Hồi quy Fama–MacBeth: giải thích phần bù rủi ro qua hai bước

Beta nhân tố và giá rủi ro của nhân tố trả lời những câu hỏi khác nhau. Beta mô tả lợi suất tài sản đã biến động cùng với một nhân tố như thế nào trong hồi quy chuỗi thời gian ở bước một. Hệ số giá rủi ro, thường ký hiệu là \(\lambda\), mô tả trong lát cắt ngang ở bước hai lợi suất khác nhau ra sao giữa các tài sản có beta ước lượng khác nhau. Quy trình Fama–MacBeth ước lượng giá rủi ro cho từng ngày rồi tóm tắt các ước lượng theo thời gian.

Thiết kế này hữu ích khi câu hỏi nghiên cứu là liệu mức độ tiếp xúc với một nhân tố rủi ro được đề xuất có liên hệ với lợi suất trung bình của một tập cổ phiếu hoặc danh mục được chọn hay không. Đây là một quy trình định giá tài sản mang tính thống kê, không phải thiết kế nhân quả. Bản thân quy trình cũng không xác định một danh mục có thể giao dịch bằng thông tin sẵn có tại thời điểm đó.

Nghiên cứu ban đầu của Fama và MacBeth áp dụng hồi quy chéo lặp lại giữa rủi ro và lợi suất cho cổ phiếu NYSE. Các nghiên cứu sau này, trong đó có kiểm định thực nghiệm của Fama và French, khiến hệ số góc lát cắt ngang theo tháng trở thành cách phổ biến để ước lượng và kiểm định giá rủi ro trung bình. Nên hiểu phương pháp này là hai bài toán ước lượng có liên hệ với nhau, mỗi bước có các giả định riêng.

Với mỗi tài sản hoặc danh mục kiểm định \(i\), hãy ước lượng một hồi quy chuỗi thời gian như

\[ r^{e}_{i,t} = \alpha_i + \boldsymbol{\beta}_i^\top \mathbf{f}_t + \varepsilon_{i,t}, \]

trong đó \(r^{e}_{i,t}\) là lợi suất vượt trội của tài sản, \(\mathbf{f}_t\) là vector lợi suất nhân tố tại ngày \(t\), còn \(\boldsymbol{\beta}_i\) là vector mức độ tiếp xúc. Giá trị \(\hat{\boldsymbol{\beta}}_i\) ước lượng được trở thành biến giải thích ở bước hai. Ví dụ chỉ có nhân tố thị trường dùng một beta; ví dụ đa nhân tố có một hệ số tải ước lượng cho mỗi nhân tố.

Bước một cần các nhân tố biến động đủ theo thời gian để ước lượng hệ số góc. Cửa sổ dài có thể cung cấp nhiều quan sát hơn nhưng trộn lẫn các chế độ thị trường khác nhau. Cửa sổ ngắn phản ánh mức độ tiếp xúc gần đây nhưng khiến ước lượng beta nhiễu hơn. Hãy nêu tần suất lợi suất, ngày trong mẫu, cách xây dựng nhân tố, quy tắc xử lý dữ liệu thiếu, cách xử lý hằng số và cửa sổ ước lượng.

Đây không phải hướng dẫn phổ quát rằng mọi beta phải được ước lượng trên toàn bộ mẫu. Trong kiểm định định giá tài sản hậu nghiệm, beta toàn mẫu có thể mô tả mẫu đang nghiên cứu. Nhưng trong mô phỏng giao dịch lịch sử, dùng beta được ước lượng với quan sát tương lai sẽ làm rò rỉ thông tin. Trường hợp đó cần ước lượng beta tại từng thời điểm, chỉ dùng dữ liệu có trước mỗi quyết định mô phỏng.

Tại mỗi ngày \(t\), hồi quy lợi suất của các tài sản kiểm định trong ngày đó theo beta từ bước một:

\[ r^{e}_{i,t} = \lambda_{0,t} + \hat{\boldsymbol{\beta}}_i^\top \boldsymbol{\lambda}_t + \eta_{i,t}. \]

\(\boldsymbol{\lambda}_t\) chứa các giá rủi ro riêng của ngày đó. Nếu chỉ có một nhân tố, hệ số góc lát cắt ngang \(\lambda_t\) đo chênh lệch lợi suất gắn với một đơn vị beta ước lượng tại ngày đó. \(\lambda_{0,t}\) là hằng số lát cắt ngang riêng. Việc ước lượng tự do, áp ràng buộc hay diễn giải nó là lợi suất của tài sản beta bằng không tùy thuộc mô hình đang kiểm định và việc dùng lợi suất thô hay lợi suất vượt trội.

