Kiểm định Hansen J: Hạn chế quá định trong GMM

Phương pháp mômen tổng quát (GMM) ước lượng tham số bằng cách đưa các phiên bản mẫu của điều kiện mômen lý thuyết càng gần không càng tốt. Trong mô hình biến công cụ, một điều kiện mômen có thể phát biểu rằng tại tham số thật, công cụ được đề xuất không tương quan với sai số cấu trúc. Các mô hình khác dùng hệ quả từ phương trình định giá tài sản, phương trình Euler hoặc ràng buộc của dữ liệu bảng.

Nếu mô hình có nhiều điều kiện mômen hơn số tham số chưa biết, sau khi ước lượng vẫn còn các ràng buộc để kiểm tra. Thống kê Hansen J tóm tắt bằng một con số khoảng cách mà các mômen mẫu đã khớp còn lệch khỏi không sau khi áp dụng ma trận trọng số được chỉ định. Đây là kiểm định đặc tả chung trong khuôn khổ đó. Nó không trực tiếp kiểm tra để gắn nhãn từng công cụ là “hợp lệ” hay “không hợp lệ”.

Sự phân biệt này quan trọng trong nghiên cứu tài chính và định lượng. Mô hình giao dịch hoặc định giá tài sản có thể đưa vào nhiều điều kiện mômen, nhưng kết quả phụ thuộc vào lợi suất, nhân tố, công cụ, ngày tháng và giả định hiệp phương sai được dùng để xác định các mômen đó. P-value nhỏ có thể là bằng chứng chống lại cả nhóm giả định; p-value lớn không phải bằng chứng độc lập rằng tất cả giả định đều đúng.

Gọi \(g_t(\theta)\) là vector gồm \(q\) thành phần đóng góp vào mômen tại thời điểm \(t\), được tính ở vector tham số \(\theta\). Trung bình mẫu của nó là

\[ \bar g_T(\theta) = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}g_t(\theta). \]

GMM chọn ước lượng \(\hat\theta\) để cực tiểu hóa khoảng cách bình phương có trọng số, chẳng hạn

\[ Q_T(\theta) = T\,\bar g_T(\theta)'W_T\bar g_T(\theta), \qquad J = Q_T(\hat\theta), \]

trong đó \(W_T\) là ma trận trọng số dương. Ma trận này quyết định mức độ sai khác giữa từng điều kiện mômen đóng góp vào tiêu chuẩn. GMM hiệu quả dùng trọng số có liên hệ với nghịch đảo của ma trận hiệp phương sai dài hạn của các mômen, theo giả định lấy mẫu đã nêu. Kiểm định J dùng tiêu chuẩn đã cực tiểu, chứ không dùng giá trị hàm mục tiêu tại tham số được chọn mà chưa ước lượng.

Công thức ngắn gọn nhưng các thành phần không thể hoán đổi cho nhau. Đổi công cụ làm thay đổi \(g_t\); đổi mẫu làm thay đổi trung bình; đổi ước lượng hiệp phương sai làm thay đổi trọng số; và đổi phương pháp ước lượng có thể làm thay đổi tham số khớp. Vì vậy, để người khác tái lập thống kê J, chỉ báo một con số và gọi nó là “robust” là chưa đủ.

Nếu có \(q\) điều kiện mômen độc lập và \(k\) tham số được nhận dạng cục bộ, bậc tự do quá định thông thường là \(q-k\). Chẳng hạn, dùng ba mômen độc lập để ước lượng hai tham số sẽ còn một ràng buộc quá định. Dưới giả thuyết không rằng mọi mômen tổng thể đều đúng và với trọng số được xây dựng thích hợp, thống kê J được so sánh tiệm cận với phân phối chi bình phương có số bậc tự do đó.

Khi số mômen bằng số tham số, mô hình được nhận dạng đúng bằng và các mômen đã khớp thường có thể được đưa về không. Không còn ràng buộc dư để thống kê J đánh giá, nên kiểm định có không bậc tự do và không kiểm tra quá định. Nhiều tham số hơn số mômen độc lập là vấn đề nhận dạng riêng; điều đó không tạo ra bậc tự do âm hay một kiểm định J có ý nghĩa.

