Kiểm định Bai–Perron về nhiều điểm gãy cấu trúc trong hồi quy

Điểm gãy cấu trúc trong hồi quy có nghĩa một hoặc nhiều hệ số có thể đã thay đổi tại một thời điểm chưa biết trong mẫu. Một ước lượng duy nhất cho toàn bộ mẫu có thể che khuất điều này: nếu quan hệ giữa lợi suất và rủi ro dương trong một giai đoạn nhưng yếu đi hoặc đảo chiều về sau, hệ số trung bình có thể mô tả kém cả hai giai đoạn. Các thủ tục Bai–Perron biến mối lo đó thành một phép tìm kiếm có quy tắc trên các cách phân chia quan sát.

Điểm khác biệt chính so với kiểm định Chow là ngày gãy có được ấn định trước hay không. Kiểm định Chow so sánh các mẫu con được chỉ định quanh một ngày cho trước; thử nhiều ngày rồi báo cáo thống kê Chow thông thường lớn nhất không giữ nguyên phân phối tham chiếu thông thường của kiểm định. Kiểm định Bai–Perron tính đến việc tìm kiếm qua các ngày ứng viên và có thể đánh giá nhiều hơn một điểm gãy. Với trường hợp ngày được ấn định trước, xem hướng dẫn kiểm định Chow.

Cũng cần phân biệt với CUSUM hồi quy. CUSUM xem xét đường đi có thứ tự của phần dư đệ quy để tìm bằng chứng về tính bất ổn, nhưng tự nó không trả về một tập ngày gãy nhiều điểm đã được chọn. Ngược lại, Bai–Perron ước lượng cách phân đoạn theo một mô hình hồi quy từng đoạn được nêu rõ. Không phương pháp nào giải thích vì sao quan hệ thay đổi. Để xem chẩn đoán đường đi phần dư, tham khảo hướng dẫn CUSUM hồi quy.

Giả sử có \(T\) quan sát và \(m\) điểm gãy tại các ngày nguyên \(T_1<\cdots<T_m\). Đặt \(T_0=0\), \(T_{m+1}=T\), và định nghĩa đoạn \(j\) gồm các quan sát \(T_{j-1}+1,\ldots,T_j\). Trong mô hình thay đổi cấu trúc toàn phần:

\[ y_t=x_t'\beta_j+u_t,\qquad T_{j-1}<t\le T_j,\quad j=1,\ldots,m+1. \]

Ở đây, \(y_t\) là kết quả, \(x_t\) là vectơ biến giải thích được đưa vào, \(\beta_j\) là vectơ hệ số trong đoạn \(j\), còn \(u_t\) là sai số. Các đại lượng chưa biết không chỉ là giá trị hệ số: trừ khi được cố định trong thiết kế, ngày gãy và số lượng \(m\) cũng cần được ước lượng hoặc lựa chọn. Mô hình còn giả định thứ tự quan sát có ý nghĩa và vectơ hệ số ổn định trong mỗi đoạn theo đặc tả đã chọn.

Trong ví dụ tài chính, \(y_t\) có thể là lợi suất danh mục còn \(x_t\) có thể bao gồm lợi suất thị trường, thay đổi lãi suất hoặc thước đo biến động. Điểm gãy được phát hiện cho biết trung bình có điều kiện tuyến tính từng đoạn đã chọn khớp dữ liệu trong mẫu tốt hơn theo thủ tục đó. Điều này không hàm ý một sự kiện cụ thể đã làm thay đổi hệ số, biến giải thích là ngoại sinh, hay quan hệ sẽ ổn định ngoài mẫu.

Cần phân biệt ngày quan sát với ngày lịch. Nếu các quan sát là phiên giao dịch hằng ngày, điểm gãy giữa phiên 120 và 121 không nhất thiết tương ứng với một ngày lịch của hoạt động thị trường; ngày nghỉ, báo giá thiếu và lấy mẫu không đều ảnh hưởng đến phép ánh xạ này. Hãy nêu cách sắp xếp mẫu và cách báo cáo ngày gãy trước khi xem đó là thời điểm của một sự kiện.

