টু-স্কেল রিয়েলাইজড ভোলাটিলিটি: মাইক্রোস্ট্রাকচার নয়েজসহ ভ্যারিয়েন্সের হিসাব

রিয়েলাইজড ভ্যারিয়েন্স সাধারণত squared return যোগ করে হিসাব করা হয়। পর্যবেক্ষিত লগদাম যদি দক্ষ দামের সঙ্গে নিখুঁতভাবে মিলে যেত, ঘন ঘন পর্যবেক্ষণে দামের পথ আরও ভালোভাবে ধরা পড়ত। কিন্তু বাস্তব লেনদেনদাম ও quote-এ bid–ask bounce, price discreteness, latency এবং বাজারের অন্য microstructure প্রভাব থাকে। দুইটি খুব কাছাকাছি পর্যবেক্ষণের মধ্যে দক্ষ দামের পরিবর্তনের চেয়ে এই প্রভাব বড় হতে পারে।

তাই পর্যবেক্ষণের ঘনত্ব বাড়ালে সরল রিয়েলাইজড ভ্যারিয়েন্সও বাড়তে পারে, যদিও পুরো session-এর অন্তর্নিহিত সমাকলিত ভ্যারিয়েন্স বদলায়নি। এর মানে যে সম্পদের অর্থনৈতিক volatility বেড়েছে তা নয়; নয়েজযুক্ত দামের পার্থক্য square করে বহুবার যোগ করার ফল হতে পারে। সাধারণ squared-return measure-টির ব্যাখ্যা আছে রিয়েলাইজড ভোলাটিলিটি গণনার নির্দেশিকায়; এখানে নির্দিষ্ট এক ধরনের high-frequency bias কমানোর পদ্ধতি আলোচিত।

Zhang, Mykland ও Aït-Sahalia দুই ভিন্ন resolution-কে ভিন্ন কাজে লাগাতে TSRV প্রস্তাব করেন (মূল two-time-scale গবেষণা)। দূরবর্তী গ্রিডে noise-যুক্ত increment-এর সংখ্যা কমে। শুরু একেকটি অবস্থান থেকে নেওয়া দূরবর্তী গ্রিডের গড় কোনো এক ইচ্ছাধীন starting point-এর ওপর নির্ভরতা কমায়। সব observation-সহ সূক্ষ্ম গ্রিড noise bias-এর পরিমাণ অনুমান করে বাদ দিতে সাহায্য করে। ফলটি নির্দিষ্ট অনুমান ও finite-sample choice-নির্ভর; এটি অনিশ্চয়তাসহ একটি estimator, latent path-এর noise-free পর্যবেক্ষণ নয়।

\(X_t\) হলো latent efficient log price; নির্দিষ্ট window-তে এর local variance rate \(\sigma_t^2\) ধরে একটি continuous process দিয়ে মডেল করা যায়। লক্ষ্য হলো এর integrated variance:

\[ IV_T=\int_0^T\sigma_t^2\,dt. \]

Observation time \(t_i\)-তে নথিভুক্ত log price ধরা যাক

\[ Y_{t_i}=X_{t_i}+\epsilon_{t_i}, \]

যেখানে \(\epsilon_{t_i}\) হলো observation noise। Classical derivation-এ noise-এর mean শূন্য, observation time-গুলোর মধ্যে পরস্পর independent, efficient-price process থেকে independent এবং variance ধ্রুব \(\omega^2\) ধরা হয়। নিয়মিত sampling grid ও window-তে উপযুক্ত continuous efficient-price model-ও লাগে। এগুলো মডেলের শর্ত, সব market data-র সাধারণ বর্ণনা নয়।

Observed increment হলো \(\Delta Y_i=\Delta X_i+\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\)। একটি observation-এর pricing error পাশাপাশি দুই return-এ বিপরীত চিহ্নে ঢোকে: positive error একটি return বাড়িয়ে পরেরটি কমায়। এ কারণে noisy price থেকে তৈরি return স্বাধীন measurement error-এর মতো আচরণ করে না। Noise-free ক্ষেত্রে squared increment কেন path variation-এর লক্ষ্য, তা finance-এ quadratic variation নির্দেশিকায় ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

এখানে লক্ষ্য নির্দিষ্ট সময়-window-র variance—bid–ask spread estimate, forecast বা realized execution cost নয়। Transaction-price-এর অন্য প্রশ্নের জন্য দেখুন Roll bid–ask spread estimator। লক্ষ্যটি আগে নির্ধারণ করা জরুরি, কারণ microstructure পদ্ধতিগুলো একই high-frequency price ব্যবহার করলেও ভিন্ন পরিমাণ অনুমান করতে পারে।

