Kiểm định dừng KPSS: Giả thuyết không, thống kê và bandwidth

Kiểm định Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin, thường gọi KPSS, đảo ngược giả thuyết không của các kiểm định Dickey–Fuller quen thuộc. Giả thuyết không là chuỗi dừng quanh những thành phần xác định được nêu trong kiểm định. Trong thiết lập gốc, đối thuyết cho phép có thành phần random walk với phương sai nhiễu dương.

Thống kê KPSS đủ lớn là bằng chứng chống lại giả thuyết không về dừng quanh mức hoặc xu hướng đã chọn. Thống kê nhỏ có nghĩa mẫu chưa đưa ra đủ bằng chứng để bác bỏ giả thuyết đó trong thiết lập cụ thể. Nó không chứng minh quá trình sẽ dừng mãi, trung bình luôn ổn định hoặc giá sẽ quay lại mức có thể giao dịch.

Hướng dẫn về tính dừng và unit root giới thiệu các khái niệm liên quan. Bài so sánh ADF và Phillips–Perron giải thích hai kiểm định đặt unit root làm giả thuyết không. Chúng trả lời những câu hỏi bổ sung nhau, chứ không phải hai phiên bản có thể thay thế của cùng một kiểm định.

KPSS biểu diễn chuỗi quan sát như sau:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Ở đây \(d_t\) là thành phần xác định, \(r_t\) là random walk và \(\epsilon_t\) là sai số dừng. Trong kiểm định dừng quanh mức, \(d_t\) có hệ số chặn. Với kiểm định dừng quanh xu hướng, nó có hệ số chặn và xu hướng thời gian tuyến tính.

Giả thuyết không đặt phương sai nhiễu của random walk bằng 0, \(\sigma_u^2=0\). Không có random walk, chuỗi dao động quanh hằng số hoặc xu hướng xác định đã chọn. Đối thuyết cho phép \(\sigma_u^2>0\), nên cú sốc có thể tích lũy thành xu hướng ngẫu nhiên thay vì mất dần quanh đường xác định.

Đây là mô hình được duy trì trong kiểm định, không phải khẳng định rằng mọi đối thuyết đều là random walk theo sách giáo khoa. Đứt gãy cấu trúc, tính dai dẳng phân số, động học phi tuyến, phương sai thay đổi hoặc thành phần xác định chọn sai cũng có thể khiến giả thuyết không không phù hợp với mẫu. Kiểm định cho thấy dữ liệu căng thẳng với thiết lập dừng đã chọn, chứ không tìm ra duy nhất một mô hình thay thế.

Trước hết hồi quy quan sát theo các thành phần xác định đã chọn và gọi phần dư là \(\hat e_t\). Tổng riêng phần tích lũy là

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

Thống kê KPSS thường được viết

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

trong đó \(n\) là cỡ mẫu và \(\hat{\omega}^{\,2}\) là ước lượng phương sai dài hạn của phần dư. Một chuỗi phần dư cùng dấu đẩy \(S_t\) ra xa 0. Bình phương tổng riêng phần khiến sai lệch kéo dài đóng góp nhiều hơn đổi dấu đơn lẻ.

Thống kê luôn không âm. Sai lệch tích lũy lớn so với phương sai dài hạn khiến giả thuyết dừng khó được duy trì hơn. Mẫu số rất quan trọng: phụ thuộc chuỗi của phần dư làm thay đổi mức biến động tổng riêng phần cần kỳ vọng ngay cả khi quá trình nền dừng.

Phiên bản mức hỏi chuỗi có dừng quanh hằng số không. Phiên bản xu hướng loại bỏ hệ số chặn và xu hướng tuyến tính trước, rồi kiểm tra thành phần còn lại có dừng không. Một số phần mềm gọi hai trường hợp là mu và tau, nhưng tên cũng như quy ước đầu ra tùy phần mềm.

Lựa chọn này thay đổi cả phần dư lẫn phân phối tham chiếu. Bỏ sót xu hướng xác định ở chuỗi dừng quanh xu hướng có thể để lại mẫu phần dư dài và làm phình thống kê. Thêm xu hướng không có lý do cũng đổi mô hình kiểm định, có thể giảm khả năng phát hiện một số đối thuyết. Hãy chọn từ định nghĩa dữ liệu và câu hỏi kinh tế, rồi báo cáo rõ; đừng đổi thiết lập đến khi có kết quả thuận mắt.

