ADF và Phillips–Perron: Các kiểm định nghiệm đơn vị khác nhau thế nào

Trong phương trình mức tự hồi quy, nghiệm đơn vị có nghĩa là cú sốc có thể không mất đi khỏi mức của chuỗi. Viết sai phân bậc nhất theo hồi quy của mức trễ làm giả thuyết này hiện rõ: nếu hệ số của mức trễ bằng không thì, dưới mô hình đã chọn, quá trình mức có nghiệm bằng một. Hệ số âm là bằng chứng theo hướng của phương án dừng, với điều kiện các giả định duy trì và thành phần xác định phù hợp.

Vì vậy, trong các cách triển khai ADF và PP thông dụng, giả thuyết không không phải là “chuỗi dừng”. Giả thuyết không là có nghiệm đơn vị; phương án đối lập là dừng quanh thành phần xác định đã chọn. Thống kê chưa đủ âm để bác bỏ không chứng minh rằng chuỗi có nghiệm đơn vị. Mẫu có thể chưa đủ thông tin để phân biệt nghiệm đơn vị với một quá trình dừng có tính dai dẳng và nghiệm tự hồi quy gần một.

Điều này khác với kiểm định có giả thuyết không là tính dừng như KPSS, và khác với kiểm định trực tiếp đồng liên kết. Hướng dẫn về tính dừng và nghiệm đơn vị giới thiệu câu hỏi rộng hơn; hướng dẫn Engle–Granger trình bày trường hợp đặc biệt khi tổ hợp dừng của các chuỗi không dừng.

Hồi quy nghiệm đơn vị có thể không chứa thành phần xác định, có hằng số, hoặc có hằng số cùng xu thế tuyến tính theo thời gian. Đây không phải các lựa chọn trang trí. Hằng số cho phép có độ trôi dưới giả thuyết không nghiệm đơn vị và có trung bình khác không dưới phương án dừng. Xu thế thời gian cho phép phương án dừng dao động quanh một xu thế xác định. Đặc tả được chọn làm thay đổi mô hình và phân phối không chuẩn dưới giả thuyết không.

Thêm xu thế không cần thiết có thể làm giảm lực kiểm định vì phải ước lượng thêm tham số. Bỏ sót độ trôi hay xu thế có thật có thể làm sai lệch cách diễn giải và kích thước kiểm định. Hãy chọn đặc tả từ câu hỏi về cơ chế tạo dữ liệu và đồ thị chuỗi, nêu rõ lựa chọn, rồi dùng giá trị tới hạn tương ứng. Đừng chọn đặc tả chỉ vì nó tạo ra kết luận mong muốn.

Nguyên tắc này cũng áp dụng cho log giá, chênh lệch, lãi suất hay lợi suất. Xu thế tăng hợp lý với mức giá có thể vô nghĩa với lợi suất. Kiểm định không thể thay bạn xác định đối tượng kinh tế cần phân tích. Thành phần xác định là một phần của giả thuyết, không phải bước tiền xử lý có thể lược bỏ khỏi báo cáo.

Hồi quy Augmented Dickey–Fuller có thể viết như sau:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

Ở đây, dₜ chứa các thành phần xác định đã chọn và giả thuyết không là H₀: γ = 0. Các sai phân trễ được thêm vào nhằm làm cho nhiễu còn lại có tính chất phù hợp với xấp xỉ của kiểm định. Chúng mô hình hóa động học ngắn hạn theo cách tham số ngay trong hồi quy; không phải các ràng buộc nghiệm đơn vị bổ sung.

Bậc trễ p có ảnh hưởng đáng kể. Quá ít độ trễ có thể để lại tự tương quan trong εₜ và làm suy yếu xấp xỉ dự kiến. Quá nhiều độ trễ tiêu tốn bậc tự do, đặc biệt làm giảm lực kiểm định trong mẫu ngắn. Nghiên cứu Monte Carlo của Harris (1992)90022-Q) xem xét lựa chọn vận hành liên quan đến cấu trúc độ trễ ADF, kích thước và lực kiểm định. Có thể bắt đầu với độ trễ tối đa được nêu rõ, đối chiếu tiêu chí thông tin hợp lý với chẩn đoán phần dư, và báo cáo kết luận có đổi khi thay độ trễ lân cận hay không. Độ trễ được chọn nhỏ không chứng minh rằng phụ thuộc trong phần dư không đáng kể.

Việc chọn độ trễ có thể khó trong một số quá trình. Ng và Perron cho thấy khi sai số có nghiệm trung bình trượt gần −1, AIC hoặc BIC thông thường có thể chọn quá ít độ trễ tăng cường trong bối cảnh họ nghiên cứu; các tiêu chí thông tin điều chỉnh của họ được thiết kế cho thủ tục nghiệm đơn vị có khử xu thế GLS và các kiểm định liên quan. Đây là cảnh báo trong một số động học cụ thể, không phải định lý rằng một tiêu chí hay độ trễ dài hơn luôn tốt hơn.

