV pour utiliser deux résolutions à des fins différentes (étude originale des deux échelles). Une grille espacée réduit le nombre d’incréments contaminés par le bruit. La moyenne de grilles espacées décalées évite de dépendre d’un seul point de départ arbitraire. La grille fine complète fournit une estimation mise à l’échelle du biais de bruit à soustraire. Le résultat dépend d’hypothèses et de choix en échantillon fini : c’est un estimateur assorti d’incertitude, pas une observation sans bruit de la trajectoire latente.

Soit \(X_t\) le log-prix efficient latent, modélisé sur la fenêtre par un processus continu de taux de variance local \(\sigma_t^2\). La cible est sa variance intégrée :

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Supposons que le log-prix enregistré à l’instant d’observation \(t_i\) soit

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

où \(\epsilon_{t_i}\) désigne le bruit d’observation. La dérivation classique part d’un modèle de référence dans lequel le bruit est de moyenne nulle, indépendant entre les instants et du processus de prix efficient, et de variance constante \(\omega^2\). Elle suppose aussi un échantillonnage régulier et un modèle continu adapté pour le prix efficient sur la fenêtre. Ce sont des hypothèses de modélisation, pas une description universelle des données de marché.

L’incrément observé est \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\). L’erreur d’une observation entre avec des signes opposés dans deux rendements voisins : une erreur positive augmente l’un et diminue le suivant. Les rendements calculés à partir de prix bruités ne se comportent donc pas comme des erreurs de mesure indépendantes. Le guide sur la variation quadratique en finance explique pourquoi les sommes d’incréments au carré visent la variation de trajectoire en l’absence de bruit.

La cible ici est la variance sur une fenêtre donnée. Ce n’est ni une estimation du bid-ask, ni une prévision, ni un coût d’exécution réalisé. Pour une autre question portant sur les prix de transaction, consultez l’estimateur de Roll du bid-ask. Il faut nommer précisément la cible, car plusieurs méthodes de microstructure utilisent des prix haute fréquence tout en estimant des quantités différentes.

Pour \(n\) rendements sur la grille fine, définissons la variance réalisée complète :

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

Dans le modèle de référence, la composante de bruit d’un rendement observé est \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\), de variance \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\). En négligeant les termes croisés d’espérance nulle sous les hypothèses d’indépendance, l’espérance de la somme fine est approximativement

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

Le premier terme est la variance intégrée recherchée ; le second accumule une contribution du bruit pour chaque rendement fin. Quand l’intervalle d’échantillonnage diminue et que \(n\) augmente, le terme de bruit peut dominer. « Échantillonner le plus souvent possible » n’est donc pas une règle sûre si le bruit de mesure est ignoré. Aït-Sahalia, Mykland et Zhang étudient l’intervalle d’échantillonnage optimal fini en présence de bruit de microstructure.

Cette approximation décrit une espérance sous un modèle. Un échantillon particulier contient aussi des termes croisés aléatoires entre incréments du prix efficient et du bruit ; la valeur réalisée n’est donc pas nécessairement égale à l’espérance. Si la variance du bruit varie au cours de la séance, si les erreurs présentent une dépendance sérielle ou si l’échantillonnage est irrégulier, \(2n\omega^2\) peut ne pas décrire le biais. Une formule connue peut alors produire un chiffre apparemment précis qui corrige le mauvais terme.

Choisissez un entier \(K>1\). Pour chaque décalage \(k=0,\ldots,K-1\), calculez la variance réalisée sur une grille espacée en ne retenant qu’un prix observé sur \(K\) :

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

Chaque incrément espacé couvre une période plus longue, mais la grille couvre à peu près la même fenêtre d’observation. Faites la moyenne sur les décalages disponibles :

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Les décalages comptent. Une seule grille espacée peut commencer juste avant ou après un grand mouvement et rendre le résultat sensible à ce choix. Moyenner des grilles décalées réduit cette dépendance au point de départ. Cela ne crée pas \(K\) jeux de données indépendants : les grilles réutilisent les mêmes observations et sont statistiquement dépendantes.

Avec un bruit d’observation indépendant et de variance égale, la différence des bruits aux extrémités d’un incrément espacé conserve une variance \(2\omega^2\), puisque les extrémités correspondent à des observations distinctes. Il y a toutefois moins de rendements espacés que de rendements fins ; la moyenne accumule donc moins de biais de bruit. La contribution du signal reste proche de la variance intégrée, car les incréments espacés couvrent la fenêtre, et non une simple fraction de celle-ci.