Hãy đếm các ràng buộc mômen độc lập có hiệu lực, không chỉ đếm số cột trong kết quả phần mềm. Công cụ trùng lặp hoặc mômen phụ thuộc tuyến tính có thể làm giảm hạng hiệu dụng. Phân phối chi bình phương tham chiếu thông thường còn dựa trên điều kiện nhận dạng và các điều kiện mẫu lớn khác. Giá trị danh nghĩa \(q-k\) không thể khắc phục ma trận hiệp phương sai mômen suy biến hoặc được ước lượng kém.

Trong tính toán thực tế, cần phân biệt số ràng buộc về mặt lý thuyết với số ràng buộc độc lập về mặt số học. Nếu hai công cụ gần như cung cấp cùng thông tin hoặc một cột mômen trong mẫu gần là tổ hợp tuyến tính của các cột khác, ma trận hiệp phương sai nghịch đảo có thể không ổn định. Nếu phần mềm bỏ cột hoặc xác định hạng bằng dung sai để xử lý vấn đề này, bậc tự do báo cáo có thể khác \(q-k\) do nhà nghiên cứu tính. Khi đó, hãy ghi lại danh sách mômen, hạng hiệu dụng, cảnh báo tính toán và thiết lập phần mềm thay vì chỉ sao chép thống kê J. Thay đổi số ràng buộc cũng làm thay đổi giả thuyết không đang được kiểm định.

Giả sử một mô hình dùng ba điều kiện mômen để ước lượng hai tham số, nên bậc tự do thông thường là \(3-2=1\). Một quy trình phần mềm báo thống kê J bằng 5.4 với cách đặt trọng số được thiết kế để phù hợp với giả định hiệp phương sai đã nêu. Theo phân phối chi bình phương một bậc tự do thông thường, p-value xấp xỉ 0.020. Với mức 5% được chọn trước, nhà nghiên cứu sẽ bác bỏ giả thuyết không chung rằng cả ba mômen tổng thể đều bằng không.

Kết luận đó hẹp hơn phát biểu “công cụ số 2 không hợp lệ”. Thống kê J là một khoảng cách có trọng số cho toàn hệ thống và không xác định mômen nào gây ra xung đột. Công cụ không hợp lệ, phương trình cấu trúc đặc tả sai, thiếu một đặc điểm động, mô hình hiệp phương sai không phù hợp hoặc một vấn đề khác trong các giả định duy trì đều có thể dẫn đến cùng kết quả. Cần chẩn đoán tiếp và xem xét kiến thức chuyên môn để tìm nguyên nhân.

Nếu p-value là 0.20, kết luận đúng là kiểm định này không bác bỏ các ràng buộc chung ở mức đã chọn. Không nên kết luận “công cụ đã được chứng minh là hợp lệ”. Kiểm định có thể không bác bỏ vì các ràng buộc hợp lý, vì kiểm định ít lực hoặc vì mẫu quá nhỏ hay nhiễu để phân biệt vi phạm. Hãy chọn ngưỡng trước khi xem nhiều phiên bản mô hình; tìm đến khi có p-value trông chấp nhận được sẽ tạo thêm vấn đề chọn lọc.

Giả thuyết không là tập hợp các ràng buộc tổng thể, được diễn giải theo mô hình và điều kiện tiệm cận xác định phân phối tham chiếu của thống kê. Khi J bác bỏ, ít nhất một phần của hệ giả định duy trì khó tương thích với mẫu quan sát dưới trọng số của kiểm định. Bản thân kiểm định không thể tách riêng vi phạm điều kiện loại trừ khỏi sai dạng hàm, thiếu phụ thuộc trạng thái, lỗi xây dựng dữ liệu hay ước lượng hiệp phương sai dài hạn không phù hợp.