সূক্ষ্ম grid-এ \(n\)টি return থাকলে all-observation realized variance:

\[ RV_{\mathrm{all}}=\sum_{i=1}^{n}(Y_{t_i}-Y_{t_{i-1}})^2. \]

Baseline model-এ একটি observed return-এর noise অংশ \(\eta_i=\epsilon_i-\epsilon_{i-1}\); এর variance \(\operatorname{Var}(\eta_i)=2\omega^2\)। Independence assumption-এ expectation শূন্য হওয়া cross-term বাদ দিলে, সূক্ষ্ম grid-এর প্রত্যাশিত যোগফল প্রায়

\[ E[RV_{\mathrm{all}}]\approx IV_T+2n\omega^2. \]

প্রথম পদটি কাঙ্ক্ষিত integrated variance, দ্বিতীয়টি প্রতিটি fine return-এ জমা হওয়া noise। Sampling interval কমে \(n\) বাড়লে noise term প্রাধান্য পেতে পারে। তাই measurement noise উপেক্ষা করে “যত ঘন ঘন সম্ভব sample” নেওয়া নিরাপদ নিয়ম নয়। Aït-Sahalia, Mykland ও Zhang microstructure noise-সহ finite optimal sampling বিশ্লেষণ করেছেন।

এই approximation মডেলের অধীনে expectation জানায়। কোনো নির্দিষ্ট sample-এ efficient-price increment ও noise increment-এর random cross-term থাকে; realized value expectation-এর সমান নাও হতে পারে। Intraday noise variance বদলালে, errors serially dependent হলে বা sampling irregular হলে সরল \(2n\omega^2\) bias বর্ণনা নাও করতে পারে। তখন পরিচিত formula-ও সুনির্দিষ্ট দেখালেও ভুল adjustment মাপতে পারে।

একটি integer spacing \(K>1\) বেছে নিন। প্রতিটি offset \(k=0,\ldots,K-1\)-এর জন্য প্রতি \(K\)-তম observed price নিয়ে sparse-grid realized variance হিসাব করুন:

\[ RV_{K,k}=\sum_j\left(Y_{t_{k+jK}}-Y_{t_{k+(j-1)K}}\right)^2. \]

প্রতিটি sparse increment দীর্ঘ interval জুড়ে যায়, তবে grid মোটামুটি একই observation window-কে আচ্ছাদন করে। পাওয়া offset-গুলোর গড়:

\[ \overline{RV}_K=\frac{1}{K}\sum_{k=0}^{K-1}RV_{K,k}. \]

Offset গুরুত্বপূর্ণ। একটিমাত্র sparse grid বড় price move-এর ঠিক আগে বা পরে শুরু হলে ফল সেই পছন্দের প্রতি সংবেদনশীল হতে পারে। Shifted grid-এর গড় starting-point নির্ভরতা কমায়। এতে অবশ্য \(K\)টি independent dataset তৈরি হয় না; grid-গুলো একই observation পুনর্ব্যবহার করে, তাই পরিসংখ্যানগতভাবে সম্পর্কিত।

Independent, equal-variance noise হলে sparse return-এর দুই প্রান্তের noise value ভিন্ন observation থেকে আসে; তাদের পার্থক্যের variance এখনও \(2\omega^2\)। তবে sparse return-এর সংখ্যা fine return-এর চেয়ে কম, তাই গড় sparse estimate-এ জমা হওয়া noise bias কম। Increment-গুলো window-র প্রায় পুরোটা জুড়ে যাওয়ায় signal contribution প্রায় একই integrated variance থাকে।

এই নিবন্ধের ছবি ধারণামূলক: jagged observed path-এর সঙ্গে আরও মসৃণ latent path ঘিরে shifted sparse view তুলনা করে। এটি market data বা estimator output নয়। High-low observation-নির্ভর আলাদা estimator-এর জন্য দেখুন OHLC range-based volatility estimator নির্দেশিকা।

<!-- learn:illustration -->

Shifted grid-জুড়ে sparse return-এর গড় সংখ্যা \(\bar n\), এবং \(\lambda=\bar n/n\) ধরুন। Baseline model-এ average sparse-grid noise bias প্রায় \(2\bar n\omega^2\)। Fine-grid estimate-এর noise bias প্রায় \(2n\omega^2\); তাই \(\lambda RV_{\mathrm{all}}\)-তে প্রায় \(2\bar n\omega^2\) থাকে। এটি বাদ দিলে প্রধান noise term cancel হয়:

\[ TSRV_{\mathrm{raw}}=\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}. \]