L’illustration de cet article est conceptuelle : elle compare une trajectoire observée en dents de scie à plusieurs vues espacées et décalées autour d’une trajectoire latente plus lisse. Elle ne représente ni des données de marché ni le résultat d’un estimateur. Pour les estimateurs fondés sur les plus hauts et les plus bas, consultez le guide des estimateurs de volatilité par l’amplitude OHLC.

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Soit \(\bar n\) le nombre moyen de rendements espacés parmi les grilles décalées, et \(\lambda=\bar n/n\). Dans le modèle de référence, le biais de bruit moyen des grilles espacées est d’environ \(2\bar n\omega^2\). Celui de la grille fine est d’environ \(2n\omega^2\) ; ainsi, \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\) apporte environ \(2\bar n\omega^2\). La soustraction annule le terme principal de bruit :

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

Cette différence brute soustrait aussi une fraction \(\lambda\) du signal de variance intégrée, puisque les deux termes de variance réalisée contiennent du signal. Une normalisation d’échantillon fini courante est donc

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

Le dénominateur rétablit le coefficient du signal dans le calcul simplifié de l’espérance. Les conventions et le traitement des extrémités varient selon l’implémentation ; documentez la définition de \(n\), l’ensemble des décalages et le calcul de \(\bar n\). Cette correction ne supprime pas l’incertitude d’échantillonnage et ne répare pas un modèle de bruit mal spécifié. Dans le cadre asymptotique classique, \(\lambda\) diminue quand l’échantillon grandit, mais le facteur peut rester important sur une fenêtre courte.

L’estimation peut être négative lorsque \(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\). Cela ne signifie pas que la variation physique est négative : la soustraction du bruit a dépassé l’estimation espacée dans cet échantillon fini. Remplacer la valeur par zéro pour l’affichage change l’estimateur et ajoute une règle de troncature. Conservez la valeur brute pendant l’analyse, vérifiez les échelles et les hypothèses, puis signalez tout écrêtage appliqué ensuite.

Supposons que sept observations hypothétiques du log-prix produisent six rendements fins en points de base : \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp. Cette petite séquence ne sert qu’à illustrer le calcul ; ce ne sont pas des données de marché. La variance réalisée de la grille fine est

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Prenez \(K=2\). Le premier décalage regroupe des rendements fins voisins et donne les rendements espacés \([2,-2,2]\) bp, dont la somme des carrés est \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\). Le décalage suivant donne \([0,0]\) bp, soit une somme des carrés nulle. La moyenne des deux estimations est donc \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\).

Avec six rendements fins et ces deux décalages, le nombre moyen de rendements espacés est \(\bar n=(3+2)/2=2{,}5\). Ainsi, \(\lambda=2{,}5/6=5/12\), et

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3{,}5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

L’estimation de variance vaut \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\) en rendement décimal au carré. Sa racine est d’environ \(2{,}45\) bp sur cette fenêtre hypothétique ; elle n’est pas annualisée. Le fait que TSRV égale numériquement la variance fine dans cette petite séquence construite n’est pas une identité générale. D’autres trajectoires peuvent donner une estimation supérieure, inférieure ou même négative.

Cet exemple illustre aussi une limite du modèle : la trajectoire latente et le bruit ne sont pas observés séparément, donc l’échantillon ne prouve pas que \(6\,\mathrm{bp}^2\) est la vraie variance intégrée. On peut vérifier les sommes, l’échelle et les unités, mais pas retrouver la décomposition cachée à partir de l’exemple. La littérature étudie aussi des méthodes telles que les realized kernels pour corriger le bruit haute fréquence ; elles reposent sur leurs propres hypothèses et choix d’implémentation.

\(K\) règle l’équilibre entre le nombre de rendements espacés, le moyennage et la correction du bruit. Si \(K\) est trop petit, de nombreux incréments courts subsistent et l’estimation peut rester sensible au bruit. S’il est trop grand, il reste peu de rendements grossiers ; l’estimation devient instable et davantage exposée aux effets de fenêtre finie. Le moyennage des décalages aide à aligner les grilles, mais ne crée pas d’information absente d’un échantillon court ou de mauvaise qualité.