Hồi quy thứ hai là hồi quy giữa các tài sản tại một ngày, không phải hồi quy chuỗi thời gian khác. Độ phù hợp phụ thuộc vào số lượng và thành phần tài sản kiểm định, độ phân tán của beta ước lượng và tương quan giữa chúng. Nếu beta gần như không khác nhau giữa các tài sản, lát cắt ngang có ít thông tin để phân biệt các giá rủi ro. Thêm nhiều tài sản gần như giống nhau không tạo ra biến thiên mức độ tiếp xúc vốn không có trong dữ liệu.

Lặp lại hồi quy này sẽ tạo chuỗi \(\hat{\boldsymbol{\lambda}}_1,\ldots,\hat{\boldsymbol{\lambda}}_T\). Ước lượng Fama–MacBeth cho nhân tố \(k\) là trung bình theo thời gian

\[ \bar{\lambda}_k = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\hat{\lambda}_{k,t}. \]

Trung bình này giữ nguyên đơn vị và tần suất lợi suất của bước hai. Việc cân trọng số lát cắt, thiếu ngày hoặc thay đổi tập tài sản ảnh hưởng đến ý nghĩa của trung bình nên cần được báo cáo.

Giả sử beta thị trường ước lượng ở bước một của ba danh mục kiểm định là \(0.5\), \(1.0\) và \(1.5\). Trong một tháng giả định, lợi suất vượt trội của chúng lần lượt là \(0.3\%\), \(0.8\%\) và \(1.3\%\). Ba điểm này nằm trên đường thẳng

\[ r^{e}_{i,t} = -0.2\% + 1.0\%\times\hat{\beta}_{i}. \]

Hệ số góc ước lượng của tháng đó là 1,0 điểm phần trăm trên mỗi đơn vị beta, còn hằng số là \(-0,2\%\). Đây là ví dụ nhỏ được cố ý đơn giản hóa và có độ khớp hoàn hảo; nó không chứng minh beta thị trường được định giá, và ba điểm không tạo thành một kiểm định thực nghiệm hữu ích.

Giờ giả sử hệ số góc bước hai trong sáu tháng riêng biệt, tính trên mỗi đơn vị beta, là \(0.8\%\), \(-0.4\%\), \(1.0\%\), \(-0.2\%\), \(0.6\%\) và \(0.0\%\). Trung bình số học là

\[ (0.8 - 0.4 + 1.0 - 0.2 + 0.6 + 0.0)/6 = 0.3\%\text{ mỗi tháng}. \]

Hệ số góc của tháng đầu tiên không phải ước lượng Fama–MacBeth cuối cùng. Ước lượng là trung bình của sáu hệ số góc theo ngày. Các tháng âm vẫn nằm trong phép tính; chỉ chọn tháng dương sẽ làm thay đổi đại lượng cần ước lượng và thêm một bước lựa chọn. Các con số giả định chỉ minh họa số học, không phải kết quả thị trường hay khẳng định rằng nhân tố dự báo lợi suất.

Trong phép tính đơn giản nhất, lấy độ lệch chuẩn mẫu \(s_\lambda\) của \(T\) hệ số góc tháng rồi chia cho \(\sqrt{T}\):

\[ \operatorname{SE}(\bar{\lambda}) = \frac{s_\lambda}{\sqrt{T}}. \]

Thống kê t tương ứng lấy hệ số góc trung bình ước lượng chia cho sai số chuẩn này. Thời gian là chiều lặp lại để ước lượng độ bất định của giá rủi ro trung bình. Số tài sản \(N\) quyết định mỗi lát cắt ngang hàng tháng ước lượng hệ số góc tốt đến đâu; nó không thay thế \(T\) trong sai số chuẩn của trung bình theo thời gian.