Giá trị tới hạn KPSS đến từ các phân phối tiệm cận phi chuẩn và khác nhau giữa trường hợp mức với xu hướng. Không so thống kê với ngưỡng t hoặc chi bình phương thông thường, cũng không dùng một ngưỡng thuộc lòng cho mọi đặc tả. Dùng bảng hay kết quả phần mềm tương ứng và nêu mức ý nghĩa.

Một số phần mềm chỉ báo cáo khoảng p-value vì so thống kê với bảng hữu hạn các giá trị tới hạn. Khi đó hãy báo khoảng được đầu ra hỗ trợ, đừng tự thêm chữ số thập phân. Ghi rõ trường hợp mức/xu hướng và nguồn giá trị tới hạn để người khác tái lập quyết định.

<!-- learn:illustration -->

Một ước lượng phương sai dài hạn phổ biến dùng tự hiệp phương sai phần dư có trọng số:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Ở đây, \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) là tự hiệp phương sai mẫu tại độ trễ \(j\), dùng mẫu số \(n\); quy ước với mẫu hữu hạn có thể khác nhau giữa các cách triển khai.

Với trọng số Bartlett, \(w_j=1-j/(\ell+1)\). Bandwidth cắt cụt \(\ell\) quyết định đưa bao nhiêu tự hiệp phương sai phần dư vào và trọng số giảm nhanh thế nào. Phần mềm có thể dùng kernel, quy tắc chọn bandwidth và quy ước mẫu hữu hạn khác nhau, nên cần nêu chúng để tái lập kết quả.

Bandwidth này không phải số độ trễ sai phân thêm vào hồi quy ADF. Trong KPSS, nó điều khiển ước lượng phương sai dài hạn; trong ADF, độ trễ sai phân nằm ngay trong hồi quy. Phần mềm có thể gọi cả hai là “lag”, vì thế ghi riêng “lag 4” chưa mô tả đủ thiết lập.

Bandwidth quá ngắn có thể bỏ qua phụ thuộc ngắn hạn quan trọng. Bandwidth quá dài có thể thêm nhiều tự hiệp phương sai mẫu nhiễu. Cả hai có thể đổi thống kê, kích thước hoặc lực kiểm định, nhưng không có hướng tác động chung cho mọi chuỗi. Báo cáo kernel và quy tắc chọn lag, đồng thời kiểm tra một lựa chọn hợp lý đã xác định trước có làm thay đổi diễn giải không.

Điều chỉnh phương sai dài hạn liên quan đến ước lượng hiệp phương sai nhất quán với phương sai thay đổi và tự tương quan (HAC). Nó không làm KPSS bền vững trước mọi dạng phụ thuộc, đứt gãy cấu trúc hay đặc tả xác định kém. Hướng dẫn hiệp phương sai Newey–West trình bày rộng hơn vai trò và giới hạn của HAC.

Giả sử hồi quy xu hướng trên sáu quan sát tổng hợp cho phần dư \(1,-1,0,0,-1,1\). Chúng có tổng bằng 0 và trực giao với xu hướng thời gian tuyến tính, như phần dư hồi quy xu hướng phải có. Tổng riêng phần lần lượt là \(1,0,0,0,-1,0\); tổng bình phương bằng \(2\).

Để minh họa số học, dùng quy ước tự hiệp phương sai mẫu chia cho \(n\) và bandwidth Bartlett bằng một. Thành phần phương sai phần dư là \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). Tự hiệp phương sai độ trễ một là \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), trọng số Bartlett bằng \(1/2\). Do đó

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Phép tính sáu điểm chỉ minh họa cách vận hành công thức. Mẫu quá nhỏ để đưa ra quyết định KPSS tiệm cận thông thường; không được so thống kê với giá trị tới hạn đã công bố như thể đây là phát hiện thực nghiệm.

