Phân phối chuẩn và Student-t trong tài chính

Một biến chuẩn có thể viết X=μ+σZ với Z chuẩn tắc và σ bằng độ lệch chuẩn của nó

Một biến Student-t vị trí-quy mô có thể viết X=μ+sT_ν, trong đó s là tham số scale và ν kiểm soát độ dày của đuôi

Cả hai đều đối xứng quanh μ, vì vậy không mô hình nào tạo ra độ lệch lợi nhuận trừ khi được mở rộng hoặc biến đổi

Thống kê cổ điển T=Z/√(V/ν), với Z∼N(0,1) và V∼χ²_ν độc lập, có phân phối Student-t chuẩn

Mẫu số ngẫu nhiên khiến các giá trị chuẩn hóa lớn có khả năng xảy ra hơn so với quy luật chuẩn có phương sai cố định

Khi ν tiến tới vô hạn, sự bất định của mẫu số biến mất và phân phối Student-t tiến gần phân phối chuẩn

Đuôi Student-t giảm như một quy luật lũy thừa do ν kiểm soát, trong khi đuôi chuẩn giảm theo hàm mũ của khoảng cách bình phương

Trung bình tồn tại với ν>1, phương sai với ν>2 và moment bậc bốn với ν>4; ν thấp hơn loại bỏ moment tổng thể tương ứng

Với ν>4, kurtosis thừa là 6/(ν−4), làm rõ sự chuyển tiếp tới đuôi chuẩn

Với phân phối t vị trí-quy mô có ν>2, Var(X)=s²ν/(ν−2), vì vậy s nhỏ hơn độ lệch chuẩn

So sánh σ của phân phối chuẩn với scale s của phân phối t như thể cả hai đều là biến động có thể tạo ra phép so sánh đuôi hoặc likelihood sai

Các gói phần mềm dùng tên tham số khác nhau và đôi khi dùng các phiên bản chuẩn hóa phương sai bằng một, vì vậy hãy ghi lại đúng quy ước mật độ

Maximum likelihood chuẩn khiến phần dư bình phương chi phối và có thể để một vài quan sát cực đoan làm phình ước tính phương sai

Likelihood Student-t giảm trọng số của phần dư chuẩn hóa lớn thông qua ν, tạo ra một độ khớp có vẻ bền vững mà không tuyên bố chúng là không thể xảy ra

Ước tính ν gần ranh giới moment có thể làm phương sai, kurtosis và các thước đo rủi ro không ổn định ngay cả khi bộ tối ưu hội tụ

Phân phối chuẩn đa biến ngụ ý copula Gaussian, có phụ thuộc đuôi tiệm cận bằng không dưới tương quan hoàn hảo

Phân phối t đa biến dùng chung một scale ngẫu nhiên và tạo ra phụ thuộc đuôi dương đối xứng với ν hữu hạn

Sự đối xứng đó vẫn có thể sai đối với cổ phiếu nếu các cú sập đồng thời khác với các đợt tăng đồng thời hoặc sự phụ thuộc thay đổi theo chế độ

So sánh biểu đồ xác suất và quantile, các lần vượt ngưỡng, likelihood dự báo, độ bao phủ khoảng và các backtest VaR hoặc ES

Hiệu chỉnh lại qua các cửa sổ trượt và kiểm tra các phương án t lệch, mixture, biến động ngẫu nhiên và phần dư đã lọc khi cấu trúc vẫn còn

Một độ khớp t tốt hơn có nghĩa đây là xấp xỉ hữu ích hơn cho nhiệm vụ đã chọn, không phải lợi nhuận thực sự tuân theo một quy luật t bất biến