Trong mô hình thay đổi cấu trúc toàn phần, mọi hệ số trong \(\beta_j\) có thể thay đổi giữa các đoạn. Cách này cho phép cả hệ số chặn và mọi hệ số dốc thay đổi, nhưng cần nhiều tham số riêng theo đoạn hơn. Vì vậy, khó ước lượng điểm gãy chính xác hơn khi các đoạn ngắn hoặc vectơ biến giải thích lớn. Thay đổi toàn phần chỉ phù hợp khi câu hỏi cho phép mọi quan hệ được mô hình hóa đặt lại.

Trong mô hình thay đổi cấu trúc một phần, một số hệ số được ràng buộc giữ chung trong khi các hệ số khác có thể thay đổi. Chẳng hạn, viết \(\beta_j=(\delta',\gamma_j')'\), trong đó \(\delta\) dùng chung giữa các đoạn còn \(\gamma_j\) riêng cho từng đoạn. Điều này có thể phản ánh một ràng buộc có cơ sở nội dung, chẳng hạn cho phép hệ số chặn và độ dốc về mức độ tiếp xúc chính sách thay đổi nhưng giữ tác động của biến kiểm soát ở mức chung. Ràng buộc làm thay đổi cả hàm mục tiêu khớp mô hình lẫn phân phối tham chiếu của kiểm định; cần nêu rõ thay vì coi đó là đơn giản hóa vô hại.

Cách tính cũng khác nhau. Với thay đổi toàn phần, tổng bình phương phần dư (RSS) của một phân hoạch ứng viên là tổng RSS của các đoạn độc lập, nên có thể dùng công thức truy hồi quy hoạch động để tối ưu phân hoạch với số điểm gãy cố định. Trong mô hình một phần, các hệ số chung kết nối mọi đoạn. Bai và Perron mô tả thủ tục lặp, luân phiên ước lượng ngày gãy và các hệ số thay đổi khi giữ cố định hệ số chung, rồi cập nhật hệ số chung với một phân hoạch đã cho. Công thức truy hồi cộng RSS của từng đoạn đơn giản không tự giải đồng thời mô hình bị ràng buộc đó. Đặc tả nên dựa trên câu hỏi khoa học hoặc dự báo, không phải phiên bản báo cáo nhiều điểm gãy hơn.

Tìm kiếm điểm gãy cần một số quan sát tối thiểu trong mỗi đoạn. Quy tắc cắt tỉa này tránh khớp các khoảng quá ngắn có thể tạo hệ số không ổn định, nhưng đồng thời loại trừ những thay đổi thực xảy ra quá gần biên mẫu hoặc một điểm gãy khác. Đây là một phần của thiết kế, không phải quy luật phổ quát.

Xét một mẫu giả định rõ ràng có \(T=240\) quan sát và tỷ lệ cắt tỉa được chọn là 15%. Khi đó, độ dài đoạn tối thiểu là \(h=0.15\times240=36\) quan sát. Với một điểm gãy, nếu ngày gãy là quan sát cuối cùng của đoạn trước, các ngày được chấp nhận là \(36\le T_1\le204\). Mỗi phía khi đó có ít nhất 36 quan sát.

Với hai điểm gãy, cặp ngày được chấp nhận phải thỏa mãn:

\[ 36\le T_1,\qquad T_1+36\le T_2\le204. \]

Tương đương, \(T_1\le168\), còn \(T_2\) phải để lại 36 quan sát sau điểm gãy thứ hai và cách điểm gãy đầu ít nhất 36 quan sát. Cặp \((72,156)\) được chấp nhận: ba đoạn có lần lượt 72, 84 và 84 quan sát. Cặp \((80,100)\) không được chấp nhận vì đoạn giữa chỉ có 20 quan sát. Với \(h\) này, tối đa năm điểm gãy có thể nằm trong 240 quan sát: sáu đoạn cần ít nhất \(6\times36=216\) quan sát, còn bảy đoạn cần \(7\times36=252\).