Kiểm định cũng không xác lập quan hệ nhân quả. Trong thiết kế IV, kiểm định quá định có thể đánh giá liệu các ràng buộc bổ sung có nhất quán với nhau theo mô hình hay không. Nó không thể xác nhận điều kiện loại trừ cho từng công cụ, nhất là khi tất cả công cụ có thể cùng mắc một vi phạm. Tính liên quan của công cụ và điều kiện loại trừ có ý nghĩa khác nhau. Hãy dùng hồi quy bước đầu và chẩn đoán nhận dạng yếu để đánh giá tính liên quan, đồng thời giải thích cơ chế kinh tế hỗ trợ điều kiện loại trừ.

Trong ứng dụng định giá tài sản tuyến tính, thống kê kiểu J có thể kiểm định các ràng buộc định giá chung do một mô hình nhân tố và tập tài sản kiểm định cụ thể hàm ý. Bác bỏ không tự động chỉ ra nhân tố còn thiếu, cũng không chứng minh một chiến lược giao dịch khác sẽ sinh lợi. Không bác bỏ không xác lập sự đúng đắn về mặt kinh tế của mô hình. Hướng dẫn Fama–MacBeth trình bày một quy trình giá rủi ro lát cắt ngang có liên quan và các giới hạn suy luận của nó.

Kiểm định Sargan cổ điển xuất phát từ ước lượng biến công cụ với giả định hiệp phương sai hạn chế, thường gồm sai số đồng nhất phương sai. Hansen J là thống kê quá định GMM được xây dựng với hiệp phương sai mômen ước lượng; nó có thể tính đến phương sai thay đổi và, nếu dùng ước lượng hiệp phương sai dài hạn phù hợp, cả phụ thuộc theo thời gian. Gọi một triển khai là “Hansen” không làm nó tự động vững trước mọi đặc tả sai; lựa chọn hiệp phương sai và trọng số phải phù hợp với quá trình mômen.

Với mômen chuỗi thời gian, tương quan chuỗi làm thay đổi phương sai dài hạn của trung bình mẫu. Ước lượng HAC như Newey–West có thể là một phần của phép tính hiệp phương sai phù hợp khi giả định và số độ trễ được chọn ăn khớp với dữ liệu. Quan sát bảng hoặc quan sát theo cụm có thể cần cấu trúc hiệp phương sai khác. Hiệu chỉnh hiệp phương sai chỉ dùng cho sai số chuẩn của hệ số không tự động có nghĩa hàm mục tiêu J được lập với ma trận trọng số tương thích.

GMM một bước, hai bước và lặp có thể ước lượng tham số bằng các trọng số khác nhau. Trong thủ tục hai bước hiệu quả, bản thân trọng số được ước lượng làm tăng bất định trong mẫu hữu hạn; sai số chuẩn và hành vi của kiểm định có thể mong manh, nhất là khi có nhiều mômen so với số quan sát. Các hiệu chỉnh mẫu hữu hạn do Windmeijer nghiên cứu liên quan đến ước lượng phương sai trong những trường hợp GMM hai bước tuyến tính hiệu quả cụ thể. Đây không phải hiệu chỉnh áp dụng chung cho mọi thống kê J.

Kiểm định J không kiểm tra độ mạnh của công cụ. Công cụ mang ít thông tin có thể khiến ước lượng tham số và các xấp xỉ thông thường không đáng tin. Hãy dùng phương pháp dành cho nhận dạng yếu thay vì xem p-value J có vẻ dễ chịu là chẩn đoán sức mạnh công cụ. Hiệu chuẩn chi bình phương tiệm cận không bảo đảm một mẫu tài chính ngắn sẽ hành xử như giới hạn tiệm cận.

Thêm công cụ hoặc điều kiện mômen có vẻ như sẽ bổ sung thông tin. Trong GMM bảng động, quá nhiều công cụ có thể khớp quá mức các biến nội sinh và làm giảm khả năng phát hiện vi phạm của kiểm định đặc tả. Vì vậy, p-value rất cao sau khi tạo tập công cụ lớn có thể không đem lại nhiều bảo đảm. Hãy báo cáo số lượng, độ trễ hoặc cửa sổ tạo công cụ, rồi so sánh với các tập rút gọn hoặc công cụ gộp có cơ sở khi phù hợp.