Kiểm định Phillips–Perron bắt đầu bằng hồi quy kiểu Dickey–Fuller không có tổng các sai phân trễ của ADF:

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

Sau đó, nó hiệu chỉnh thống kê kiểm định bằng ước lượng phương sai ngắn hạn và hiệp phương sai dài hạn. Một dạng ước lượng phương sai dài hạn phổ biến là:

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

Trong đó γ̂ⱼ là tự hiệp phương sai phần dư, K là trọng số kernel, còn ℓ là băng thông hoặc bậc cắt cụt. Định nghĩa chính xác thay đổi theo thống kê PP và quy ước phần mềm. Khác biệt khái niệm vẫn rõ: ADF mở rộng hồi quy bằng các sai phân trễ; PP áp dụng hiệu chỉnh phụ thuộc phi tham số cho thống kê từ hồi quy ngắn hơn.

PP không đơn giản là “ADF với sai số chuẩn vững”. Hiệu chỉnh của PP làm thay đổi thống kê nghiệm đơn vị và cách xử lý tiệm cận; đầu ra hồi quy vững với phương sai thay đổi thông thường không khiến giá trị tới hạn t thông thường trở nên hợp lệ. Kernel và băng thông quyết định mức phụ thuộc được tính đến. Băng thông quá nhỏ có thể bỏ sót tương quan quan trọng; băng thông quá rộng có thể làm ước lượng phương sai dài hạn nhiễu hơn.

<!-- learn:illustration -->

Dưới giả thuyết không nghiệm đơn vị, mức trễ được tạo ra bởi xu thế ngẫu nhiên chứ không phải biến hồi quy dừng. Vì vậy, các thống kê thuộc họ DF có phân phối giới hạn phi chuẩn. Bảng t thông thường không phải phân phối tham chiếu, kể cả với mẫu lớn. Giá trị tới hạn phụ thuộc vào hồi quy không có hằng số, có hằng số, hay có hằng số cùng xu thế, cũng như thống kê và cách triển khai.

Thống kê PP được biến đổi để tính đến phụ thuộc, nhưng giả thuyết không nghiệm đơn vị vẫn phải được đánh giá theo phân phối tham chiếu phi chuẩn phù hợp. Hãy dùng giá trị tới hạn hoặc p-value từ một triển khai đáng tin cậy, khớp với thành phần xác định và loại thống kê. Đừng đối chiếu ADF ở một đặc tả với giá trị tới hạn PP ở đặc tả khác, hoặc xem tỷ số t của hệ số hiển thị như thống kê Student t thông thường.

Hiệu chỉnh tiệm cận không bảo đảm hành vi tốt trong mọi mẫu hữu hạn. Nghiên cứu Monte Carlo của Schwert ghi nhận các thủ tục nghiệm đơn vị nhạy với sai đặc tả mô hình và có hành vi mẫu hữu hạn khác nhau giữa các phương pháp. Khi đọc p-value, cần xét độ dài mẫu, đặc điểm quá trình tạo dữ liệu, độ trễ hoặc băng thông và đặc tả hồi quy.

“Kích thước” là xác suất bác bỏ giả thuyết không nghiệm đơn vị đúng; “lực kiểm định” là xác suất bác bỏ dưới một phương án dừng cụ thể. Kết quả có vẻ dứt khoát trong một mẫu có thể bị sai kích thước nếu cấu trúc phụ thuộc thực tế khác với giả định. ADF và hiệu chỉnh phương sai dài hạn của PP xử lý các vấn đề liên quan bằng xấp xỉ khác nhau, nên kết quả của phương pháp này không tự động xác nhận độ vững của phương pháp kia.

Với ADF, hãy kiểm tra tự tương quan phần dư còn lại sau khi thêm độ trễ và xem suy luận có thay đổi đáng kể khi tăng độ trễ hay không. Với PP, hãy báo cáo kernel, quy tắc băng thông và xem xét các lựa chọn hợp lý khác. Đây là kiểm tra độ nhạy, không phải giấy phép thử nhiều đặc tả rồi chỉ giữ p-value thuận lợi nhất. Kết quả Ng–Perron cũng cảnh báo rằng lựa chọn độ trễ tương tác với quá trình nhiễu và khử xu thế xác định; một tiêu chí thông tin máy móc có thể không giải quyết được mọi thiết kế.

Cả hai kiểm định có thể có lực thấp trước phương án dừng nhưng rất dai dẳng. Không bác bỏ không phải bằng chứng khẳng định rằng cần lấy sai phân. Nếu mẫu ngắn, nghiệm gần một, hoặc kết luận có vai trò trung tâm trong mô hình, hãy cân nhắc bằng chứng bổ sung và thủ tục khác với giả định được nêu rõ, thay vì xem ADF và PP như hai lá phiếu độc lập.