Với sáu hệ số góc minh họa ở trên, độ lệch chuẩn mẫu vào khoảng 0,576 điểm phần trăm mỗi tháng. Chia cho \(\sqrt{6}\) cho sai số chuẩn thông thường khoảng 0,235 điểm phần trăm; \(0.3/0.235\) xấp xỉ 1,28. Sáu quan sát là quá ít để đánh giá ý nghĩa thống kê đáng tin cậy. Phép tính chỉ cho thấy trung bình dương không đồng nghĩa với trung bình được ước lượng chính xác.

Sai số chuẩn thông thường cũng dựa trên các điều kiện về chuỗi thời gian của hệ số góc. Nếu các ước lượng phụ thuộc chuỗi, sai số chuẩn giả định quan sát độc lập có thể đo độ bất định sai. Mẫu ngắn hoặc thành phần tài sản thay đổi khiến thống kê t tiệm cận đặc biệt mong manh. Hãy báo cáo độ dài và tần suất của chuỗi \(\lambda_t\), không chỉ số tài sản trong lát cắt ngang.

“Fama–MacBeth” thường được đối chiếu với “hồi quy bảng gộp” như thể hai phương pháp nhất thiết phải cho hệ số góc khác nhau. Có một trường hợp đặc biệt quan trọng: nếu cùng những tài sản xuất hiện ở mọi ngày, các biến beta giữ nguyên theo thời gian và mọi lát cắt ngang hàng tháng dùng cùng một thiết kế bình phương tối thiểu thông thường, thì trung bình các hệ số OLS theo ngày bằng hệ số góc chung của OLS gộp. Cả hai đều tóm tắt cùng một tập hồi quy lát cắt ngang cân bằng.

Đẳng thức có thể không còn đúng nếu tập tài sản hoặc trọng số thay đổi theo ngày, beta thay đổi theo thời gian, bảng không cân bằng, dùng biến kiểm soát khác nhau hoặc mô hình gộp áp thêm ràng buộc. Khi đó các phương pháp có thể đặt trọng số khác nhau lên ngày hoặc quan sát và trả lời các câu hỏi mẫu khác nhau. Đừng chọn phương pháp chỉ dựa vào tên gọi; hãy xác định rõ ma trận thiết kế, cách cân trọng số và hệ số mục tiêu.

Ngay cả khi ước lượng điểm trùng nhau, cách tính độ bất định vẫn có thể khác. Suy luận Fama–MacBeth dùng biến thiên theo thời gian của hệ số góc lát cắt ngang. Hồi quy gộp cần ước lượng hiệp phương sai phù hợp với cấu trúc sai số của bảng. Gom cụm theo ngày hoặc tài sản, ước lượng hiệp phương sai hai chiều và ước lượng HAC chuỗi thời gian dựa trên các giả định khác nhau; việc gọi mô hình là gộp hay Fama–MacBeth không tự làm phương pháp nào đúng.

Bước hai coi \(\hat{\boldsymbol{\beta}}_i\) như đã biết, dù chúng đến từ hồi quy ước lượng ở bước một. Sai số trong biến hồi quy được tạo ra có thể ảnh hưởng đến ước lượng giá rủi ro và độ bất định của nó. Phân tích của Shanken suy ra một điều chỉnh cho suy luận định giá beta trong một cấu hình định giá tài sản cụ thể; đây không phải hệ số nhân phổ quát có thể sửa mọi thiết kế hai bước. Các nghiên cứu sau xem xét tính chất mẫu lớn và các ước lượng thay thế trong những điều kiện khác. Hãy nêu điều chỉnh hoặc phương pháp suy luận đã dùng cùng các giả định khiến nó phù hợp.

Tự tương quan trong \(\hat{\lambda}_{k,t}\) là vấn đề riêng. Ví dụ, lợi suất nhiều tháng chồng lấn có thể khiến hệ số góc của các ngày liền kề dùng chung một số quan sát lợi suất. Ước lượng nhất quán với phương sai thay đổi và tự tương quan như hiệp phương sai Newey–West điều chỉnh phương sai ước lượng của trung bình theo thời gian để tính đến phụ thuộc chuỗi đến cửa sổ độ trễ đã chọn. Nó không đưa sai số ước lượng beta bước một trở lại bước hai, không sửa đặc tả nhân tố sai và không loại bỏ thiên lệch nhìn trước. Ngược lại, điều chỉnh Shanken không thay cho việc kiểm tra phụ thuộc trong chuỗi lambda.

