Arithmetische gegenüber geometrischen Renditen: Warum ein Durchschnitt von 10 % kein Wachstum von 10 % ist

Verwenden Sie aufeinanderfolgende, gleich lange Zeiträume für dieselbe Anlage oder dasselbe Portfolio. Rechnen Sie in einer Währung, mit einem positiven Anfangswert und ohne externe Zahlungsströme. Legen Sie fest, ob Erträge wiederangelegt werden und ob Renditen Kosten enthalten.

Schreiben Sie jede Periodenrendite als Dezimalzahl r: 40 % wird zu 0.40 und ein Verlust von 20 % zu −0.20. Ihr Wachstumsfaktor ist 1 + r und nicht r selbst.

Arithmetischer Durchschnitt = (r1 + r2 + ... + rn) ÷ n. Er beschreibt die durchschnittliche beobachtete Rendite eines einzelnen Zeitraums. Er rekonstruiert nicht den Endsaldo eines kontinuierlich investierten Kontos.

Für aufeinanderfolgende Zeiträume multiplizieren Sie die Wachstumsfaktoren: kumulierte Rendite = (1 + r1) × (1 + r2) × ... × (1 + rn) − 1.

Halten Sie Kursrendite und Gesamtrendite während der gesamten Reihe konsistent. Ein Wechsel zwischen beiden Größen in der Mitte beschreibt ein anderes Problem als die Wahl eines Durchschnitts.

Betrachten Sie zwei vollständige Jahre und 10,000 Einheiten einer unveränderten beliebigen Währung. Die hypothetischen Renditen betragen im ersten Jahr +40 % und im zweiten Jahr −20 %. Es gibt keine Gebühren, Ausschüttungen, Einzahlungen oder Abhebungen.

Würde man den arithmetischen Durchschnitt aufzinsen, ergäbe sich stattdessen 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100. Diese zusätzlichen 900 sind in diesem Konto nie entstanden; sie gehören zu einem anderen Renditepfad.

Das Beispiel ist eine eigene arithmetische Rechnung, kein Backtest, kein Ergebnis einer realen Anlage und keine Prognose. Das Währungssymbol würde die Prozentsätze nicht verändern.

• Start: 10,000
• Nach Jahr eins: 10,000 × 1.40 = 14,000
• Nach Jahr zwei: 14,000 × 0.80 = 11,200
• Arithmetischer Durchschnitt: (40% − 20%) ÷ 2 = 10% pro Jahr
• Kumulierte Rendite: 11,200 ÷ 10,000 − 1 = 12% über zwei Jahre

Die geometrische Rendite ist die konstante Periodenrate g, die den tatsächlichen Wachstumsfaktor reproduziert: (1 + g)^n = (1 + r1) × ... × (1 + rn).

Daher gilt g = [(1 + r1) × ... × (1 + rn)]^(1/n) − 1. Ziehen Sie die n-te Wurzel aus dem Produkt der Wachstumsfaktoren und nicht aus den Renditeprozenten.

Für das Beispiel mit zwei Jahren gilt g = (1.12)^(1/2) − 1 ≈ 5.8301% pro Jahr. Mit der ungerundeten Rate ergibt sich 10,000 × (1 + g)^2 = 11,200.

Wenn die Zeiträume Jahre sind, entspricht diese geometrische Rendite der jährlichen Wachstumsrate mit Zinseszinseffekt, also CAGR. Ohne externe Zahlungsströme gilt CAGR = (Endwert ÷ Anfangswert)^(1/t) − 1, wobei t die verstrichenen Jahre bezeichnet.

Ein separates Beispiel wächst über fünf Jahre von 10,000 auf 15,000. Der Gesamtgewinn beträgt 50 %, aber CAGR ist (1.5)^(1/5) − 1 ≈ 8.45 % und nicht 50 % ÷ 5 = 10 %.

[FINRAs Erklärung zur annualisierten Rendite](https://syndication.finra.org/content/how-are-your-investments-doing-returns-explained) unterscheidet ebenfalls zwischen jährlicher Aufzinsung und der Division eines Gesamtgewinns durch die Jahre.

Zwei Jahre mit +10 % und +10 % haben denselben arithmetischen Durchschnitt wie +40 % und −20 %. Dennoch wachsen 10,000 im ersten Fall auf 12,100 und im zweiten auf 11,200.

Für positive Wachstumsfaktoren ist das geometrische Mittel nicht größer als das arithmetische Mittel. Gleich sind sie, wenn jede Periodenrendite gleich ist. Wenden Sie diese Aussage auf dieselben Beobachtungen und nicht auf voneinander unabhängige Fonds an.

Die Differenz ist keine zusätzliche Provision, die vom Saldo abzuziehen wäre. Der aufgezinste Endwert berücksichtigt die Renditen bereits. Der Vergleich beweist auch nicht, dass jede Anlage mit geringerer Volatilität eine andere Anlage übertreffen muss.

[Die Diskussion des CFA Institute zu den beiden Mitteln](https://rpc.cfainstitute.org/blogs/enterprising-investor/2015/the-myth-of-volatility-drag-part-1) erklärt, warum Aufzinsung ein Produkt und keine Summe ist.

Das Vertauschen dieses festen Renditepaars lässt das Produkt bei fehlenden Zahlungsströmen unverändert. Es kann dennoch den Pfad und den beobachteten Drawdown verändern.