এই raw difference signal-এরও \(\lambda\) অংশ বাদ দেয়, কারণ দুই realized-variance term-এই signal থাকে। একটি প্রচলিত finite-sample normalization:

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{\overline{RV}_K-\lambda RV_{\mathrm{all}}}{1-\lambda}. \]

সরল expectation calculation-এ denominator signal coefficient ফিরিয়ে আনে। Implementation ভেদে endpoint handling আলাদা হতে পারে; তাই \(n\)-এর সংজ্ঞা, offset set ও \(\bar n\) কীভাবে গণনা হলো তা লিখুন। এই correction sampling uncertainty সরায় না, ভুল noise model-ও ঠিক করে না। Classical asymptotic setup-এ sample বাড়লে \(\lambda\) ছোট হয়, তবে ছোট window-তে finite-sample factor গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে।

\(\overline{RV}_K<\lambda RV_{\mathrm{all}}\) হলে estimate negative হতে পারে। এর মানে physical variation negative নয়; finite sample-এ noise subtraction sparse-grid estimate ছাড়িয়ে গেছে। Downstream display-তে zero দেখানো সুবিধাজনক হলেও তাতে estimator বদলে যায় এবং truncation rule যোগ হয়। Analysis-এ raw estimate রাখুন, scale ও assumptions পরীক্ষা করুন, এবং পরে truncate করলে তা স্পষ্টভাবে জানান।

ধরা যাক সাতটি hypothetical observed log-price point থেকে bp এককে ছয়টি fine return পাওয়া গেল: \([1,1,-1,-1,1,1]\) bp। এটি কেবল arithmetic বোঝানোর জন্য তৈরি, exchange data নয়। Fine-grid realized variance:

\[ RV_{\mathrm{all}}=1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2+1^2=6\,\mathrm{bp}^2. \]

\(K=2\) নিন। প্রথম offset পাশাপাশি fine return জুড়ে sparse return \([2,-2,2]\) bp দেয়; squared sum \(4+4+4=12\,\mathrm{bp}^2\)। Shifted offset দেয় \([0,0]\) bp, squared sum শূন্য। তাই দুই grid estimate-এর গড় \(\overline{RV}_K=(12+0)/2=6\,\mathrm{bp}^2\)।

ছয়টি fine return ও দুই offset-এ sparse return-এর average count \(\bar n=(3+2)/2=2.5\)। অতএব \(\lambda=2.5/6=5/12\), এবং

\[ \widehat{IV}_{TSRV}=\frac{6-(5/12)6}{1-5/12}=\frac{3.5}{7/12}=6\,\mathrm{bp}^2. \]

Variance estimate \(6\,\mathrm{bp}^2=6\times10^{-8}\) decimal-return-squared unit। এর square root এই hypothetical window-তে প্রায় \(2.45\) bp; annualized নয়। এই নির্মিত ছোট sample-এ fine-grid RV-এর সঙ্গে সংখ্যাগতভাবে মিলে যাওয়া TSRV-এর identity নয়। অন্য path-এ estimate বেশি, কম, এমনকি negative হতে পারে।

এই হিসাব model-এর সীমাও দেখায়: latent path ও noise আলাদা করে দেখা যায় না, তাই এই sample থেকে \(6\,\mathrm{bp}^2\) সত্যিই integrated variance কি না তা জানা যায় না। Sum, scale ও unit যাচাই করা যায়; hidden decomposition উদাহরণটি থেকে উদ্ধার করা যায় না। Realized-kernel-এর মতো অন্য high-frequency noise correction-ও গবেষণায় আছে; সেগুলোর নিজস্ব assumptions ও implementation choice রয়েছে।

\(K\) sparse return-এর সংখ্যা, averaging ও noise correction-এর মধ্যে ভারসাম্য তৈরি করে। \(K\) খুব ছোট হলে অনেক short increment থেকে noise sensitivity থাকতে পারে। খুব বড় হলে coarse return অল্প থাকে, ফলে sparse estimate অস্থির ও finite-window effect-এর প্রতি সংবেদনশীল হয়। Offset averaging grid alignment-এ সাহায্য করে, কিন্তু ছোট বা নিম্নমানের sample-এ অনুপস্থিত তথ্য তৈরি করে না।