Jagannathan và Wang, cũng như Shanken và Zhou, phân tích đặc tính của quy trình định giá beta dưới một số điều kiện mô hình và lấy mẫu nhất định. Kết quả của họ là lý do để mô tả thiết kế hai bước thực tế thay vì lặp lại quy tắc chung rằng sai số chuẩn Fama–MacBeth thông thường luôn quá nhỏ hoặc luôn hợp lệ. Hãy báo cáo beta được ước lượng một lần hay cập nhật, phụ thuộc của chuỗi lambda được xử lý ra sao, có dùng điều chỉnh cho beta ước lượng hay không và lựa chọn đó phù hợp với câu hỏi như thế nào.

Giá trị trung bình \(\lambda\) dương và khác không về mặt thống kê có nghĩa là, với tập tài sản kiểm định, định nghĩa nhân tố, beta và quy trình suy luận đã chọn, các tài sản có mức tiếp xúc ước lượng cao hơn đạt lợi suất trung bình cao hơn trong mẫu. Điều này không cho thấy nhà đầu tư có thể thu được chênh lệch đó sau chi phí, nhân tố là nguồn lợi suất có tính nhân quả hay mô hình định giá đúng.

Kết quả có thể thay đổi khi đổi tập nhân tố, giai đoạn mẫu, cách xây dựng danh mục, cửa sổ beta, tài sản kiểm định hoặc sơ đồ trọng số. Tìm kiếm qua nhiều nhân tố, phân đoạn mẫu và đặc tả tạo ra vấn đề kiểm định nhiều lần. Kiểm định một giá rủi ro ước lượng cũng không tóm tắt sai số định giá chung của mọi tài sản. Hãy nói rõ kết quả là mối liên hệ có điều kiện, kiểm định định giá dựa trên mô hình hay dự báo ngoài mẫu; không dùng các nhãn này thay thế cho nhau.

Với chiến lược thực hoặc mô phỏng, mức tiếp xúc và trọng số danh mục phải được hình thành chỉ bằng thông tin có sẵn tại thời điểm đó. Còn cần giá vào lệnh có thể thực hiện, vòng quay, chi phí giao dịch, tài trợ, năng lực và quy tắc tái cân bằng. Beta nhân tố là ước lượng mức tiếp xúc; giá trị trung bình \(\lambda\) không phải lợi suất của một danh mục tự động nhận được phần bù beta đó. Xem thêm hướng dẫn về hệ số tải và mô hình nhân tố, sai số chuẩn vững và HAC, và hệ số thông tin theo thứ hạng.

Một kết quả có thể diễn giải cần xác định tài sản kiểm định, lợi suất nhân tố, chuỗi phi rủi ro nếu dùng, đơn vị lợi suất, tần suất ngày và giai đoạn mẫu. Cũng cần ghi cách ước lượng từng beta, cửa sổ ước lượng bước một có trùng với giai đoạn kiểm định bước hai hay không, tài sản nào được đưa vào ở từng ngày, cách xử lý lợi suất thiếu và thay đổi thành phần, có cân trọng số lát cắt ngang không, và hằng số được đưa vào hay bị ràng buộc.

Đối với suy luận, hãy báo cáo tổng số \(T\) hệ số góc theo ngày, trung bình và độ phân tán theo thời gian, ước lượng sai số chuẩn, băng thông HAC nếu có, mọi điều chỉnh cho việc ước lượng beta và các lựa chọn mẫu hữu hạn. Trình bày độ phân tán beta và độ phù hợp lát cắt ngang bên cạnh thống kê t; số lượng tài sản lớn không bù được mức tiếp xúc gần như giống nhau. So sánh các cửa sổ hợp lý, định nghĩa nhân tố và cách tạo tài sản kiểm định khác nhau, nhưng đừng chọn phiên bản chỉ vì tình cờ có p-value nhỏ nhất.

Phương pháp gốc và các ứng dụng của nó là ví dụ, không đảm bảo mọi bộ dữ liệu hiện đại thỏa mãn giả định. Bài báo năm 1973 của Fama và MacBeth, các kiểm định lát cắt ngang năm 1992 của Fama và French, phân tích định giá beta của Shanken, phân tích tiệm cận của Jagannathan và Wang, so sánh ước lượng định giá beta của Shanken và Zhou và phương pháp hiệp phương sai HAC của Newey và West đề cập các phần khác nhau của thiết kế. Hãy đọc giả định cùng với hệ số được báo cáo.