Ein geometrischer Durchschnitt aus Monatsbeobachtungen ist eine Monatsrate. Wenn zwölf aufeinanderfolgende Monate jeweils genau 1 % Rendite bringen, beträgt das Jahreswachstum (1.01)^12 − 1 ≈ 12.68 % und nicht 12 %.

Dieses Beispiel legt alle zwölf Monate fest. Die Annualisierung eines einzelnen beobachteten Monats mit 1 % beschreibt eine hypothetische Wiederholung und nicht die realisierte Wertentwicklung eines Jahres oder eine Prognose.

Bei ungleichen Beobachtungsintervallen ist ein geometrisches Mittel pro Beobachtung nicht automatisch eine Jahresrate. Verwenden Sie für eine gültige Endpunkt-CAGR die tatsächlich verstrichenen Jahre und geben Sie die Tagzählung für Teiljahre an.

Eine annualisierte Zahl glättet die Endpunkte. Sie sagt nicht, dass das Konto in jedem Jahr diese Rate erzielt hat, und verhindert keine großen zwischenzeitlichen Verluste.

Angenommen, 100 sind in Anlage A und 900 in Anlage B über denselben Zeitraum investiert. A gewinnt 50 %, B verliert 10 %. Die Endwerte sind 150 und 810, zusammen 960.

Die Portfoliorendite beträgt (960 − 1,000) ÷ 1,000 = −4 %. Gleichwertig ergibt sich mit den Anfangsgewichten 0.10 × 50% + 0.90 × (−10%) = −4%.

Der ungewichtete Durchschnitt von +50 % und −10 % beträgt +20 % und ignoriert die Aufteilung. Auch die Multiplikation von 1.50 mit 0.90 ist hier falsch: Die Bestände existieren gleichzeitig, statt zwei Zeiträume desselben Kapitals darzustellen.

Externe Einzahlungen und Abhebungen schaffen eine weitere Grenze. Ein Saldo, der nach einer Einzahlung von 5,000 von 10,000 auf 15,000 steigt, ist nicht automatisch ein Anlagegewinn von 50 %.

[Die GIPS-Methodik zu Zahlungsströmen](https://www.gipsstandards.org/standards/gips-standards-for-firms/gips-standards-handbook-for-firms/) unterscheidet die zeitgewichtete Wertentwicklung von Renditen, die Zeitpunkt und Höhe der Zahlungsströme berücksichtigen.

Ein prozentualer Gewinn auf eine kleine Optionsprämie ist nicht dasselbe wie ein prozentualer Gewinn auf das gesamte Konto. Unterschiedliche Handelsgrößen, überlappende Positionen und uninvestierte Barmittel verhindern eine beiläufige Multiplikation einzelner Handelsrenditen.

[OICs Leitfaden zur Hebelwirkung](https://www.optionseducation.org/optionsoverview/leverage-risk) erklärt, warum Optionsprämien prozentuale Gewinne und Verluste vergrößert erscheinen lassen können.

Bei Futures ist die hinterlegte Margin eine Sicherheit und nicht der Kaufpreis des Engagements. Eine Veränderung dieses Nenners erzeugt keine neue Rendite auf den zugrunde liegenden Vermögenswert.

[Die Margin-Erklärung der CME](https://www.cmegroup.com/education/courses/introduction-to-futures/margin-know-what-is-needed) beschreibt, wofür diese Mittel stehen.

Verwenden Sie Nenner für Futures-Renditen für einen Handelsvergleich und konsistente Gesamtbewertungen des Kontos für die Aufzinsung eines Portfolios. Beziehen Sie offene Positionen ein und zählen Sie jede Kostenposition nur einmal.

Beginnen Sie mit der eigentlichen Frage: Geht es um den Durchschnitt einer Beobachtung, das Wachstum einer Anlage oder die Rendite eines Portfolios gleichzeitig gehaltener Bestände? Dafür sind unterschiedliche Berechnungen erforderlich.

Die Formeln für positive Faktoren setzen voraus, dass jede Rendite über −100 % liegt. Bei einem vollständigen Verlust bleibt kein Kapital zum Aufzinsen übrig. Negative Kontoeigenmittel erfordern eine Analyse von Zahlungsströmen und Verbindlichkeiten und keinen normalen CAGR-Vergleich. [!TRYMARK] TryMark-Prüfung der Durchschnittsrendite Richten Sie bei der nächsten Performanceprüfung den gemeldeten Endwert als Ziel aus. Rekonstruieren Sie ihn aus datierten Kontorenditen und prüfen Sie das Ergebnis erneut, wenn sich Kosten, Wiederanlageannahmen oder externe Zahlungsströme ändern. [!WARNING] Ein historischer Durchschnitt garantiert kein wiederholbares Wachstum Weder der arithmetische noch der geometrische Durchschnitt legt die Rendite des nächsten Jahres fest. Eine höhere erforderliche Rendite oder eine glatte CAGR rechtfertigt keinen höheren Hebel. Diese Beispiele erklären eine Messung und sind keine Anlageempfehlung.

• Erfassen Sie Daten, Periodenlängen, Währung sowie Anfangs- und Endwerte
• Ermitteln Sie Erträge, Wiederanlage, Gebühren sowie externe Ein- und Auszahlungen
• Rekonstruieren Sie den Endwert aus aufeinanderfolgenden Wachstumsfaktoren, bevor Sie annualisieren
• Kennzeichnen Sie arithmetischen Durchschnitt, kumulierte Rendite, geometrische Periodenrendite und CAGR getrennt