Das SABR-Volatilitätsmodell erklärt
Erfahren Sie, wie das SABR-Modell einen zufälligen Forward und Volatilität verbindet, wie Alpha, Beta, Rho und Vol-of-Vol den Smile formen und wo die Approximation versagen kann
Kurzantwort
SABR koppelt einen zufälligen Forward und die Volatilität über korrelierte Schocks. Alpha, Beta, Rho und Vol-of-Vol erzeugen einen kompakten impliziten Volatilitäts-Smile, aber die Kalibrierung und die verbreitete asymptotische Formel haben wichtige Grenzen
SABR modelliert einen Forward und seine Volatilität gemeinsam
Der Name ist eine Abkürzung für stochastic alpha beta rho. Der Forward folgt einer Diffusion mit konstanter Elastizität, während sein Volatilitätsniveau einem Zufallsprozess folgt
Die beiden Schocks sind korreliert. Diese gemeinsame Bewegung erlaubt es dem impliziten Volatilitäts-Smile, auf eine Bewegung des Forwards zu reagieren, statt eine feste Kurve zu bleiben
SABR wurde in den Zins- und Devisenmärkten bedeutend, in denen die Quotierung und Steuerung von Smiles nach Verfall und Laufzeit zentral ist
Vier Parameter teilen die Modellierungsaufgabe
Alpha legt die anfängliche Volatilitätsskala fest. Beta steuert über den Elastizitätsterm, wie das Forward-Niveau die Größe der Preisschwankungen verändert
Rho ist die Korrelation zwischen Forward- und Volatilitätsschocks. Nu, oft Vol-of-Vol genannt, steuert, wie unsicher das künftige Volatilitätsniveau ist
Die Rollen sind nicht unabhängig. Eine sichtbare Änderung von Smile-Niveau, -Neigung oder -Krümmung kann durch miteinander interagierende Parameteränderungen erzeugt werden
Beta und Rho formen die Asymmetrie
Beta ist im Grenzfall des lognormalen Modells gleich eins und im Grenzfall des normalen Modells gleich null. Zwischenwerte verändern, wie die Volatilität mit dem Forward skaliert
Negatives Rho tendiert dazu, die implizite Volatilität auf der Seite niedriger Strikes gegenüber der oberen Seite zu erhöhen; positives Rho neigt den Smile in die andere Richtung
Nu fügt Krümmung hinzu, indem es die Verteilung der künftigen Volatilität verbreitert. Seine Wirkung hängt mit Rho und der Zeit zusammen und sollte deshalb nicht nur aus einem Wing abgelesen werden
Die Kalibrierung wird meist nach Smile-Slices organisiert
Für einen Verfall passt die Kalibrierung die Parameter an Markt-Implizitvolatilitäten über mehrere Strikes an und fixiert häufig Beta, während Alpha, Rho und Nu gelöst werden
Das Fixieren von Beta kann Instabilität reduzieren, weil Beta und Rho sich über einen begrenzten Strike-Bereich gegenseitig ersetzen können. Die Wahl sollte dokumentiert und nicht verborgen werden
Gewichtungen, Geld-Brief-Spannen, Strike-Abdeckung, die normale gegenüber der lognormalen Quotierungskonvention, Shifts und Optimierungsbeschränkungen beeinflussen allesamt das Ergebnis
Smile-Dynamik ist für das Hedging wichtig
Hagan und Mitautoren entwickelten SABR teilweise, um Smile-Bewegungen zu erfassen, durch die Hedging mit lokaler Volatilität sich anders verhalten kann als beobachtete Märkte
Da Forward- und Volatilitätsschocks korreliert sind, erzeugt das Modell eine bedingte Beziehung zwischen einer Forward-Bewegung und einer Smile-Verschiebung
Eine angepasste Beziehung ist weiterhin ein Szenario, kein Gesetz. Die reale Reaktion des Smiles kann sich nach Regime, Laufzeit, Ereignis sowie Richtung oder Geschwindigkeit der Bewegung ändern
Die verbreitete Formel ist eine Approximation
SABR wird oft über Hagans asymptotischen Ausdruck für die implizite Volatilität implementiert und nicht durch eine exakte Integration des stochastischen Prozesses
Die Genauigkeit kann bei langen Laufzeiten, extremen Strikes, hoher Vol-of-Vol oder schwierigen Parameterkombinationen abnehmen. Manche Implementierungen benötigen für niedrige Zinsen außerdem Shifts
Prüfen Sie Preise, Dichten und Bedingungen für statische Arbitrage über den gesamten vorgesehenen Bereich. Ein kleiner Kalibrierungsfehler an liquiden Strikes validiert keine entfernten Wings
Behandeln Sie die Parameter als kontrollierte Koordinaten
Überwachen Sie die Stabilität der Parameter über Zeitpunkte und benachbarte Verfälle, erzwingen Sie aber keine Glättung, die den Quotierungsfit verschlechtert oder eine Kalenderinkonsistenz erzeugt
Vergleichen Sie die Approximation mit numerischen Benchmarks und alternativen Smile-Modellen. Stresstesten Sie Forward-Bewegungen, Volatilitätsschocks, Korrelationen und extrapolierte Strikes
SABR ist eine nützliche Sprache für Smile-Risiko, aber kein eindeutig wahrer Prozess. Halten Sie Quotierungskonvention, Bereich, Fit-Fehler, Version und bekannte Fehlerbedingungen mit jeder Oberfläche fest
Häufige Fragen
Wofür steht SABR?
Es steht für stochastic alpha beta rho und benennt das Modell sowie drei seiner üblichen Parameter; Nu ist der Parameter für die Volatilität der Volatilität
Was bewirkt Beta in SABR?
Beta steuert, wie sich die Skala der Forward-Preisschwankungen mit dem Forward-Niveau verändert, und spannt ein Verhalten zwischen normaler und lognormaler Form auf
Warum wird Beta bei der Kalibrierung oft fixiert?
Bei begrenzten Strikes kann Beta mit Rho und anderen Parametern austauschbar sein. Das Fixieren kann die verbleibende Kalibrierung stabiler und besser interpretierbar machen
Ist der SABR-Smile arbitragefrei?
Nicht automatisch. Die verbreitete Formel ist eine Approximation. Daher sollten Preise und implizite Dichten im verwendeten Bereich auf Strike- und Kalenderarbitrage geprüft werden