Tỷ lệ 15% ở đây là lựa chọn thiết kế giả định được nêu rõ, không phải khuyến nghị mặc định. Tỷ lệ lớn hơn có thể loại bỏ các chế độ ngắn hạn và ngày gần biên mẫu; tỷ lệ nhỏ hơn cho phép đoạn ngắn nhưng có thể để lại quá ít thông tin để ước lượng độ dốc và các đại lượng hiệp phương sai dài hạn đáng tin cậy. Chọn quy tắc dựa trên tần suất lấy mẫu, số biến giải thích, thời lượng chế độ có thể xảy ra và phương pháp suy luận. Hãy báo cáo quy tắc và, nếu có ý nghĩa về mặt nội dung, cho biết kết luận có thay đổi dưới các lựa chọn cắt tỉa gần đó hay không. Các triển khai có thể định nghĩa cỡ mẫu hữu hiệu và điểm biên khác nhau khi có độ trễ hoặc quan sát thiếu, vì vậy hãy ghi lại quy ước thực tế.

Với mô hình thay đổi toàn phần và \(m\) cố định, có thể biểu diễn tìm kiếm ngày gãy bằng cách tối thiểu hóa tổng RSS của các đoạn:

\[ \min_{T_1,\ldots,T_m}\;\sum_{j=1}^{m+1}\operatorname{SSR}(T_{j-1}+1,T_j), \]

với điều kiện về thứ tự ngày và độ dài đoạn tối thiểu. \(\operatorname{SSR}(a,b)\) là tổng bình phương phần dư nhỏ nhất khi khớp một đoạn duy nhất trên các quan sát \(a,\ldots,b\). Cách tìm kiếm ngây thơ kiểm tra mọi tổ hợp ngày, số lượng tăng nhanh theo \(T\) và \(m\).

Quy hoạch động tái sử dụng các bài toán con tối ưu. Nếu \(D(r,j)\) là RSS nhỏ nhất để phân hoạch các quan sát từ 1 đến \(j\) thành \(r\) đoạn hợp lệ, một dạng công thức truy hồi là:

\[ D(r,j)=\min_i\{D(r-1,i)+\operatorname{SSR}(i+1,j)\}, \]

trong đó điểm chia \(i\) bị giới hạn để mỗi đoạn trong \(r-1\) đoạn đầu và đoạn cuối đáp ứng độ dài tối thiểu. Lưu lại điểm chia tạo ra giá trị nhỏ nhất ở mỗi bước cho phép khôi phục các ngày gãy. Với mỗi số đoạn được cho phép, thuật toán tìm phân hoạch có RSS tối thiểu toàn cục theo mô hình và ràng buộc đã nêu, thay vì thêm từng điểm gãy một cách tham lam. Bai và Perron (2003) phát triển cách tính và thảo luận cả mô hình thay đổi toàn phần lẫn một phần.

“Toàn cục” ở đây có điều kiện theo số điểm gãy, biến giải thích, thành phần xác định, quy tắc cắt tỉa và mục tiêu đã chọn. Điều đó không có nghĩa mô hình thống kê là đúng, số lượng được chọn là chính xác, hay phân hoạch tối ưu trên mọi đặc tả có thể. Thủ tục có thể so sánh hiệu quả một số giá trị, nhưng chọn \(m\) là bước suy luận hoặc chọn mô hình riêng biệt.

Sau khi tính phân hoạch tốt nhất cho từng số ứng viên, có một số cách hướng dẫn lựa chọn \(m\). Kiểm định tuần tự \(\sup F(\ell+1\mid\ell)\) so sánh mô hình có \(\ell\) điểm gãy với mô hình có thêm một điểm, dùng thống kê supremum trên các ngày được phép. Các kiểm định double-maximum như UDmax hoặc WDmax kiểm tra giả thuyết không có điểm gãy so với giả thuyết thay thế có số điểm gãy chưa biết nhưng không vượt quá mức tối đa đã đặt. Các tiêu chí thông tin, gồm dạng BIC, so sánh mức cải thiện độ khớp với hình phạt phức tạp. Các phương pháp này trả lời những câu hỏi có liên quan nhưng không đồng nhất.