Dans l’analyse asymptotique originale, l’espacement grossier préféré augmente avec la taille de l’échantillon ; sous la notation et les conditions de référence de l’article, il est de l’ordre de \(n^{2/3}\) (analyse originale). C’est un résultat théorique d’échelle, et non une consigne universelle sur un nombre précis de secondes ou d’observations. L’optimum dépend du rapport signal-bruit et des hypothèses ; des travaux ultérieurs et des implémentations pratiques peuvent retenir d’autres règles de réglage et conventions aux extrémités. Indiquez l’intervalle d’échantillonnage, \(K\), les décalages, les limites de séance et la normalisation afin que le calcul puisse être reproduit.

Une analyse défendable peut comparer un ensemble de valeurs plausibles de \(K\) défini à l’avance et montrer leur sensibilité, plutôt que de choisir après coup le réglage le plus favorable. Si les estimations varient nettement, cette instabilité fait partie du résultat. Choisissez l’échelle selon le plan des données et une règle documentée avant d’observer le résultat souhaité. Une comparaison avec une variance réalisée moins fréquente ou une méthode robuste au bruit peut être utile, mais nommez distinctement chaque mesure.

La correction classique est dérivée pour une structure de bruit donnée. Le rebond du bid-ask et d’autres effets de microstructure peuvent être dépendants dans le temps, varier au cours de la séance, dépendre de la liquidité ou être corrélés aux variations du prix efficient. Hansen et Lunde documentent que les interactions entre variance réalisée et bruit peuvent inclure une dépendance temporelle et une corrélation avec les variations du prix efficient (leur étude). Aït-Sahalia, Mykland et Zhang ont ensuite développé des méthodes à deux échelles pour un bruit de microstructure dépendant. Cette extension justifie de distinguer l’estimateur modifié de la formule initiale à bruit iid ; elle ne prouve pas que la formule initiale gère toute dépendance.

Parmi les autres difficultés figurent les heures d’observation irrégulières, les actifs asynchrones, les cotations périmées, la discrétisation des prix, les sauts, les transactions erronées, les effets d’ouverture et de clôture et les observations manquantes. Elles peuvent modifier la correction fine et les rendements présents sur les grilles espacées. Selon la question étudiée, les sauts peuvent faire partie de la variation quadratique cible ou devoir être séparés ; TSRV ne tranche pas ce choix de modèle. Filtrer les observations modifie aussi la grille et doit être documenté.

La robustesse au bruit n’immunise pas contre tous les problèmes de données. Avant d’interpréter l’estimation comme une mesure de variance latente, précisez si l’entrée est un prix de transaction, une cotation ou un milieu de fourchette ; indiquez la transformation des rendements et l’horloge ; vérifiez la régularité des intervalles ; consignez le nettoyage, les règles de séance et la sensibilité à \(K\). Si le processus de bruit viole les hypothèses de référence, utilisez une méthode conçue pour ce cas et expliquez ses hypothèses. Ne qualifiez pas une estimation négative de volatilité négative et ne la transformez pas silencieusement en valeur positive.

Un compte rendu transparent nomme la fenêtre cible, la série de prix, l’intervalle d’échantillonnage, le nombre de rendements fins, l’espacement \(K\), les décalages, la règle aux extrémités, les hypothèses de bruit, la normalisation, les unités et tout écrêtage. Il peut montrer côte à côte la différence brute et l’estimation normalisée, ainsi qu’une plage de sensibilité pour des échelles définies à l’avance. Ces précisions rendent le calcul vérifiable et évitent de confondre une estimation de variance avec une cotation, une prévision future ou la preuve d’une stratégie rentable.

La variance intégrée est mesurée sur la fenêtre observée. Son annualisation demande une convention temporelle explicite et ne doit pas masquer les profils intrajournaliers, les périodes nocturnes ou les interruptions de cotation. La racine carrée l’exprime en volatilité pour cette fenêtre ; elle ne crée pas un horizon de prévision. Une mesure réalisée historique peut alimenter un modèle, mais sa capacité prédictive doit être évaluée séparément, hors échantillon, sans réutiliser les données ayant servi à choisir les réglages.

L’apport de TSRV est méthodologique : sous un modèle explicite de bruit additif, il utilise deux échelles d’échantillonnage pour réduire le biais de bruit dominant qui rend incohérente la variance réalisée naïve à haute fréquence. Il n’identifie pas la source de chaque mouvement, n’élimine pas le risque de modèle et ne révèle pas la volatilité future. Présentez ces limites avec le chiffre.