Dịch chuyển mức, thay đổi xu thế, đổi chế độ chính sách, thay đổi cơ chế tỷ giá hoặc chuyển đổi cấu trúc thị trường có thể khiến quá trình trông rất dai dẳng, dù mô tả phù hợp hơn là các đoạn dừng quanh đường xác định đang thay đổi. Phân tích của Perron về các điểm gãy lịch sử lớn cho thấy kết luận nghiệm đơn vị có thể phụ thuộc vào việc có cho phép điểm gãy hay không. ADF và PP chuẩn không tự phát hiện mọi điểm gãy.

Hãy vẽ chuỗi, ghi nhận thay đổi thể chế đã biết và hỏi liệu kiểm định có xét điểm gãy hay mô hình phân đoạn có giải quyết đúng câu hỏi hay không. Tìm điểm gãy sau khi đã xem cùng mẫu cũng có thể ảnh hưởng suy luận; hãy dùng phương pháp có giá trị tới hạn phù hợp với việc tìm kiếm hoặc coi phân tích là thăm dò. Hướng dẫn Bai–Perron trình bày ước lượng điểm gãy hồi quy; đây là thủ tục riêng chứ không phải hiệu chỉnh thay thế ADF hay PP.

Phép biến đổi cũng quan trọng. Mức giá, log giá, chênh lệch giá và lợi suất là các biến khác nhau về ý nghĩa kinh tế. Lấy sai phân mức giống có nghiệm đơn vị có thể tạo chuỗi ổn định hơn, nhưng lấy sai phân một mức vốn dừng có thể làm mất thông tin và khiến mô hình nhiễu không cần thiết. Trong phân tích cặp, đồng liên kết có thể giúp phân biệt xu thế ngẫu nhiên riêng với chênh lệch có khả năng dừng. Không chẩn đoán nào trong số này tự chứng minh chiến lược có lợi nhuận.

Giả sử mức giả định tuân theo:

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

trong đó μ là độ trôi hằng và εₜ là nhiễu có phụ thuộc nối tiếp. Trừ yₜ₋₁ cho ta Δyₜ = μ + εₜ, nên hệ số γ của yₜ₋₁ bằng không trong hồi quy sai phân tương ứng. Đây là dạng biểu diễn của giả thuyết không nghiệm đơn vị. Phép biến đổi đại số này không cho ra p-value: phân phối suy luận vẫn phi chuẩn và phụ thuộc vào cách xử lý thành phần xác định cùng sự phụ thuộc.

Nếu dùng ADF, các sai phân trễ tìm cách biểu diễn phụ thuộc ngắn hạn trong hồi quy. Nếu dùng PP, phương trình cơ sở ngắn hơn và thống kê dùng hiệu chỉnh hiệp phương sai dài hạn ước lượng. Nếu dữ liệu có xu thế xác định bị gãy, cả hai cách triển khai chuẩn đều có thể sai đặc tả dù phần mềm in ra thống kê có vẻ chính xác.

So sánh này có ba lớp riêng: giả thuyết nội dung, đặc tả hồi quy/thành phần xác định, và hiệu chỉnh phụ thuộc phần dư. Giữ hai lớp đầu cố định giúp ADF và PP trở thành các chẩn đoán thay thế hữu ích; thay cả ba cho đến khi có kiểm định bác bỏ thì không. Kết quả khác nhau là lý do xem lại giả định và tham số, không phải cuộc thi mà người thắng tự quyết định mô hình.

Hãy báo cáo biến và phép biến đổi, ngày đầu/cuối mẫu, tần suất quan sát, thành phần xác định, quy tắc và bậc trễ ADF được chọn, hoặc thống kê PP, kernel và băng thông. Nêu giả thuyết không và đối lập, thống kê, giá trị tới hạn hay p-value phù hợp, cùng kiểm tra tự tương quan phần dư hoặc điểm gãy. Nếu kết quả nhạy với lựa chọn hợp lý, hãy nói rõ thay vì chỉ trình bày đặc tả ủng hộ câu chuyện mong muốn.

Quy trình hữu ích là xác định mục tiêu và mô hình kinh tế trước, chọn thành phần xác định, chạy ADF hoặc PP được đặc tả tốt, chẩn đoán phụ thuộc nối tiếp và điểm gãy có thể có, rồi so sánh với bằng chứng bổ sung. Hướng dẫn kiểm định tỷ lệ phương sai xem xét một hệ quả khác của hành vi bước đi ngẫu nhiên. Nó không có cùng giả thuyết không và không thay thế kiểm định nghiệm đơn vị.

ADF hay PP đều không ra lệnh lấy sai phân chỉ vì p-value vượt ngưỡng. Lấy sai phân là quyết định mô hình về chuỗi và câu hỏi: dự báo biến động, ước lượng quan hệ dài hạn, kiểm định chênh lệch giao dịch hay giữ mức có thể dẫn đến lựa chọn khác nhau. Kiểm định có thể cung cấp thông tin, nhưng phép biến đổi cuối cùng cũng cần phù hợp với câu chuyện tạo dữ liệu, độ ổn định, mục tiêu dự báo và cấu trúc đồng liên kết.