Giá trị tới hạn F thông thường thường không phù hợp sau khi lấy cực đại trên các ngày gãy chưa biết. Dưới giả thuyết không có điểm gãy, các ngày ứng viên không được xác định theo cách giống như dưới giả thuyết thay thế, dẫn đến phân phối tiệm cận phi chuẩn. Giá trị tới hạn phụ thuộc vào các yếu tố như tỷ lệ cắt tỉa, thay đổi toàn phần hay một phần, biến giải thích và giả định về hiệp phương sai của sai số. Bai và Perron (1998) xây dựng các kiểm định cho nhiều thay đổi; nghiên cứu giá trị tới hạn sau đó của họ lập bảng cho các thiết kế cắt tỉa và mô hình khác nhau. Andrews (1993) đưa ra kết quả quan trọng cho kiểm định bất ổn với một điểm thay đổi chưa biết, nhưng giá trị tới hạn của bài đó không thay thế được thủ tục cho nhiều điểm gãy.

Kiểm định tuần tự dễ diễn giải, nhưng kết quả có thể phụ thuộc vào lực kiểm định tại mỗi bước và số điểm gãy tối đa định trước. Các tiêu chí thông tin có thể chọn số lượng khác nhau do mức phạt khác nhau và vì các mô hình ứng viên đều có thể chỉ là xấp xỉ. Nhiều điểm gãy hơn không tự động là mô tả thực tế hơn: mức tăng độ khớp nhỏ có thể phải đánh đổi bằng hệ số từng đoạn không ổn định. Hãy báo cáo phương pháp, số tối đa, cắt tỉa, trình tự kiểm định hoặc tiêu chí và giả định giá trị tới hạn tương ứng. Nếu lựa chọn có hệ quả, hãy trình bày độ nhạy thay vì coi một số được chọn là chắc chắn.

Các ngày làm RSS nhỏ nhất là ước lượng điểm dưới một mô hình xác định. Không nên báo cáo như thể dữ liệu tiết lộ đúng thời điểm quan hệ kinh tế thay đổi. Biến thiên mẫu, thay đổi hệ số nhỏ, các điểm gãy gần nhau, kết quả nhiễu, biến giải thích ít biến thiên và đoạn tối thiểu dài đều có thể làm hàm mục tiêu tương đối phẳng quanh giá trị nhỏ nhất. Một số phân hoạch liền kề có thể khớp gần như ngang nhau.

Bai và Perron phát triển khoảng tin cậy cho ngày gãy dưới các điều kiện đã nêu. Những khoảng này mô tả bất định lấy mẫu của ngày gãy trong mô hình; chúng không bao quát mọi bất định về việc đặc tả hồi quy có đúng không, nên đưa biến nào vào, số điểm gãy hay quy tắc cắt tỉa. Nếu bản thân số điểm gãy cũng chưa chắc chắn, một khoảng ngày hẹp có điều kiện theo một số lượng được chọn có thể đánh giá thấp bất định tổng thể.

Báo cáo thực tế cần phân biệt quy ước ngày, chỉ số quan sát ước lượng, ngày lịch được chuyển đổi và khoảng của từng điểm gãy. Nếu các khoảng rộng hoặc chồng lấn, hãy mô tả bằng chứng là chưa định vị rõ theo thời gian. Đừng chọn ngày trên biểu đồ sau khi xem kết quả rồi mô tả đó là thời điểm sự kiện được dự báo độc lập. Khi so sánh điểm gãy ước lượng với một sự kiện đã biết, hãy tính đến khả năng sự kiện và cửa sổ thời gian đã được chọn sau khi xem dữ liệu.

Phân đoạn RSS là tiêu chí khớp mô hình; tính hợp lệ của kiểm định và khoảng tin cậy phụ thuộc vào giả định về biến giải thích và sai số. Hồi quy tài chính thường có tương quan chuỗi, phương sai thay đổi có điều kiện, ngoại lệ, biến động thay đổi, lợi suất chồng lấn hoặc quan sát không đồng bộ. Nếu ước lượng hiệp phương sai và giá trị tới hạn giả định sai số độc lập với phương sai bằng nhau trong khi phần dư phụ thuộc hoặc phương sai thay đổi, mức ý nghĩa báo cáo có thể gây hiểu nhầm dù ngày gãy ước lượng trông hợp lý.