Chạy KPSS cùng kiểm định kiểu ADF giúp thấy kết luận phụ thuộc giả thuyết không đến đâu. Đọc cặp kết quả như bằng chứng theo hai mô hình khác nhau:

Hai kiểm định có thể khác về hiệu chỉnh lag, thành phần xác định, mẫu và xấp xỉ mẫu hữu hạn. Khi phù hợp, hãy căn chỉnh lựa chọn và ghi lại khác biệt không tránh được. Đừng biến bốn ô thành quy tắc sai phân tự động. Không bác bỏ không có nghĩa giả thuyết không đúng.

Thay đổi trung bình một lần, xu hướng biến đổi hoặc đứt gãy phương sai có thể khiến quá trình dừng trong từng chế độ trông không dừng trên toàn mẫu. Ngược lại, nghiệm gần 1 khiến dữ liệu hữu hạn khó phân biệt với unit root. Mẫu ngắn, ngoại lệ, đuôi dày, điều chỉnh phi tuyến và tích hợp phân số cũng có thể làm xấp xỉ tham chiếu sai lệch.

Trước khi báo cáo, vẽ mức chuỗi, phần xác định đã chọn và phần dư. Nếu có thể có đứt gãy, dùng thiết kế xử lý đứt gãy và nêu giả thuyết không, cách xử lý điểm gãy cùng giá trị tới hạn. Nếu đã thử nhiều ngày gãy hoặc bandwidth, hãy công khai quá trình chọn; p-value nhỏ nhất sau tìm kiếm không còn là kết quả kiểm định chưa chọn lọc.

KPSS không kiểm định đồng liên kết giữa một cặp tài sản hoặc spread. Hướng dẫn Engle–Granger giải thích thủ tục đồng liên kết dựa trên phần dư cùng vấn đề giá trị tới hạn riêng. Hướng dẫn hạng Johansen trình bày cách tiếp cận hệ thống. KPSS trên một chuỗi giá không thể thay thế hai phân tích này.

Nếu chạy KPSS trên phần dư từ tỷ lệ hedge, mô hình ARMA hoặc ngày gãy đã ước lượng/chọn trước, phần dư ấy đã qua một bước khớp mô hình. Ước lượng tham số và lựa chọn mô hình có thể đổi phân phối dưới giả thuyết không. Đừng mặc định giá trị tới hạn thông thường hợp lệ cho toàn bộ quy trình; hãy dùng kiểm định phần dư được hiệu chỉnh theo mô hình hoặc bootstrap lặp lại các bước ước lượng.

Nêu biến và phép biến đổi, số quan sát, giả thuyết không mức hay xu hướng, thành phần xác định, kernel phương sai dài hạn, quy tắc bandwidth, thống kê, giá trị tới hạn hoặc p-value phù hợp và mức ý nghĩa. Chỉ đưa kiểm tra độ nhạy nếu phương án thay thế có lý do và được công khai; đừng chọn kết quả dễ quảng bá nhất sau khi thử nhiều cửa sổ và phiên bản.

Với dữ liệu thị trường, mô tả ngày mẫu, tần suất, căn chỉnh phiên, xử lý giá trị thiếu và chuỗi là giá, lợi suất, phần dư hay spread. Không bác bỏ giả thuyết không KPSS không phải bằng chứng spread sẽ sớm hội tụ. Chiến lược hồi quy về trung bình vẫn cần cân bằng được định nghĩa, đánh giá ngoài mẫu, thời điểm tín hiệu có thể giao dịch và chi phí spread, funding, vay mượn, thực thi thực tế.

Kiểm định mức log-price trả lời câu hỏi khác kiểm định lợi suất, vốn là sai phân bậc một của log-price. Sai phân có thể loại xu hướng ngẫu nhiên dưới một số mô hình, nhưng cũng đổi biến nghiên cứu và không chứng minh quan hệ dài hạn giữa hai tài sản. Hãy chọn biến đổi theo đại lượng cần nghiên cứu và báo cáo rõ.

Bài báo năm 199290104-Y) của Kwiatkowski, Phillips, Schmidt và Shin xây dựng KPSS thành kiểm định LM xem phương sai thành phần random walk có bằng 0 không. Bài báo năm 1987 của Newey và West là tài liệu tham khảo gốc về ước lượng hiệp phương sai HAC bán xác định dương. Để so sánh với giả thuyết không unit root, xem bài báo năm 1979 của Dickey và Fuller.