মূল asymptotic analysis-এ sample size বাড়লে পছন্দের sparse spacing-ও বাড়ে; সেই paper-এর notation ও baseline condition-এ এর order \(n^{2/3}\) (মূল বিশ্লেষণ)। এটি theoretical scaling, নির্দিষ্ট কয়েক সেকেন্ড বা observation বেছে নেওয়ার universal নির্দেশ নয়। Optimum noise-to-signal ratio ও assumption-এর ওপর নির্ভর করে; পরের গবেষণা ও implementation-এ tuning rule এবং endpoint convention ভিন্ন হতে পারে। Reproduce করার জন্য sampling interval, \(K\), offsets, session boundary ও finite-sample normalization লিখুন।

বিশ্লেষণে আগে থেকে নির্ধারিত যুক্তিযুক্ত \(K\)-এর একটি set তুলনা করে sensitivity দেখানো যেতে পারে; আকর্ষণীয় ফল পাওয়া \(K\) পরে বেছে নেওয়া উচিত নয়। Estimate উল্লেখযোগ্যভাবে বদলালে সেই instability-ও ফলের অংশ। Data design ও আগেই নথিভুক্ত rule অনুযায়ী scale ঠিক করুন। কম frequency-র realized variance বা noise-robust alternative-এর সঙ্গে তুলনা করা যায়, তবে প্রতিটি measure আলাদাভাবে চিহ্নিত করুন।

Classical correction নির্দিষ্ট noise structure-এর জন্য। Bid–ask bounce-সহ microstructure effect serially dependent, session-জুড়ে পরিবর্তনশীল, liquidity-নির্ভর অথবা efficient-price increment-এর সঙ্গে correlated হতে পারে। Hansen ও Lunde দেখান realized variance ও microstructure noise-এর interaction-এ time dependence এবং efficient-price change-এর সঙ্গে correlation থাকতে পারে (তাদের গবেষণা)। Aït-Sahalia, Mykland ও Zhang পরে dependent microstructure noise-এর জন্য দুই-স্কেল পদ্ধতি তৈরি করেন। এই extension-ই modified estimator-কে original iid-noise formula থেকে আলাদা করার কারণ; original formula সব dependence সামলায় ধরে নেওয়ার কারণ নয়।

অন্য সমস্যা হলো irregular observation time, asynchronous asset, stale quote, price discreteness, jump, bad print, opening/closing effect ও missing observation। এগুলো fine-grid correction এবং sparse-grid-এ ঢোকা return—দুটিই বদলাতে পারে। Jump research question অনুযায়ী target quadratic variation-এর অংশ হতে পারে বা আলাদা করতে হতে পারে; TSRV নিজে সেই modeling choice করে না। Observation filter করলেও grid বদলে যায়, তাই তা নথিভুক্ত করুন।

Noise robustness সব data problem-এর immunity নয়। Estimate-কে latent variance বলা আগে input transaction price, quote না midpoint তা নির্ধারণ করুন; return transform ও clock জানান; spacing সমান কি না পরীক্ষা করুন; cleaning ও session rule লিখুন এবং \(K\)-এর sensitivity দেখুন। Noise baseline assumption না মানলে সেই পরিস্থিতির জন্য তৈরি পদ্ধতি নিন এবং তার assumptions ব্যাখ্যা করুন। Negative estimate-কে negative volatility বলবেন না, চুপিচুপি positive-ও করবেন না।

স্বচ্ছ প্রতিবেদনে target window, input price series, sampling interval, fine-return count, sparse spacing \(K\), offset set, endpoint rule, noise assumption, normalization, unit ও truncation উল্লেখ থাকে। Raw difference এবং normalized estimate পাশাপাশি দেখানো যায়, সঙ্গে আগেই নির্ধারিত scale-এর sensitivity range। এতে হিসাব audit করা যায় এবং variance estimate-কে quote, future forecast বা profitable trading rule-এর প্রমাণ ভেবে ভুল করার ঝুঁকি কমে।

Integrated variance observed window-র মাপ। Annualize করতে time convention জানাতে হবে এবং intraday pattern, overnight interval বা trading gap যেন আড়াল না হয়। Square root নিলে ওই window-র volatility unit পাওয়া যায়; prediction horizon তৈরি হয় না। Historical realized measure model input হতে পারে, কিন্তু predictive performance estimator-এর setting বাছতে ব্যবহার করা হয়নি এমন out-of-sample data-তে আলাদাভাবে যাচাই করতে হবে।

TSRV-এর অবদান methodological: explicit additive-noise model-এ দুই sampling scale ব্যবহার করে naive high-frequency realized variance-এ জমা leading noise bias কমায়। সব price movement-এর source শনাক্ত করে না, model risk সরায় না, পরের volatility-ও বলে না। Estimate প্রকাশের সঙ্গে এই সীমা জানান।