Công trình Bai–Perron phát triển thủ tục dưới các điều kiện rộng hơn, gồm một số dạng phương sai thay đổi và phụ thuộc chuỗi, nhưng nhà phân tích phải dùng hiệu chỉnh hiệp phương sai và giá trị tham chiếu phù hợp với thiết kế thực tế. Ước lượng hiệp phương sai robust hoặc HAC không thể sửa động học bị bỏ sót, biến giải thích nội sinh, trung bình có điều kiện sai hoặc lịch quan sát kết hợp những khoảng thời gian không tương thích. Dùng sai số chuẩn robust tự nó cũng không biến mục tiêu RSS thành mô hình dữ liệu tốt hơn.

Kiểm tra sự phụ thuộc của phần dư và dạng phương sai trong cũng như giữa các đoạn ứng viên. Nêu rõ giả định sai số có cho phép phương sai riêng theo đoạn, tương quan chuỗi hoặc phân phối biến giải thích thay đổi hay không, và lý thuyết của kiểm định đã chọn có bao quát chúng không. Đoạn quá ngắn khiến việc ước lượng hiệp phương sai robust đặc biệt mong manh; đó cũng là lý do cần lập kế hoạch cắt tỉa và số chiều mô hình cùng nhau. Để biết thêm về ước lượng hồi quy và giả định hiệp phương sai, xem hướng dẫn hồi quy OLS.

Báo cáo có thể tái lập cần nêu kết quả, toàn bộ biến giải thích, phép biến đổi, khoảng thời gian và tần suất mẫu, ràng buộc hệ số chặn và hệ số, đặc tả thay đổi toàn phần hay một phần, số tối đa \(m\) được xem xét, tỷ lệ cắt tỉa và độ dài tối thiểu, quy ước ngày, phương pháp tối ưu hóa và kiểm định hoặc tiêu chí dùng để chọn \(m\). Hãy đưa ra số điểm gãy được chọn, hệ số theo đoạn, ngày và khoảng bất định, thống kê kiểm định, cách xử lý hiệp phương sai và nguồn giá trị tới hạn. Giải thích mọi điểm biên hoặc quan sát bị loại khỏi tìm kiếm.

Một điểm gãy có ý nghĩa thống kê là bằng chứng về tính bất ổn tham số trong hồi quy đã nêu theo các giả định của nó. Điều này không xác định sự kiện nào gây ra thay đổi, không chứng minh một bản tin hoặc thay đổi chính sách cụ thể chịu trách nhiệm, và không cho thấy hệ số trước cũng như sau điểm gãy sẽ tiếp tục ổn định. Điểm gãy có thể phản ánh biến bị bỏ sót, thay đổi định nghĩa dữ liệu, giai đoạn biến động, vấn đề đo lường hoặc thay đổi kinh tế thật; kiểm định hồi quy đơn lẻ không phân biệt được các giải thích này.

Trong giao dịch định lượng, tìm kiếm trên toàn mẫu dùng quan sát từ cả hai phía của mỗi điểm gãy ước lượng. Giao dịch như thể ngày được chọn đã biết theo thời gian thực sẽ tạo thiên lệch nhìn trước. Đánh giá quy tắc chế độ theo trình tự thời gian, chỉ ước lượng lại bằng thông tin có tại mỗi ngày, và tính đến spread, phí, tác động thị trường, tài trợ, chi phí vay, vòng quay và độ trễ. So sánh với đường cơ sở đơn giản dùng tham số cố định và không giao dịch, đồng thời để riêng dữ liệu thực sự về sau để kiểm định. Điểm gãy có thể gợi ý cần xem lại mô hình hoặc rủi ro; nó không chứng minh năng lực dự báo hay lợi thế có thể đầu tư.

Bai và Perron (1998) trình bày kiểm định và ước lượng nhiều thay đổi cấu trúc trong mô hình tuyến tính trong bài báo gốc. Bài báo tính toán năm 2003 giải thích quy hoạch động và thủ tục thay đổi một phần; bài báo về giá trị tới hạn trình bày cách giá trị kiểm định thay đổi theo thiết kế. Bài của Andrews về điểm thay đổi chưa biết cung cấp nền tảng liên quan cho một điểm gãy. Để đối chiếu các chẩn đoán gần gũi, xem kiểm định Chow với ngày được xác định trước và kiểm định CUSUM hồi quy.