Mẫu nhỏ, mômen gần đồng tuyến tính, ước lượng hiệp phương sai kém, tham số ở biên và nhận dạng yếu đều có thể phá vỡ cách diễn giải trong giáo trình. Những trường hợp đó cần phân tích độ nhạy và phương pháp suy luận thay thế phù hợp, thay vì máy móc tuyên bố J “đã đạt”. Nếu lựa chọn mô hình đã xem xét nhiều tập công cụ, khoảng trễ, nhân tố hoặc đoạn mẫu, hãy ghi lại quá trình tìm kiếm và đừng trình bày kết quả đẹp nhất như thể đã được định trước.

Giảm số công cụ không tự động tạo ra mô hình tốt hơn. Bỏ một số điều kiện có thể làm giảm độ chính xác hoặc khiến mô hình không còn kiểm tra hạn chế kinh tế ban đầu. Ngược lại, tập công cụ quá lớn có thể làm ước lượng trọng số bất ổn và khớp quá mức với mẫu. Hãy nêu rõ mục đích của từng phương án và đừng xem một điều kiện là hợp lệ chỉ vì phần mềm tính được nó.

Một số quy trình dữ liệu bảng động báo cáo kiểm định difference-in-Hansen hoặc C cho một tập con điều kiện mômen, chẳng hạn một nhóm công cụ bổ sung. Về mặt khái niệm, so sánh mô hình lồng nhau hỏi liệu nhóm đó có thêm các ràng buộc tương thích với những mômen duy trì còn lại hay không. Kiểm định phụ thuộc vào đặc tả còn lại; đây không phải chứng nhận độc lập cho từng công cụ.

Hiệu giữa hai thống kê J chỉ có phân phối tham chiếu khi thỏa điều kiện lồng nhau, ước lượng và hiệp phương sai thích hợp. Các mô hình so sánh phải dùng mẫu và định nghĩa mômen tương thích; cũng cần xem xét trọng số và hành vi trong mẫu hữu hạn. Kiểm định tập con có thể mất lực khi tập công cụ đầy đủ quá lớn. Nếu đã kiểm định nhiều nhóm, hãy báo cáo toàn bộ phép so sánh thay vì chỉ chọn kết quả thuận lợi.

Nêu rõ mẫu, vector tham số, định nghĩa mômen, số quan sát, số ràng buộc và hạng hiệu dụng, cùng bậc tự do. Cho biết đã dùng GMM một bước, hai bước hay lặp; ma trận trọng số được xác định ra sao; cấu trúc hiệp phương sai nào được cho phép; và có dùng hiệu chỉnh mẫu nhỏ nào không. Báo cáo thống kê J, phân phối tham chiếu, p-value và ngưỡng quyết định đã định trước cho phân tích.

Trình bày số lượng và cách xây dựng công cụ, chẩn đoán bước đầu hoặc tính liên quan, cũng như độ nhạy của ước lượng trước các thay đổi hợp lý trong tập mômen. Giải thích vì sao thời điểm kinh tế và lập luận điều kiện loại trừ của công cụ là hợp lý; kiểm định quá định không bác bỏ không thể thay thế lập luận này. Nếu dùng kiểm định tập con, hãy xác định rõ tập con và mô hình đối chiếu. Xem hướng dẫn nội sinh và biến công cụ về giả định IV và hướng dẫn sai số chuẩn vững và HAC về lựa chọn hiệp phương sai.

Lý thuyết tiệm cận GMM của Hansen, kiểm định biến công cụ của Sargan, phân tích nhận dạng yếu của Stock và Wright, nghiên cứu về bùng nổ công cụ của Roodman, phân tích mẫu hữu hạn về phương sai hai bước của Windmeijer và ước lượng hiệp phương sai HAC của Newey và West đề cập các phần khác nhau của thiết kế: Hansen, Sargan, Stock và Wright, Roodman, Windmeijer, Newey và West. Kết quả của họ áp dụng dưới các giả định đã nêu, chứ không phải là sự chấp thuận chung cho một mô hình thực nghiệm.